Matemática D
Propaganda
Inclusão para a vida
Matemática D
UNIDADE 1
pois 25% =
= 0,25
100
Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00
REGRA DE TRÊS
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais
quando o aumento uma delas implica no aumento da outra
na mesma razão.
Exemplo: 1 kg de alimento custa R$ 15,00
3 kg de alimento custam R$ 45,00
5kg de alimento custam R$ 75,00
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais
quando o aumento der uma delas implica na diminuição
da outra na mesma razão.
Exemplo: 2 pessoas constroem 1 obra em 18 dias
4 pessoas constroem a mesma obra em 9 dias
6 pessoas constroem a mesma obra em 6 dias
APLICAÇÕES – REGRA DE TRÊS
25
Definição
Porcentagem é uma razão centesimal que é representada
pelo símbolo % que significa “por cento”.
Exercícios de Sala
1. Se 12Kg de um certo produto custa R$ 600,00, qual o
preço de 25Kg do mesmo produto?
2. Sabendo que 36 operários conseguem construir uma
casa em 30 dias, se dispomos apenas de 12 desses
operários, em quanto tempo será construída a mesma casa?
3. Calcular:
a) 60% de 30
b) 30% de 20
c) 20% de 300
d) 20% de 20%
e) (20%)2
f) 4%
4. Numa cidade, 240 000 jovens representam 30% da
Regra de Três Simples
Regra de Três Simples é um processo matemático
mediante o qual podemos resolver problemas do cotidiano
envolvendo “duas” grandezas, sejam elas direta ou
inversamente proporcionais. Este processo consiste no
seguinte:
Identificar as grandezas envolvidas no problema.
Nas situações dadas (em relação às mesmas)
dispô-las em colunas.
Verificar se são GDP ou GIP.
Montar a proporção correspondente.
Resolver a proporção.
população. Então a população da cidade é de:
Regra de Três Composta
Regra de três composta é um processo matemático
mediante o qual podemos resolver problemas do cotidiano,
envolvendo três ou mais grandezas. O processo é
semelhante ao caso anterior (Regra de três simples),
levando em consideração apenas o item da verificação
quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito da seguinte
maneira: analisar as grandezas duas a duas, sempre em
relação à que possui a variável. A montagem e resolução
da proporção seguem o mesmo roteiro do caso anterior
(Regra de Três Simples).
7. Um acampamento com 80 pessoas tem suprimento para
PORCENTAGEM
As razões cujos denominadores são iguais a 100 são
chamadas razões centesimais.
13 27
;
; etc.
Exemplo:
100 100
Noção Intuitiva
“O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% (lê-se 23
por cento)”. Significa que, em média, 23 de cada 100
habitantes são analfabetos.
Cálculo de uma porcentagem
Exemplo: 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00”
Pré-Vestibular da UFSC
a) 500 000 habitantes
b) 600 000 habitantes
c) 700 000 habitantes
d) 800 000 habitantes
e) 900 000 habitantes
Tarefa Mínima
5. Se trinta litros de um combustível custam R$ 16,95,
quantos custarão oitenta litros do mesmo combustível?
6. Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma casa,
quanto tempo levarão para construí-la 10 pedreiros?
dez dias. Sabendo-se que chegaram mais vinte soldados,
pergunta-se: para quantos dias terão suprimentos,
considerando-os inalteráveis?
8. Calcular as seguintes porcentagens:
a) 25% de 80
b) 4% de 50
e) 20% de 30%
f) (5%)2
c) 120% de 200
d) 0,15% de 400
g)
49%
9. Numa sala de 80 alunos, 24 alunos foram aprovados. A
porcentagem de reprovação foi de:
a) 30%
c) 50%
e) 70%
b) 40%
d) 60%
10. (UFSC) Ao vestibular de 1982 da UFSC, inscreveramse 15.325 candidatos, dos quais 14.099 concluíram todas
as provas. O percentual de abstenção foi:
11. Qual o preço de uma mercadoria que custava R$
80,00 e teve um aumento de 40%?
a) 110,00
c) 114,00
e) 98,00
b) 112,00
d) 116,00
12. (CESCEM-SP) 3% de 0,009 vale:
a) 0,00027
b) 0,0027
c) 0,00009
d) 0,009
e) n.d.a.
