Simulado IME - Sistema SEI

Simulado IME
1. Seja f uma função bijetora de uma variável real e a relação h, definida por
h : IR2 Æ IR2
(x, y) Æ (x3, x – f (y))
Verifique se h é bijetora e calcule uma relação g, tal que
g D h (x, y) = (x, y)
h D g (x, y) = (x, y),
∀ x, ∀ y
∈ IR
2. Mostre que os números 12, 20 e 35 não podem ser termos de uma mesma progressão geométrica.
3. Seja Mn(R) o conjunto de matrizes quadradas de ordem n, de coeficientes reais. Define-se a função,
Ψ : Mn(R) x Mn(R) Æ Mn(R)
Ψ (A,B) = AB – BA
Calcule:
Ψ (Ψ(A,B);C) + Ψ (Ψ(B,C),A) + Ψ(Ψ(C,A),B)
4. Calcule o coeficiente do termo em x3, no desenvolvimento de:
(2x – 3)4(x + 2)5:
5. Dada a equação 2mx2 – 2x – 3m – 2 = 0 , onde m ∈ IR:
a) Determine m tal que uma raiz seja nula; calcule a outra raiz.
b) Mostre que a equação dada tem sempre duas raízes distintas.
c) Determine m para que uma raiz seja inferior a 1 e a outra seja superior a 1.
6. Seja D o determinante da matrix A = [aij ] de ordem n, tal que aij = ⎟i – j⎟. Mostre que:
D = (–1)n–1 : (n – 1):2n–2
7. Sejam z1 e z2 complexos de raios vetores OP1 e OP2, respectivamente.Mostre que OP1 e OP2 são
perpendiculares se e somente se z1 z 2 é um imaginário puro.
Notação: z é o conjugado de z.
8. Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H dessa altura construímos as perpendiculares
HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o ponto de interseção DE com BC. Construindo as alturas
relativas aos vértices B e C determinam-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados AC e AB.
Demonstre que os pontos P, Q e R são colineares.
9. Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética e o lado intermediário mede l. Sabendo-se que o
maior ângulo excede o menor em 90º, calcule a razão entre os lados.
10. Dois círculos de raios R e r são, ao mesmo tempo, bases de um tronco de cone e bases de dois
cones opostos de mesmo vértice e mesmo eixo. Seja K a razão entre o volume do tronco e a soma dos
volumes dos dois cones opostos e seja m a razão
R
r
. Determine m em função de K.
Gabarito
1.
g : IR 2 → IR 2
(x, y ) → (x 3 , x − f ( y ))
2. Demonstração
3. On
4. 168
5.
a)
2
3
m=− e x=−
3
2
b) Demonstração
c)
m < −4 ou m > 0
6. Demonstração
7. Demonstração
8. Demonstração
9.
l 7
7
10.
(k + 1) ±
m=
− 3 + 10k − 3k 2
2k − 2