Lista B (introdução à Matemática)

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Cálculo Innitesimal I - 2015/01 - Marco Cabral
Graduação em Matemática Aplicada - UFRJ
Monitores: Zair Henrique & Jonathas Ferreira
Lista 01 - Introdução à matemática
No. Try not. Do... or do not. There is no try.
- Master Yoda, The Empire Strikes Back (1980)
Considerações iniciais:
Na matemática, um
Axioma
é uma hipótese inicial da qual outros
enunciados são logicamente derivados. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente
porque eles são hipóteses iniciais. Partindo dos Axiomas, toda a teoria é desenvolvida e os resultados obtidos em sequência, podem (e devem) ser utilizados para que outros teoremas sejam
provados. Os teoremas podem ser deduzidos por uma sequência de raciocínios lógicos, a qual
chamamos de demonstração. Os tipos mais usados são:
•
Demonstração direta
→
A demonstração direta é aquela em que partindo da hipótese inicial, através de uma
série de argumentos verdadeiros e deduções lógicas, concluímos a veracidade da tese.
•
Demonstração por contraposição
→
A contrapositiva de A implica em B é não-B implica em não-A e, pela lógica, são
equivalentes. Provar uma é o mesmo que provar a outra. Por exemplo, Se como laranjas,
então gosto de frutas. é equivalente a Se não gosto de frutas, então não como laranjas.
Pense nisto!
•
Demonstração por contradição
→ O método da demonstração por contradição consiste em supor que o que se quer concluir
é falso. Desta suposição, através de uma sequência de deduções lógicas, chegarmos a uma
conclusão que contradiz suas hipóteses iniciais ou a um fato que é sabidamente falso. Essa
contradição implica a validade do que se queria concluir. Por exemplo. Queremos provar
que A é verdadeiro. Suponha que A é falso e deduza desta hipótese que
que A é verdadeiro.
A razão lógica disto é o princípio do
2 = 3.
Isto implica
terceiro excluido:
ou A é
verdadeiro, ou A é falso. Se A falso implicar em algo absurdo, então A é verdadeiro.
Na realidade, o porquê desses métodos de demonstração funcionarem também é um teorema, que
pertence a uma área que fundamenta a Matemática, a Lógica. Estranho não? Independentemente
do método usado, lembre-se de sempre escrever todos os seus passos. Procure ser claro e não
omita informações ainda que pareçam irrelevantes.
1.
Demonstração direta
Vamos ilustrar demonstração direta provando propriedades de conjuntos.
Deve-se ter em mente que nem sempre os resultados que julgaremos serem fáceis (ou intuitivos), possuem uma demonstração fácil. Começamos denindo igualdade de conjuntos através
do conceito de estar contido.
Denição 1
Dados conjuntos
A
e
B
dizemos que
A⊂B
se para todo
Denição 2
Dados conjuntos
A
e
B
dizemos que
A=B
se
Logicamente (verique!),
elementos de
B,
Exemplo 1
Sejam
A = B
e
B
e
B ⊂ A.
se, e somente se, todos os elementos do conjunto
e todos os elementos de
A
A⊂B
a ∈ A, a ∈ B .
B
são elementos de
dois conjuntos tais que
1
B ⊂ A.
A.
Então
A ∪ B = A.
A
são
Prova:
x ∈ A.
então x ∈ A ou x ∈ B . Como B ⊂ A, então temos que ∀x ∈ B ⇒
x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A, ou seja, A ∪ B ⊂ A. Mas para todo x ∈ A, é
x ∈ A ∪ B , logo A ⊂ A ∪ B . Assim, concluí-se que se B ⊂ A, então A ∪ B = A. Se
x ∈ A ∪ B,
Logo, para todo
fato que
Note que cou faltando denir união de conjuntos. Além disso, na denição de
denir
a ∈ A.
A ⊂ B,
faltou
Mas, na teoria dos conjuntos, a noção de pertence é similar a ponto e reta na
fundamentação da geometria, é um termo primitivo, sem denição. Uma referência clássica é
Teoria Ingênua dos Conjuntos (Naive Set Theory ) P. Halmos.
Seguem como exercício problemas que podem ser resolvidos por demonstração direta.
Exercício 1 (a) Mostre que, dados os conjuntos
A, B
e
C,
tem-se:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩
(A ∪ C).
Exercício 1 (b) Mostre que
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Exercício 1 (c) Mostre que se
conjunto
2.
A ⊂ B,
então,
B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪ A,
para qualquer
C.
Demonstração por Contraposição e Contradição
√
Vamos ilustrar estes tipos de demonstração provando que
2
é um número irracional. Para
isso vamos provar primeiramente um resultado que será útil durante a demonstração principal.