1
Matemática D
Tarefa Complementar
13. (UNIMEP-SP) Se dois gatos comem dois ratos em
dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são
necessários:
a) 4 gatos
c) 2 gatos
e) 6 gatos
b) 3 gatos
d) 5 gatos
14. Dezesseis operários trabalhando seis horas por dia
constroem uma residência em cento e oitenta dias. Quantos
operários serão necessários para fazer a mesma residência,
trabalhando oito horas por dia durante cento e vinte dias?
a) 18
c) 19
e) 21
b) 10
d) 20
15. Durante 11 dias, 15 cavalos consomem 2200 kg de
alfafa. Retirando-se 7 cavalos, 1280 kg de alfafa serão
consumidos em quantos dias?
a) 12
c) 14
e) 16
b) 13
d) 15
16. (UFSC) Com uma lata de tinta é possível pintar 50 m2
de parede. Para pintar uma parede de 72m2, gasta-se uma
lata e mais uma parte de uma segunda lata. A parte que se
gasta da segunda lata, em porcentagem, é:
17. (UFSC) Pedro investiu R$ 1.500,00 em ações. Após
algum tempo, vendeu essas ações por R$ 2.100,00.
Determine o percentual de aumento obtido em seu capital
inicial.
18. (UFSC) Um reservatório contendo 120 litros de água
apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à
evaporação, esse índice subiu para 15%. Determinar, em
litros, o volume de água evaporada.
19. (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) correta(s).
01. Um investidor tem seu dinheiro aplicado a 2% ao mês.
Deseja comprar um bem no valor de R$100.000,00,
que pode ser pago a vista ou em três parcelas de R$
34.000,00, sendo a primeira de entrada e as outras em
30 e 60 dias. Ele sairá
lucrando se fizer a compra
parcelada.
02. Obter 7 acertos numa prova de 12 questões é um
desempenho inferior a obter 6 acertos numa prova de
10 questões, porém superior a obter 5 acertos numa
prova de 9 questões.
04. Duplicando-se o lado de um triângulo equilátero, sua
área fica também duplicada.
08. Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 5
dias para fazer determinado trabalho, então 3
impressoras (com a mesma eficiência das anteriores)
trabalhando 8 horas por dia levarão 6 dias para fazer o
mesmo trabalho
UNIDADE 2
FATORIAL
Inclusão para a Vida
n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). ......... . 3 . 2 . 1
Assim temos:
5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120
4! = 4. 3. 2. 1 = 24
3! = 3. 2. 1 = 6
2! = 2. 1 = 2
1! = 1 e 0! = 1 (conceito primitivo)
Observação: Podemos desenvolver um fatorial até um
fator conveniente. Veja:
8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 8. 7. 6. 5. 4!
4!
6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6. 5!
5!
n ! = n. (n 1).(n 2) !
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM –
FÓRMULA DO ARRANJO
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
O princípio fundamental da contagem, ou princípio
multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem
de um determinado evento, sem que haja a necessidade de
descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado
dessa forma:
Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e
independentes de modo que:
E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa
E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa
En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa
Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de
possibilidades do evento ocorrer.
ARRANJO
Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos agora
montar os pares ordenados a partir do conjunto K.
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3; 4);
(2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3)
Observe que esses agrupamentos diferem
Pela natureza dos elementos componentes:
(2, 3) (1,4)
Pela ordem dos elementos:
(1, 3) (3, 1)
A esses tipos de agrupamentos denomina-se ARRANJO
de n elementos tomados p a p, e é indicado por An , p .
Definição: Denomina-se arranjo de n elementos tomados p
a p cada grupo ordenado de p elementos escolhidos entre
n disponíveis.
