Introdução à Inferência parte II - ICEB-UFOP

Distribuições Amostrais
Introdução à Inferência
parte II
Erica Castilho Rodrigues
16 de Abril de 2012
Referências:
◮
Estatística Básica - Wilton Bussab (Capítulo 10)
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Distribuições Amostrais
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
◮
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Inferência estatística:
◮
tomar decisões sobre a população a partir da amostral.
◮
Podemos estar interessados no volume médio de
enchimento de uma lata de refrigerante.
◮
O volume médio requerido é 300 mililitros.
◮
Um engenheiro retira uma amostra de 25 latas.
◮
O volume médio observado é x̄ = 298.
◮
Você diria que a média verdadeira é 300 mililitros?
◮
Sim.
◮
Mesmo que a média da população seja 300 mililitros é
muito provável que apareça uma amostra com média 298.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Temos uma população objetivo. (Alunos da UFOP)
Uma variável de interesse. (Altura do alunos)
Atribuímos um modelo, uma função densidade (f (x, θ))
para essa população. (Altura segue uma distribuição
normal com média desconhecida.)
Coletamos uma amostra.
Observamos a estatística. (Médias das alturas)
Fazemos inferência sobre o parâmetro desconhecido.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Ligação entre os modelos de probabilidade e os dados:
◮
O valor numérico dos dados é o valor observado de uma
variável aleatória.
◮
As variáveis são consideradas:
◮
◮
independentes e identicamente distribuídas.
Essas variáveis são conhecidas com uma amostra
aleatória.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮
O engenheiro quer medir o enchimento de uma lata de
refrigerante.
◮
Ele retira uma amostra de tamanho n.
◮
A amostra aleatória é
X1 , X2 , . . . Xn .
◮
Não sabemos o valor da primeira medida X1 ⇒ é uma
variável aleatória.
◮
Consideramos que as medidas são independentes e têm a
mesma distribuição.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Amostra aleatória
◮
As variáveis aleatórias
X1 , . . . Xn
◮
são uma amostra aleatória de tamanho n.
Devem satisfazer as seguintes condições:
◮
◮
os Xi ’s são independentes;
cada Xi tem a mesma distribuição de probabilidade.
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Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
◮
Suponha que queremos investigar a proporção de
pessoas que preferem uma marca de refrigerante.
◮
Seja p o valor desconhecido dessa proporção.
◮
Selecionamos uma amostra de tamanho n.
◮
Como podemos estimar p?
◮
Usando a proporção de pessoas p̂ que preferem a marca
é uma estimativa de p.
◮
Temos que
p̂ =
número de indivíduos que preferem a marca
.
n
◮
p̂ é uma função dos dados observados.
◮
Dizemos que p̂ é uma estatística.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Distribuições Amostrais
Estatística
◮
É qualquer função das observações em uma amostra
aleatória.
◮
Exemplos:
◮
média amostral
n
X
Xi
X̄ =
i=1
◮
variância amostral
2
S =
◮
n
desvio-padrão
Erica Castilho Rodrigues
P
− X̄ )2
(n − 1)
i (Xi
√
S2 .
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
◮
A estatística é uma variável aleatória.
◮
Ela tem distribuição de probabilidade: distribuição
amostral.
Distribuição Amostral
A distribuição de probabilidades de uma estatística é chamada
de uma distribuição amostral.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
◮
◮
◮
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Colhida uma amostra, observamos o valor da estatística T.
Baseado nesse valor faremos uma afirmação sobre θ.
Seria interessante saber:
◮
◮
como T se comportaria se analisássemos todas amostras
possíveis?
qual a distribuição de T quando (X1 , . . . , Xn ) assume todos
valores possíveis?
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮
Considere o seguinte conjunto de números do exmplo
anterior
{1, 3, 5, 5, 7} .
◮
Retiramos dois números com reposição.
◮
Queremos encontrar a distribuição da estatatística
X=
◮
X1 + X2
.
2
Por exemplo, X = 1 apenas se (X1 , X2 ) = (1, 1), logo
P(X = 1) = P(X1 = 1, X2 = 1) =
Erica Castilho Rodrigues
1
11
=
.
55
25
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo: (continuação)
◮ Obteremos X = 3 se ocorrer o evento
A = {(1, 5), (3, 3), (5, 1)} .
◮
Logo
P(X = 3) = P(A) =
◮
1
12 11 21
+
+
= .
