Introdução à Inferência Estatística - IME-USP

Introdução à Inferência Estatística
Capítulo 10, Estatística Básica
(Bussab&Morettin, 7a Edição)
2a AULA – 02/03/2015
MAE229 - Ano letivo 2015
Lígia Henriques-Rodrigues
2a aula (02/03/2015)
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1. Contexto
A Teoria de Probabilidade e a Inferência Estatística são processos
"complementares"
Teoria da probabilidade: parte-se de um modelo totalmente especificado,
que se assume como correto e se calcula, e.g., as probabilidades de
certos acontecimentos
Inferência estatística: Observam-se certos acontecimentos, e procura
inferir-se sobre o modelo prababilístico pelo qual se regirá o experimento
aleatório.
Exemplo:
Considere-se um grupo numeroso de pessoas entre as quais há uma
proporção θ de fumadores.
Se θ conhecido e estivermos interessados em conhecer a probabilidade
de encontrar x fumadores num grupo de 10 pessoas escolhidas ao
acaso — Teoria da Probabilidade
Na prática, sucede quase sempre que θ é desconhecido. A partir da
observação do número de fumadores na amostra de 10 pessoas,
pretende-se tirar conclusões sobre a proporção de fumadores na
população, θ – Inferência Estatística
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2. População e Amostra
População
É o conjunto de todos os elementos ou resultados sobre investigação.
Amostra
É qualquer subconjunto da população.
Exemplos:
Consideramos uma pesquisa para estudar os salários dos 500
funcionários da Companhia MB. Seleciona-se uma amostra de 36
indivíduos, e anotam-se os seus salários.
Consideramos uma pesquisa para estudar a duração de vida útil de um
novo tipo de lâmpadas, pois acredita-se que a duração desse novo tipo é
maior. Então 100 lâmpadas do novo tipo são deixadas acesas até
queimarem.
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Objetivo
O objetivo da Inferência Estatística é produzir afirmações sobre dada
característica da população, na qual estamos interessados, a partir de
informações recolhidas de uma parte dessa população.
A inferência clássica procura responder a questões do tipo:
Os dados x são compatíveis com o modelo teórico?
Neste ponto inserem-se os chamados testes de hipóteses.
Admitindo a validade do modelo, como escolher um ou mais elementos
do modelo que representem adequadamente os parâmetros
desconhecidos à custa da informação contida nos dados? Neste ponto
insere-se a estimação pontual e intervalar.
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Amostragem Aleatória Simples (AAS)
Aleatoriamente sorteia-se um elemento da população, sendo que todos os
elementos têm a mesma chance de ser escolhidos. Repete-se o
procedimento até que sejam sorteadas as n unidades da amostra.
AAS com/sem reposição: com reposição implica a propriedade de
independência entre unidades selecionadas. Isso facilita o tratamento
matemático de propriedades de estimadores que vamos construir em cima da
amostra.
Definição
Uma amostra aleatória simples (AAS) de tamanho n de uma variável
aleatória X , com dada distribuição, é o conjunto de n variáveis aleatórias
independentes X1 , X2 , . . . , Xn , cada uma com a mesma distribuição de X .
(X1 , . . . , Xn ): Amostra aleatória simples
(x1 , . . . , xn ): Amostra observada
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Estatísticas e Parâmetros
Definição
Uma estatística é uma característica da amostra, ou seja, é qualquer função
da amostra que não depende de parâmetros desconhecidos.
Exemplos
A média amostral X =
1
n
2
Pn
A variância amostral S =
i=1 Xi é uma estatística;
Pn
1
2
i=1 (Xi − X ) é uma
n−1
estatística;
X(1) = min (X1 , X2 , . . . , Xn ) é uma estatística;
X(n) = max (X1 , X2 , . . . , Xn ) é uma estatística.
Definição
Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da
população.
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Designação
População
X
Média
µ = E[X ]
Variância
σ 2 = Var [X ]
AAS
(X1 , . . . , Xn )
Pn
X = n1 i=1 Xi
Pn
1
2
S 2 = n−1
i=1 (Xi − X )
Proporção
p
p̂
Amostra observada
(x1 , . . . , xn )
Pn
x = n1 i=1 xi
Pn
1
s2 = n−1
i=1 (xi − x)
p̂
As estatísticas são v.a’s e a sua distribuição amostral desempenha um papel
fundamental na teoria da inferência estatística.
Esquema:
uma população X , com determinado parâmetro de interesse θ;
todas as amostras retiradas da população, via AAS;
para cada amostra, calculamos o valor observado, t, da estatística T ;
os novos valores t formam uma nova população, cuja distribuição recebe
o nome de distribuição amostral de T .