Dado um número natural, denomina-se fatorial de n e
indica-se por n! a expressão:
Pré-Vestibular da UFSC
2
Inclusão para a vida
Matemática D
FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DO ARRANJO
a) 17
ARRANJO COM REPETIÇÃO
10. Numa olimpíada de Matemática concorrem 100
*
A
p
n,p
=n
Exemplo: Considere o conjunto K = {2, 3, 4, 5, 6}.
Quantos números de 3 algarismos podemos formar a partir
de K ?
Resolução: A*5, 3 = 53 = 125
Logo, podemos formar 125 números de 3 algarismos.
ARRANJO SEM REPETIÇÃO (SIMPLES)
n
Anp
n p
Exemplo: Considerando o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5}.
Quantos números de 3 algarismos sem repetição podem
ser formados?
Resolução: A5,3 =
5
5432
60
5 3
2
Logo, podemos formar 60 números de 3 algarismos
distintos.
Exercícios de Sala
10
a)
8
b)
12!11!
11!
2. Resolver as equações:
a) (n 3) ! = 720
b) n 3 20
n 1
3. Quatro seleções de futebol (Brasil, Espanha, Portugal e
Uruguai) disputam um torneio. Quantas e quais são as
possibilidades de classificação para os dois primeiros
lugares?
4. Quantas placas para identificação de veículos podem
ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos?
(Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma
restrição.)
5. Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Quantos
números com quatro algarismos distintos podemos formar
a partir do conjunto K?
Tarefa Mínima
6. Calcular
d) 680
e) 4080
11. Telefones de uma cidade possui 6 dígitos (1ºnunca é
zero). Supondo que a cidade passe a ter 7 dígitos. Qual o
aumento no número de telefones?
a) 81.105
b) 8100
c) 90000
d) 90.103
Tarefa Complementar
12. Qual o valor de n que satisfaz a equação
n 1 n 5
n 2
13. Quantas soluções possui a equação (x – 2)! = 1
14. (UFPA) Simplificando
1
n2
b) n + 1
c) n+2
15. (FSBEF-DF) Sendo
n 1 n
obtém-se:
n 2
1
n 1
e) n
d)
m 1m 1
e tendo em vista
m 2 10
que m > 0, o valor de m é:
16. Se (n 6)! = 720, então n é igual a:
17. (F.Dom Bosco-DF) A expressão 3! 2! 2! É
equivalente à expressão:
a) 12!
b) 7!
c) 5!
d) 5!
e) 4!
18. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24
países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre
os países que se classificariam nos três primeiros lugares
Se, em cada
tampinha, os três países são distintos,
quantas tampinhas diferentes poderiam existir?
a) 69
c) 9.562
b) 2.024
d) 12.144
e) 13.824
19. (UECE) A quantidade de números inteiros
compreendidos entre os números 1000 e 4500 que
podemos formar utilizando somente os algarismos 1, 3, 4,
5 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:
5
.
3 2
20. (PUC-SP) Chamam-se “palíndromos” os números
7. Resolver as equações abaixo:
a) (n - 4)! = 120
b) (4x - 6)! -120 = 600
c) 180
participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º
lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão
ser distribuídos esses prêmios?
a) 199
c) 4.950
e) 10.000
b) 200
d) 9.900
a)
1. Calcular o valor de:
b) 30
c) (n - 2)! = 720
8. Ache a solução da equação x 1! 12
( x 3)!
inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem de
seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O
número total de palíndromos com cinco algarismos é:
a) 450
d) 2500
b) 1000
e) 5000
c) 900
9. Dum ponto A a um ponto B existem 5 caminhos; de B a
um terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um
quarto ponto D existem também 6 caminhos. Quantos
caminhos existem para ir do ponto A ao ponto D?
Pré-Vestibular da UFSC
3
Matemática D
Inclusão para a Vida
UNIDADE 3
TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE III COMBINAÇÕES
TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE II PERMUTAÇÕES
Quando fazemos arranjos de n elementos tomados n a n,
sem repetição, estamos montando grupos com todos os
elementos disponíveis. Dizemos que esse tipo de
Agrupamento é denominado PERMUTAÇÃO de n
elementos, e é indicado por Pn. Considere então, o
conjunto K = {1, 2, 3}. As permutações com esses
elementos são:
(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2),
(3, 2, 1).
FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DA PERMUTAÇÃO
Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}.
Vamos montar agora os subconjuntos com dois destes
elementos.
{1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}.
Observe que esses agrupamentos diferem
Apenas pela natureza dos elementos componentes: {1,
2} {1, 4}
Mas não diferem pela ordem: {1, 3} = {3, 1}
Esses tipos de agrupamentos são chamados de
COMBINAÇÃO de n elementos tomados p a p, e são
indicados por Cnp ou Cp
n.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Definição: Denomina-se combinação de n elementos p a p
todo subconjunto de p elementos.
Pn = n!
FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA COMBINAÇÃO
Exemplo 1: Quantos números de 4 algarismos
distintos podemos formar com os números usando os
algarismos { 2, 5, 6, 7}.
O número de combinações simples dos n elementos
tomados p a p é dado pela expressão:
Resolução: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24
Logo, pode-se formar 24 números com 4
algarismos distintos.
Exemplo 2: Calcule o número de anagramas da palavra
VASCO.
Resolução: Cada anagrama é uma permutação das letras V,
A, S, C e O. Como são 5 letras distintas, o número de
anagramas é dado por:
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Logo, pode-se formar 120 anagramas com as letras
que compõem a palavra VASCO.
n!
„C
n,p (n p)!p!
Exemplo: Quantas comissões de 3 pessoas podemos
formar com um grupo de 10 pessoas.
Resolução: As comissões são subconjuntos de 3 pessoas
escolhidas entre as 10, logo:
C10,3 =
10
10987
120
10 3 3
7 321
Portanto, podemos formar 120 comissões de 3 pessoas
com um grupo de10 pessoas.
Exercícios de Sala
1. Quantos são os anagramas das palavras:
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Vamos considerar um conjunto com n elementos, dos
quais um dos deles repete vezes, outro vezes e assim
por diante, até que um elemento repita vezes. O número
de permutações possíveis é dado pela expressão:
n
Pn....
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as
letras da palavra ARARA.
=3 =2
5
P53, 2 =
=10
3 2
Resolução: n = 5
Logo, podemos formar 10 anagramas com as letras
que compõem a palavra ARARA.
Pré-Vestibular da UFSC
a) ROMA
b) ESCOLA
c) BANANA.
d) MATEMATICA
2. Quantos são os anagramas da palavra MÉXICO em que
aparecem as letra E e X sempre juntas?
3. Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas
com 5 alunos (A,B,C,D,E) de uma classe?
4. Marcam-se 8 pontos distintos numa circunferência.
Quantos triângulos com vértices nesses pontos podemos
obter?
Tarefa Mínima
5. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos
formar com os números utilizando os algarismos { 1, 3, 8,
9}.
4
Inclusão para a vida
Matemática D
6. Quantos números diferentes obteremos permutando os
18. (UFRN) Se o número de combinações de n + 2
algarismos do número 336.223?
elementos 4 a 4 está, para o número de combinações de n
elementos 2 a 2, na razão de 14 para 3, então n vale:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
7. Quantos são os anagramas da palavra SAPO?
8. Determine os número de anagramas da palavra
CARCARÁ? (não considere o acento)
UNIDADE 4
9. O valor de x em Cx,3 = 35, é:
a) 12
b) 10
c) 7
d) 8
NÚMEROS BINOMIAIS
e) 9
10. Quantas comissões constituídas por 4 pessoas podem
ser formadas com 10 alunos de uma classe?
a) 210
c) 240
e) 200
b) 120
d) 100
11. Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos.
Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma
corda. O número total de cordas assim formadas é:
Tarefa Complementar
12. Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, temos as
afirmações:
I - O número total deles é 720.
II - O número dos que terminam com a letra A é 25.
III - O número dos que começam com EN é 24.