55 55 55
5
Já vimos que a distribuição conjunta de (X1 , X2 ) é dada
por
HH
X
H 2
1
3
5
7
Total
X1 HH
H
1
1/25 1/25 2/25 1/25 1/5
1/25 1/25 2/25 1/25 1/5
3
5
2/25 2/25 4/25 2/25 2/5
1/25 1/25 2/25 1/25 1/5
7
Total
1/5
1/5Introdução
2/5à Inferência
1/5parte II 1
Erica Castilho Rodrigues
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Distribuições Amostrais
Exemplo: (continuação)
◮ Repetindo o procedimento anterior podemos encontrar a
distribuição de X
1
1/25
2
2/25
3
5/25
4
6/25
5
6/25
6
4/25
0.05
0.10
f(x)
0.15
0.20
Distribuição de X
0.00
x
P(X = x )
1
2
3
4
5
6
7
x
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
7
1/25
Total
1,00
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮ Lançamos uma moeda honesta três vezes.
◮ Se sair cara ganhamos 1 ponto, se sair coroa perdemos 1.
◮ Xi são os pontos obtidos em cada lançamento
1 com probabilidade 1/2
Xi =
− 1 com probabilidade 1/2.
◮
◮
◮
Nesse caso podemos enumerar todas amostras possíveis
e calcular X̄ e S 2 .
Por exemplo
1
4
1
e X̄ = 1/3, S 2 = .
P((X1 , X2 , X3 ) = (1, 1, −1)) = 3 =
8
3
2
Considerando todos os casos encontramos as
distribuições de X̄ e S 2
-1 -1/3 1/3
1
X̄
S2
0
4/3
pi 1/8 3/8 3/8 1/8
pi 1/4 3/4
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
◮
Na maioria das vezes não é viável enumerar todos
resultados possíveis.
◮
Precisamos de ferramentas para encontrar as
distribuições.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮
Queremos verificar se uma moeda é honesta (p=1/2).
◮
Lançamos moeda 50 vezes.
◮
A amostra aleatória é formada por uma sequência de
variáveis Bernoulli.
◮
Estatística: número de caras nos 50 lançamentos (Y).
◮
Sabemos que Y ∼ Bin(50, p).
◮
Não precisamos enumerar todos casos possíveis, já
sabemos a distribuição amostral.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo: (continuação)
◮
Suponha que observamos 36 caras.
◮
Temos que se p = 1/2
P(Y ≥ 36) = 0, 0013 .
◮
◮
Você diria que essa moeda é honesta? Não.
Se a moeda é honesta,
◮
a probabilidade de observarmos 36 caras ou mais em 50
lançamentos é muito baixa.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
◮
Precisamos de ferramentas para encontrarmos
distribuições amostrais em casos mais gerais.
◮
Nem sempre teremos uma distribuição exata.
◮
E muito menos poderemos enumerar todos os casos
possíveis.
Veremos agora como encontrar a distribuição de duas
estatísticas importantes:
◮
◮
◮
média;
proporção.
Erica Castilho Rodrigues
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Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Distribuição da média amostral:
◮
Vamos estudar a distribuiçã da estatística X .
◮
Considere que X seja variável de interesse.
◮
Vamos supor que
E (X ) = µ
e Var (X ) = σ 2 .
◮
Suponha que retiramos todas amostras possíveis de
tamanho n.
◮
Para cara amostra calculamos a média amostral (x i ).
◮
Analisamos então qual sua distribuição.
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Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮
Vamos considerar novamente a população formada pelos
números
{1, 3, 5, 5, 7} .
◮
Seja X uma variável que pode assumir qualquer um
desses valores com igual probabilidade.
◮
Temos que
E (X ) = µ =
Var (X ) = σ 2 =
21
1+3+5+5+7
=
= 4, 2
5
5
(1 − 4, 2)2 + (5 − 4, 2)2 + (5 − 4, 2)2 + (7 − 4, 2)2
5
= 4, 16
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Distribuições Amostrais
Exemplo: (continuação)
◮ Vimos que a distribuição de X é dada por
x
P(X = x )
◮
1
1/25
2
2/25
3
5/25
4
6/25
5
6/25
6
4/25
X
i
xi pi = 1 ×
1
2
5
6
6
+2×
+3×
+4×
+5×
25
25
25
25
25
1
4
+7×
= 4, 2 .
25
25
De maneira análoga temos que
+6 ×
Var (X ) = 2, 08 .
◮
Notamos que
E(X ) = µ = E(X )
◮
Total
1,00
Notamos então que
E(X ) =
◮
7
1/25
Var (X ) =
σ2
σ2
=
.
2
n
Veremos que isso é sempre verdade.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Distribuições Amostrais
Teorema
◮
Seja X uma variável tal que
E (X ) = µ
◮
e Var (X ) = σ 2 .
Considere
(X1 , X2 , . . . , Xn )
uma amostra aleatória simples ce X .