Em geral, quando provamos um resultado para usá-lo em outra demonstração, damos a ele
Lema. Assim, resultado principal é
Proposição, que é similar a Teorema.
o nome de
o termo
Teorema, acessório, Lema. Existe também
Assim o que é Teorema ou Proposição em
algum texto, pode ser Lema em outro, dependendo do objetivo a que se quer chegar.
(a) Exemplo de Demonstração por contraposição
Lema 1
Se
Prova:
Vamos utilizar a contraposição para demonstrar isso. Ou seja, iremos provar
que se
a2
é par, então
a não é par,
então
a2
a
é par.
não é par. Pela princípio da paridade, se um número inteiro
a é ímpar, então a2 é ímpar.
Se a é ímpar, então pode ser escrito da forma a = 2p + 1 para algum p ∈ N. Logo,
a2 = (2p + 1)2 = (2p + 1)(2p + 1) = 4p2 + 4p + 1 = 2(2p2 + 2p) + 1 = 2q + 1 com
q = 2p2 + 2p, que é um número ímpar, como queríamos demonstrar.
não é par, então é ímpar.
Logo, iremos provar que se
(b) Exemplo de Demonstração por contradição
√
Utilizando o Lema 1 provamos que
2
é irracional pelo o método da contradição.
√
√
2 não é irracional, isto
√ é, suponha que 2
é racional. Então,
2 = a/b, com a, b ∈ Q. Por denição 2 > 0 (veja exercício
abaixo), logo podemos supor que a, b > 0. Além disso, podemos supor que mdc(a, b) = 1
Prova:
Suponha, por contradição, que
√
(exercício). Logo,
√
b 2=a
Elevando ambos os lados ao quadrado,
2b2 = a2
a2 é múltiplo de 2 (=par). Pelo Lema 1, temos que a é par e com isso podemos
a = 2k com k ∈ N∗ . Substituindo na equação acima, teremos
Portanto,
escrever
2b2 = (2k)2 = 4k 2
2
b2 = 2k 2 . Assim, pelo Lema
múltiplos de 2, então mdc(a, b) 6= 1,
Logo,
b
1 novamente,
é múltiplo de
2.
Mas se
a
b são
√
2
e
o que contradiz uma de nossas hipóteses. Logo
é irracional.
Seguem como exercício problemas que podem ser resolvidos utilizando a técnica da demonstração por contradição.
Exercício 2 (a) Mostre que
√
p,
onde
p
é um número primo, também é irracional.
√
Exercício 2 (b) Generalize o argumento acima para n
Exercício 2 (c) Agora mostre que
1,
√
n
p
onde
p
é um número primo e
n ∈ N.
pm onde p é um número primo e m, n ∈ N, com mdc(m, n) =
também é irracional.
Exercício 2 (d) Você sabe que existem innitos números primos. Mas já parou para pensar
sobre como demonstrar isso? Então, vamos lá. Suponha que o conjunto
P = {p1 , . . . , pn }.
primos é nito:
Então, tome
a uma contradição. Dica: Mostre que
K
K = p1 p2 . . . pn + 1
dos
pi .
não é divisível por nenhum
Exercício 2 (e) Prove que existem innitos primos na progressão aritmética
P
e chegue
4n + 3 com n ∈ N
seguindo o seguinte roteiro:
4n + 3.
Prove Lema B: o produto de números da forma 4n + 1 é da forma 4n + 1.
(i) Prove Lema A: todo primo diferente de 2 é da forma
(ii)
4n + 1
ou
(iii) Suponha, por contradição, que exista um número nito de primos da
4n+3, digamos, p1 , . . . , pk . Dena N = 4p1 . . . pk −1 = 4(p1 . . . pk −
1) + 3. Conclua que N é da forma 4n + 3 e, portanto, N não é primo.
Assim, N é divisível por algum primo. Prove que este primo deve ser da
forma 4n + 1. Dica: Nenhum dos p1 , . . . , pk nem 2 divide N .
Assim N será o produto de números na forma 4n + 1 e, pelo Lema B,
N será desta forma, chegando a uma contradição.
forma
(iv)
(v)
Observação:
A generalização disso para qualquer progressão
mdc(k, p) = 1
kn + p
com
é o chamado Teorema de Dirichlet, porém a demonstração
é surpreendentemente difícil.
3. Imagine uma leira com innitos dominós, um atrás do outro. Suponha que eles estejam de
tal modo distribuídos que, uma vez que um dominó caia, o seu sucessor também cai. O que
acontece quando derrubamos o primeiro dominó? Esperamos que, com isso, mesmo que sejam
innitos, todos os dominós caiam. Assim é o
princípio da indução nita, que é um método
de demonstração muito utilizado quando se quer provar teoremas válidos para todos números
naturais.