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Distribuição Amostral da Média
Teorema
2
Seja X uma v.a. com média
Pn µ e variância σ , e seja (X1 , . . . , Xn ) uma AAS de
1
X . Então, sendo X = n i=1 Xi , a média da amostra,
E(X ) = µ e
Var (X ) =
σ2
.
n
Teorema do Limite Central (TLC) (n ≥ 30)
Para AAS (X1 , . . . , Xn ), retiradas de uma população com média µ e variância
σ 2 finita, a distribuição amostral de X aproxima-se, para n grande, de uma
distribuição normal, com média µ e variância σ 2 /n.
NOTA: Se X ∼ N(., .) então X ∼ N(., .). Se X segue uma distribuição
qualquer e verifica as condições do TLC então a distribuição amostral de X
aproxima-se de uma normal.
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Exemplo 1:
Uma máquina está regulada para encher pacotes de café automaticamente
segundo uma distribuição normal com média de 10 gramas e desvio padrão
desconhecido. Recolheu-se uma amostra de n = 10 pacotes, tendo-se obtido
os seguintes pesos (em gramas):
10, 09; 10, 15; 9, 78; 9, 77; 9, 91; 10, 25; 9, 98; 10, 9; 10, 05; 9, 12.
Qual é a probabilidade de encontrarmos a média X diferindo de 10 gramas
de menos de 0.32 gramas.
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Distribuição Amostral de uma Proporção
Considere-se uma população em que a distribuição de elementos portadores
de determinada caraterística é p e defina-se a v.a.
1,
se o indivíduo for portador da característica
X =
0, se o indivíduo não for portador da característica.
Logo, E(X ) = p = µ e Var (X ) = p(1 − p) = σ 2 , isto é, X ∼ Ber (p).
Retirada uma AAS de dimensão n dessa população, define-se por
Yn - o total de indivíduos portadores dessa característica
p̂ = Ynn - a proporção amostral de indivíduos portadores dessa
característica,
com Yn ∼ b(n, p).
Nas condições do TLC, para n grande, podemos considerar a distribuição
amostral de p como aproximadamente normal,
p(1 − p)
p̂ ∼ N p,
.
n
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Exemplo 2:
Suponha que 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres. Colhemos
uma AAS de n = 100 estudantes e calculamos p̂ = proporção de mulheres na
amostra. Qual probabilidade de que p̂ difira de p em menos de 0,01?
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Determinação do tamanho de uma amostra
Chamamos de erro amostral (da média ou da proporção) e designamos por
e a v.a. que mede a diferença entre a estatística e o parâmetro. Assim,
e =X −µ
Tendo-se
e = p̂ − p.
ou
σ2
e ∼ N 0,
n
ou
p(1 − p)
e ∼ N 0,
n
.
Suponhamos que pretendemos determinar o valor de n que satisfaz
P(|X − µ|) ≤ ε) ≥ γ
com 0 < γ < 1 e ε é o erro amostral (observado) máximo
que podemos
√
suportar. Definindo γ = P(−zγ < Z < zγ ), com zγ = σn ε , obtemos
n=
σ 2 zγ2
.
ε2
No caso de proporções,
n=
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p(1 − p) zγ2
.
ε2
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Observando o gráfico da função p(1 − p), para 0 ≤ p ≤ 1
vemos que:
a função p(1 − p) é uma parábola simétrica em torno de p = 0, 5;
a função atinge o seu máximo (0,25) quando p = 0, 5.
Deste modo, na prática, se nada sabemos sobre o valor de p, substituimos
p(1 − p) por 0,25 obtendo-se
z 2
γ
n = 0, 25
,
ε
que pode fornecer um valor de n maior do que o necessário.
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Se soubermos que p ≤ 0, 20, então o valor máximo de p(1 − p) é
z 2
0, 2 × 0, 8 = 0, 16 e reduzimos o valor de n para n = 0, 16 εγ .
Se soubermos que p ≥ 0, 70, então o valor máximo de p(1 − p) é
z 2
0, 7 × 0, 3 = 0, 21 e reduzimos o valor de n para n = 0, 21 εγ .
Se soubermos que 0, 40 ≤ p ≤ 0, 70, então o valor máximo de p(1 − p) é
0, 5 × 0, 5 = 0, 25 e, neste caso, não há redução, ou seja,
z 2
n = 0, 25 εγ .
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Exemplo 3:
Suponha que se pretende estimar, com base em uma amostra, a proporção p
de alunos da USP que foram ao teatro no último mês.
Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro cometido ao se
estimar p seja no máximo 0, 02 com um coeficiente de confiança de
95%?
Suponha que temos informação de que no máximo 30% dos alunos da
USP foram ao teatro no último mês. Qual a dimensão da amostra que
devemos recolher? Houve redução?
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