◮
Temos então que
E (X ) = µ
Erica Castilho Rodrigues
e Var (X ) =
σ2
.
n
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Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Demontração:
◮
Temos que
E (X ) =
E (X1 ) + · · · + E (Xn )
µ + ··· + µ
=
=µ
n
n
e como X1 , . . . , Xn são independentes
Var (X̄ ) =
◮
σ2 + · · · + σ2
σ2
Var (X1 ) + · · · + Var (Xn )
=
=
.
n
n2
n2
Vejamos agora como obter a distribuição dessa estatística.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮ Vamos considerar novamente a população formada pelos
números
{1, 3, 5, 5, 7} .
◮
Vamos construir histogramas para X para n=1, 2 e 3.
n=1
0.20
Distribuição de x
Var (X ) = 4, 16.
f(x)
0.10
0.05
E (X ) = 4, 2
0.15
A ditribuição de X é igual a
de X .
0.00
◮
0
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2
4
x
Introdução à Inferência parte II
6
8
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
n=2
0.4
0.5
Distribuição de x
f(x)
0.2
4, 08
.
2
0.0
0.1
Var (X ) = 2, 08 =
0.3
E (X ) = 4, 2
1
2
3
4
x
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
5
6
7
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
n=3
0.4
Distribuição de x
f(x)
0.2
0.1
4, 08
.
3
0.0
Var (X ) = 1, 39 =
0.3
E (X ) = 4, 2
1
2
3
4
x
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
5
6
7
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
n=4
0.3
Distribuição de x
0.2
0.1
4, 08
.
4
0.0
Var (X ) = 1, 02 =
f(x)
E (X ) = 4, 2
1
2
3
4
x
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
5
6
7
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
n = 10
0.5
0.6
Distribuição de X
f(x)
0.3
0.2
4, 08
.
10
0.0
0.1
Var (X ) = 0, 408 =
0.4
E (X ) = 4, 2
2
3
4
x
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
5
6
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
n = 30
0.8
1.0
Distribuição de x
0.4
4, 08
.
30
0.0
0.2
Var (X ) = 0, 136 =
f(x)
0.6
E (X ) = 4, 2
2.5
3.0
3.5
4.0
x
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Introdução à Inferência parte II
4.5
5.0
5.5
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Observações
◮
À medida que n cresce:
◮
◮
◮
◮
a variância diminui,
histograma tende a se concentrar em torno da média,
a distribuição se aproxima da normal.
Esse resultado é conhecido como Teorema Central do
Limite.
Erica Castilho Rodrigues
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Distribuições Amostrais
◮
◮
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Suponha que não conhecemos a distribuição.
Podemos aproximar a distribuição da média por uma
normal:
◮
Teorema Central do Limite.
Teorema Central do Limite
◮
Considere uma amostra de tamanho n
X1 , . . . , Xn .
◮
Essa amostra é retirada de uma população com média µ e
variância σ 2 .
◮
Seja X̄ a média dessa amostra.
◮
Então
Z =
X̄ − µ
√
σ/ n
tende para uma N(0, 1) quando n → ∞.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
◮
A aproximação normal para X̄ depende do tamanho da
amostra n.
◮
A figura abaixo mostra a distribuição obtida arremessando
um dado com seis faces.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
◮
A distribuição da população está longe da normal.
◮
Porém as médias são aproximadas razoavelmente por
uma normal.
◮
Geralmente é necessário um tamanho de amostra grande.
◮
Valores como n = 4 ou n = 5 não costumam ser
suficientes.
◮
Uma regra prática é usar a aproximação se n ≥ 30.
◮
Se n < 30 o teorema funcionará se a distribuição da
população não for muito diferente da normal.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
◮
Se X tem distribuição normal ⇒ X tem distribuição
normal.
◮
Isso vale para qualquer n:
◮
◮
Esse resultado decorre do fato de que:
◮
◮
mesmo n muito pequeno.
combinação linear de variáeis normais é também normal.
Então se X ∼ N(µ, σ 2 ) pode-se mostrar que
σ2
X ∼ N µ,
n
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮ Uma companhia eletrônica fabrica resistores.
◮ Os resistores têm resistência média de 100 ohms e desvio
padrão de 10 ohms.
◮ A distribuição das resistências é normal.
◮ Uma amostra aleatória de tamanho n = 25 é selecionada.
◮ Qual probabilidade da média ser menor que 95 ohms?
◮ Temos que
X̄ ∼ N(µ, σ 2 /n) .
◮
Portanto a probabilidade requerida é
X̄ − µ
95 − 100
√
√ <
P(X̄ < 95) = P
σ/ n
10/ 25
= P(Z < −2, 5) = 0, 0062 .
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮ Seja X uma variável com distribuição uniforme
(
1
se 4 ≤ x ≤ 6
f (x) = 2
0 caso contrário.
◮
◮
Encontre a distribuição da média de uma amostra
aleatória de tamanho n = 40.
Temos que
E (X ) = µ = 5
◮
Var (X ) = σ 2 =
Então
E (X̄ ) = µ = 5
◮
(6 − 4)2
1
= .