Teorema 1 (Ou axioma?)
Para cada
n ∈ N,
seja
P (n)
uma propriedade sobre
n.
Suponha
que
(a)
P (1)
é verdade.
(b) Para todo
Então,
P (n)
Exemplo 2
Então
se
P (k)
é verdade, então
é verdade para todo
P (k + 1)
é um múltiplo de
é verdade.
n ∈ N.
Vamos provar usando indução que: Seja
np − n
Fermat.
k ∈ N,
p.
p
um primo e
Esse resultado é conhecido como
3
n
um inteiro positivo.
Pequeno Teorema de
Prova:
O caso
n=1
é óbvio. Então, assumamos que a armação vale para todo
vamos mosrar que isso implica a validade para o caso
(n + 1)p − (n + 1) = np +
n + 1.
k≤n
e
Veja que
n X
p j
[
n ]+1−n−1
i
i=1
= np − n +
n X
p j
n
i
i=1
Como
p
i
nj é múltiplo de
p
np − n também é múltiplo de
quando
p,
1 ≤ j ≤ p−1
e como pela nossa hipótese de indução
concluímos então que
(n + 1)p − (n + 1)
é múltiplo de
p,
logo,
∀n ∈ N.
o teorema é válido
n(n+1)
.
2
n(n+1)(2n+1)
n2 =
.
6
n(n+1)
n3 = [ 2 ]2 .
Exercício 3 (a) Mostre, utilizando indução, que
1 + 2 + 3 + ... + n =
Exercício 3 (b) Mostre, utilizando indução, que
12 + 22 + 32 + ... +
Exercício 3 (c) Mostre, utilizando indução, que
13 + 23 + 33 + ... +
1k + 2k + 3k + ... + nk ?
expressão para todo k ∈ N?
Exercício 3 (d) Quanto vale
essa
É possível dar uma fórmula fechada para
Exercício 3 (e) Vamos agora provar que as funções da forma
polinômios para todo
Tchebyshev.
n
natural.
Tn (x) = cos (n arccos (x))
Eles são os chamados
T1 (x) e T2 (x) são polinômios.
Suponha que Tk (x) é um polinômio para todo k ∈ N
Mostre que isso implica que Tn+1 (x) é um polinômio.
são
Polinômios de
i. Mostre que
ii.
tal que
k ≤ n.
iii. Conclua a demonstração.
4. Leia essa passagem do romance A Culpa é das Estrelas de John Green.
Não posso falar da nossa história de amor, então vou falar de matemática. Não sou formada
em matemática, mas sei de uma coisa: existe uma quantidade innita de números entre 0 e
1. Tem o 0,1 e o 0,12 e o 0,112 e uma innidade de outros. Obviamente, existe um conjunto
ainda maior entre o 0 e o 2, ou entre o 0 e o 1 milhão. Alguns innitos são maiores que
outros.
Você acha que as armações deste trecho são verdadeiras? Será que existem mais números
reais no intervalo
(0, 2)
(0, 1)?
do que no intervalo
Será que existem innitos maiores que
outros? Começamos com denições.
Uma função f : A → B é chamada injetiva quando, dados x, y quaisquer em
f (x) = f (y), então x = y . Uma função f : A → B é chamada sobrejetiva quando
para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f (x) = y . Quando f : A → B é injetiva
e sobrejetiva, chamamos f de bijetiva.
Denição 3
A,
se
A medida de quantidade de elementos de um conjunto é dita
Por exemplo, o conjunto
Denição 4
{3, 5, 8}
tem cardinalidade
Dizemos que um conjunto
existe uma bijeção entre
A
e
A
cardinalidade do conjunto.
3.
tem a mesma cardinalidade um conjunto
B.
4
B
se
Exercício 4 (a) Prove que
f : R → R
denida por
f (x) = 5x − 2
é bijetiva.
Prove que a
2×2
é sobrejetiva.
função determinante, denida no conjunto das matrizes
Prove que
G : N×N → N
denida por
g(a, b) = 2a 3b
é injetiva mas não é
sobrejetiva.
Exercício 4 (b) Dena conjunto nito e um conjunto innito (pesquise).
Exercício 4 (c) Dena conjunto enumerável e um conjunto não-enumerável (pesquise).
Exercício 4 (d) Prove que
N
e
Z
tem a mesma cardinalidade. Sim, existem tantos naturais
quanto inteiros.
Exercício 4 (e) Prove que existe uma bijeção entre
N
e
Q.
É isso mesmo,
N, Z
e
Q
tem o
mesmo número de elementos.
Exercício 4 (f ) Agora, demonstre que não existe bijeção entre
N
sim innitos maiores que outros. Procure sobre o
Cantor.
e
R
e conclua que existem
argumento diagonal de
Exercício 4 (g) Utilize cardinalidade para provar que existem números reais irracionais. Dica:
contradição.
