Lista de exercícios sobre Matrizes e Determinantes

Lista de exercícios sobre Matrizes e Determinantes
1) Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i – j.
2) Construa as seguintes matrizes:
1, se i  j
A = (aij)3x3 tal que aij = 
0, se i  j
i  2j, se i  j
B = (bij)3x3 tal que bij = 
i - 3j, se i  j
1, se i  j
3) Construa a matriz A = (aij)3x2 tal que aij =  2
i , se i  j
i  j, se i  j
4) Seja a matriz A = (aij)3x4 tal que aij = 
, então a22 + a34 é igual a:
2i  2 j, i  j
5) Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i
–i.
6) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal
secundária da matriz A = (aij)3x3.
i  j , se i  j
7) Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij = 
, determine a soma dos elementos
i. j , se i  j
a23 +a34.
8) Seja a matriz A = (aij)5x5 tal que aij = 5i – 3j. Determine a soma dos elementos da
diagonal principal dessa matriz.
9) Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i 2 –
7j.
a  4
10) Determine a e b para que a igualdade 
10
2

11) Sejam A =  4
0

3

- 1 e B =
2 
b3 
=
7 
 2a b 

 seja verdadeira.
10 7 
  2 0


- 1  , determine (A + B)t.
7
8
5 

3 1 
 e B =
12) Dadas as matrizes A = 
 4 - 2
x  y

1
x - y
 , determine x e y para que A = Bt.
-2 
 1 4 5  3 5 2 
13) Resolva a equação matricial: 0 2 7    1 5 3 = x +
1 - 1 - 2 4 2 2
2 7 2 
8 - 1 - 3 .


 1 9 5 
 2 x    4 - 4
 1 2 
  
  2.
 .
14) Determine os valores de x e y na equação matricial: 
 y 3   7 5
  3 4
x
1 0   0 1 - 1  
.
   y  é a matriz nula, x + y é igual a:
15) Se o produto das matrizes 
  1 1 1 0 2  1 
 
 3 - 1  x 
1 
.   4.  , determine o valor de x + y.
16) Se 
1 3   y 
 2
0
17) Dadas as matrizes A = 
2
a) A + B
3
, B=
- 5
 2 4 
0 - 1 e C =


b) A + C
4 2 
 6 0 , calcule:


c) A + B + C
1 - 1 0 
18) Dada a matriz A = 2 3 4  , obtenha a matriz x tal que x = A + At.


0 1 - 2
19) Sendo A = (aij)1x3 tal que aij = 2i – j e B = (bij)1x3 tal que bij = -i + j + 1, calcule A + B.
m 2m n - n  7
20) Determine os valores de m, n, p e q de modo que: 


 p p  q - 3q  1
y    2 3   1 0


.
w   4 - 1  8 - 5 
x
21) Determine os valores de x, y, z e w de modo que: 
z
1
2
0
22) Dadas as matrizes A = 
,B= 

2
  3 4
a) A – B
8
.
5
- 1
3
eC= 

5
6
0
, calcule:
1 
b) A – Bt – C
 0 4 - 2
  3 6 9
 0 -1 0 
 , B = 
 e C = 
 , calcule o
23) Dadas as matrizes A = 
6 2 8 
12 - 6 0 
1 - 1 2 
resultado das seguintes operações:
1
1

a) 2A – B + 3C
b) A   B  C 
2
3

24) Efetue:
 5 - 3  3 
. 
a) 
 1 4    2
2 2
5
.
b) 
 1 4  0
- 1

3 
1 0 0   2 2 1 



c) 1 1 0 .1 2 2 
 0 1 1  2 1 2 



 2 - 1 0
25) Dada a matriz A = 1 0 0 , calcule A2.


0 0 1
3 2
 3 - 1
1 
 e B = 
 e C =   , calcule:
26) Sendo A = 
5 1 
2 0
 4
a) AB
b) AC
c) BC
27) Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij
= -4i – 3j. Sabendo que C A + B, determine C2.
28) Calcule os seguintes determinantes:
8
b) 
 3

- 4 8

a) 
1 - 3 
29) Se a =
2
1
3 4
,b=
30) Resolva a equação
2
31) Se A = 
3
3

- 7 
 - 4 6 - 9


c)  - 3 4 6 
 1 3 8


21 7
-1 - 2
ec=
, determine A = a2 + b – c2.
3 1
5
3
x
x
5
x
= -6.
3
, encontre o valor do determinante de A2 – 2ª.

4
b
a
32) Sendo A =  3
, calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o
3
a b 
valor numérico desse determinante para a = 2 e b = 3.
 4 - 1 0
33) Calcule o valor do determinante da matriz A = 5 7 6 


2 1 3
x 1 2
3
4
34) Resolva a equação
x 1
5 
x
3 1 -2
1
-2
35) Se A = (aij)3x3 tal que aij = i + j, calcule det A e det At.
36) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500
crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança,
concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A,
1 -1 1
em que: 3 0 - x , com base na fórmula p(x) = det A, determine:
2
0 2
3
a) o peso médio de uma criança de 7 anos
b) a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg.
 sen x
37) Calcule o valor do determinante da matriz A= 
cos x
38) Resolva a equação
2
39) Se A = 
4
3
x -1
- cos x 
.
- sen x 
1
= 3.
-1
- 1
 , calcule o valor do determinante de
5 
 A2


 2 A  .
 7

40) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para 1  i  2 e 1  x  2 .
Determine o determinante de A.
x 2
41) Determine o determinante da seguinte matriz 3 - 1
0 2
1 2
42) Dada a matriz A = - 1 4
0 1
1
x.
1
3
5 e a = det A, qual o valor de det (2A) em função de a?
2
43) Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det At.
 1 0 2
44) Calcule os determinantes das matrizes A =  - 1 3 4  e B =


 2 - 1 - 7
o teorema de Laplace.
1 0
3 - 4

1 - 6
45) Resolva as equações:
a)
x x 2
=0
5 7
46) Sabendo – se a =
b)
-3
2
5
1
x
x
5
x
eb=
2
4
=0
c)
x3 5
1
x -1
=0
6
, calcule o valor de 3a + b2.
10
0
2 , usando
- 7 
47) Dada a matriz A =
2
4
1
3
, calcule:
b) det A2
a) det A
48) Determine o valor de cada determinante:
3 2
5
0
3
0
a) 4 1
b) - 2 3
3
1
2
3
4
4
-2
2
c) 1
4
5
2
1
3
0
1
0
 2

49) Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz P =  2

0
1
x
x2 


2
4  , calcule:
50) Na matriz 1
1
-3
9 

-1
1
a) seu determinante
b) os valores de x que anulam esse determinante
2 x x
51) Determine em IR a solução da equação: - 1 - 2 - 1 = 8 – log84.
3 1 2
1
3
eb= 2
2
1
1
52) Sabendo que a =
2
3
2
1
53) Determine a solução da equação:
x
2
1
1 , efetue a2 – 2b.
3
3
8
= 0.
-x
 sen x
54) Determine o determinante da matriz 
  2co x
x
55) Resolver a equação x
x
x
x
4
cos x 
.
2 sen x 
x
4 =0
4
56) Resolva as equações:
2
a) 2
3
4 1
4 x=0
1 2
2
b) 0
2
3
1
x
-2
x =2
-3
x 1
c) 3
x
3
x
2
x
1 =0
x -1
2
1

- 1 .

2 