12
3
Var (X̄ ) =
σ2
1/3
=
.
40
40
Pelo Teorema do Limite do Central
X̄ ∼ N(5, 1/((3)40)) .
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo: (continuação)
◮
A figura abaixo mostra os gráficos de X e X̄ .
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮
Seja X o consumo mensal em minutos por conta de
celular de uma região.
◮
X tem média 40 e desvio padrão 12 minutos.
◮
Toma-se uma amostra de 24 usuários.
◮
Encontre:
◮
◮
a probabilidade do tempo médio de uso na amostra
exceder 45 minutos?
a probabilidade do tempo médio de uso na amostra ser
menor que 50 minutos?
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo: (solução)
◮ A média amostral é uma variável com média e variância:
E (X̄ ) = 40
◮
Var (X̄ ) =
122
=6.
24
A primeira probabilidade requerida é
45 − 40
P(X̄ > 45) = P Z > √
= P(Z > 2, 0412) =
6
1 − 0, 9794 = 0, 0206 .
◮
A segunda probabilidade requerida é
50 − 40
P(X̄ < 50) = P Z < √
= P(Z < 4, 0824) = 1 .
6
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮
As notas num certo exame padronizado têm média 450 e
desvio padrão 50.
◮
Uma nota acima de 480 é considerada muito boa.
◮
Uma pessoa entra em uma Universidade se ela obtém
acima de 480 neste exame.
◮
Numa certa sala onde o exame foi aplicado, 25 pessoas
fizeram o teste.
◮
A nota média destas pessoas foi 490.
◮
Isso é estranho?
◮
Você acha que houve fraude?
◮
Dica: use o Teorema Central do Limite.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo: (solução)
◮
Seja X a nota no teste.
◮
X tem média 450 e desvio padrão 50.
◮
Temos que
E (X̄ ) = 450
P(X̄ > 490) = P
Var (X̄ ) =
490 − 450
Z > p
50/25
!
(50)2
.
25
= P(Z > 4) = 0 .
◮
Qual sua conclusão?
◮
É absolutamente improvável que a nota média daquelas
25 pessoas tenha superado 490.
◮
Há um indício claro de fraude no teste? Sim.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Distribuição da proporção amostral
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
◮
A proporção é, no fundo uma média de variáveis binárias.
◮
Exemplo: vamos encontrar a proporção de alunos do sexo
masculino.
◮
Seja xi uma variável tal que
(
1 se o i-ésimo aluno é do sexo masculino
xi =
0 caso contrário.
◮
A proporção de alunos do sexo masculido é dada por
P
xi
p= i
n
é uma média das xi .
◮
Têm as mesmas propriedades da média amostral.
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮ Considere uma população em que uma proporção p tem
certa característica.
◮ Defina a variável
(
1 se o indivíduo é portador da característica
X=
0 caso contrário.
◮
Logo
E (X ) = p
◮
◮
Var (X ) = p(1 − p) .
Seja Yn o total de indivíduos portadores da característica
em uma amostra de tamanho n.
Sabemos que
Yn ∼ Bin(n, p) .
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo: (continuação)
◮
Seja p̂ a proporção de indivíduos portadores da
característica na amostra
p̂ =
◮
Yn
X + · · · + Xn
= 1
.
n
n
Como p̂ é uma média, pelo TCL
Var (Xi )
p̂ ∼ N E (Xi ),
n
ou seja
p(1 − p)
p̂ ∼ N p,
n
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo:
◮
Considere uma escola em que p = 30% dos estudantes
são mulheres.
◮
Retiramos uma amostra de 10 estudantes.
◮
Calculamos
p̂ = proporção de mulheres na amostra.
◮
Qual a probabilidade de que p̂ difira de p em menos de
0,01?
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Distribuições Amostrais
Exemplo: (Resolução)
◮ Essa probabilidade é dada por
P(|p̂ − p| < 0, 01) = P(−0, 01 < p̂ − p < 0, 01) .
◮
Mas
p(1 − p)
p̂ ∼ N p,
n
como p = 0, 3 temos que
(0, 3)(0, 7)
p̂ ∼ N 0, 3,
.
10
◮
Então
P(−0, 01 < p̂ − p < 0, 01) = P(−0, 01 + p < p̂ < 0, 01 + p)
=P
p̂ − p
0, 01 + p − p
−0, 01 + p − p
<
<
p(1 − p)/n
p(1 − p)/n
p(1 − p)/n
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II
Distribuições Amostrais
Distribuição da média amostral
Distribuição da proporção amostral
Exemplo: (Resolução)
−0, 01
0, 01
<Z <
P
0, 03(1 − 0, 03)/n
0, 03(1 − 0, 03)/10
= P (−0, 07 < Z < 0, 07) = 0, 056
Erica Castilho Rodrigues
Introdução à Inferência parte II