Exercício 4 (h) Mostre que a personagem realmente não é formada em matemática
que os intervalos
(0, 1)
e
(0, 2)
:),
isto é,
tem o mesmo número de elementos.
Exercício 4 (i) Veja se é possível estender o argumento para provar que qualquer intervalo
(a, b)
tem o mesmo número de elementos que
R.
Dica: Figura abaixo ou função am.
Exercício 4 (j) Pesquise o que são números algébricos e números transcendentes e prove a
enumerabilidade do conjunto dos números algébricos.
Exercício 4 (k) Utilize cardinalidade para provar que existem números reais transcendentes.
Dica: contradição.
R quando todo intervalo aberto (a, b) ⊂ R possui algum
ponto de X . Ou seja, ∀a, b ∈ R com a < b, ∃x ∈ X tal que a < x < b. Intuitivamente isso
signica dizer que o conjunto X está bem 'espalhado' por toda a reta.
5. Um conjunto
X
é chamado denso em
Exercício 5 (a) Mostre que o conjunto
Q
comprimento do intervalo
passos de tamanho
1/N
Exercício 5 (b) Mostre que o conjunto
dos números racionais é denso em
(a, b)
vou cair no
R−Q
1/N , N ∈ N,
intervalo (a, b).
é maior que
R.
Dica:
se
então andando em
dos números irracionais também é denso em
R.
Dica: ande com passos irracionais.
É interessante perceber que, um conjunto pode ser denso em outro mesmo tendo cardinalidade
diferente, como no caso dos racionais. Você verá que, cedo, estes dois resultado serão muito
úteis para você.
5
6. Em matemática, patologias são resultados que de certa maneira vão de encontro às idéias
intuitivas, matematicamente falando, de um certo período da história.
descoberta de que existem números irracionais na Grécia antiga.
Um exemplo é a
Parece bobo nos dias de
hoje, mas na época foi algo que deixou os matemáticos bastante assustados.
Nas questões
abaixo, pesquise na internet ou em livros os assuntos e tente escrever sobre eles com suas
próprias palavras, com base na sua intuição sobre o que entendeu.
Exercício 6 (a) O que é o
Axioma da Escolha?
Ele faz sentido para você?
ber o motivo desse axioma ser tão polêmico na matemática.
Exercício 6 (b)
Procure saProcure pelo
Paradoxo de Banach-Tarski.
Fale sobre o Teorema da Incompletude de Gödel e sua importância na
Matemática.
Conjectura de Goldbach.
O que é um fractal? Para que ele serve?
Exercício 6 (c) Pesquise sobre a
Exercício 6 (d)
Exercício 6 (e) Se um hotel possui innitos quartos, mas todos estão cheios, é possível esse
hotel receber mais hóspedes? Pesquise sobre o
Hotel de Hilbert.
O livro de
Análise de C. Neri e M. Cabral (veja na internet) tem um texto legal sobre
isso.
Exercício 6 (f ) Todas as pessoas do mundo torcem para o mesmo time. Vamos demonstrar
isso por indução. Podemos observar que num conjunto que contém uma única
pessoa, todas torcem pro mesmo time.
Se supusermos que a proposição é
verdadeira para todos os conjuntos de dimensão inferior ou igual a
se houver
n+1
n,
então
pessoas num conjunto, retiramos uma delas para obter um
conjunto resultante com
n
pessoas, e pela hipótese de indução, todas as pes-
soas nesse conjunto torcem pro mesmo time. Devolvemos a pessoa retirada
ao conjunto inicial, e retiramos outra diferente.
todas as
Pela hipótese de indução,
n pessoas torcem pro mesmo time. Logo as n + 1 pessoas torcem pro
n ∈ N, as n pessoas torcem para o mesmo
mesmo time. Então para qualquer
time. E agora? Isso está errado? E se estiver, onde está o erro?
Exercício 6 (g) Considere o conjunto
M
como sendo "o conjunto de todos os conjuntos que
A é elemento de M
(M ) é membro de si
não se têm a si próprios como membros". Formalmente,
se e somente se
A
não é elemento de
A.
Esse conjunto
próprio? Suponha que sim e depois que não. O que você conclui? Pesquise
sobre o
paradoxo de Russell.
Exercício 6 (h) Será que existe o conjunto universo, isto é, um conjunto que contenha todos
os conjuntos?
As pessoas, em geral, pensam que a matemática é algo completamente certinho e exato,
onde tudo sempre funciona e faz perfeito sentido.
Bom, você acaba de ver que elas estão
completamente enganadas, e que, mesmo nos dias de hoje, ainda existem diversas coisas que
deixam o mundo matemático bastante intrigado.
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