Então apenas:
a) a afirmação I é verdadeira.
b) a afirmação II é verdadeira.
c) a afirmação III é verdadeira.
d) as afirmações I e II são verdadeiras.
e) as afirmações I e III são verdadeiras.
13. (CEFET-PR) O número de anagramas da palavra
NÚMERO, em que nem as vogais nem as consoantes
fiquem juntas, é:
a) 12
c) 48
e) 72
b) 36
d) 60
14. (PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e
Dados dois números naturais n e p, denomina-se número
binomial de n sobre p e indicado por n ao número
p
definido por:
n =
p
n!
p! (n p)!
com n N, p N e n p
Podemos concluir de imediato que:
n
a 1
0
n
b) n
1
n
c) 1
n
NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES
Dois números binomiais de mesmo numerador são
chamados complementares quando a soma dos
denominadores (classes) é igual ao numerador.
Exemplos:
n n
a) e
p n p
1ª) Dois números binomiais complementares são
iguais.
k p
Então se n n ou
k
p
k p n
2ª RELAÇÃO DE STIFFEL
n 1 n 1 n
p 1 p p
15. Considere um grupo de 3 moças e 4 rapazes. O
Veja que
16. Os presentes a determinada reunião, ao final da
mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de
mão. Os cumprimentos foram em número de 66. O número
de pessoas presentes à reunião é:
17. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o
5
3
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS
Ernesto querem formar uma sigla com cinco símbolos,
onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O
número total de siglas possíveis é:
número de comissão de 4 membros, de modo que em cada
comissão figure pelo menos um rapaz, é:
5
2
b) e
5
3
5
4
6
4
TRIÂNGULO DE PASCAL
Vamos dispor agora os números binomiais em um
triângulo, de forma que os binomiais de mesmo numerador
fiquem na mesma linha, e os binomiais de mesmo
denominador fiquem na mesma coluna.
segmento de reta que une dois vértices não consecutivos
do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é
o seu número total de diagonais?
a) 72
c) 36
e) 18
b) 63
d) 27
Pré-Vestibular da UFSC
5
Matemática D
Inclusão para a Vida
col 0 col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6
linha 0
0
0
linha 1
1 1
0 1
linha 2
2 2 2
0 1 2
linha 3
3 3 3 3
0 1 2 3
linha 4
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
linha 5
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
linha 6
6 6 6 6 6 6 6
0 1 2 3 4 5 6
Linha 2
Linha 3
= 22
= 23
1 + 2 + 1
1 + 3 + 3 + 1
Exercícios de Sala
1. Calcule A, sendo A =
4 8 9 10
0 2 7 1
2. Ache o conjunto solução da equação
n 3
21
2
3. Calcule o valor de:
a)
7
7
p 0
p
b)
10
10
p 0
p
c)
4. Resolva a equação:
Substituindo cada binomial pelo respectivo valor, temos:
8
8
p 3
p
14 14 15
4 5 x
Tarefa Mínima
5
2
3
3
5
0
7
1
5. Calcule E, sendo E = .
PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL
6. (UECE) A soma das soluções da equação
PRIMEIRA PROPRIEDADE
Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1.
a) 8
SEGUNDA PROPRIEDADE
O último elemento de cada linha é igual a 1.
18 18 é:
6 4x 1
b) 5
c) 6
7. (PUC-SP) A soma dos valores que m pode assumir na
17 17
igualdade:
m 1
TERCEIRA PROPRIEDADE
Numa linha qualquer dois binomiais equidistantes dos
extremos são iguais. (binomiais complementares)
QUARTA PROPRIEDADE
n
Cada binomial da linha n é igual à soma de dois
p
binomiais da linha (n - 1); aquele que está na coluna p com
aquele que está na coluna (p - 1).
5
2m 6
5
p
8. Calcule
p0
9. Resolva a equação:
8 8 9
6 7 x 3
10. (Mack-SP) O valor de
7 7 7 7 7 7
é:
2 3 4 5 6 7
a) 128
n 1 n 1 n
p 1 p p
d) 7
b) 124
c) 120
d) 116
e) 112
Tarefa Complementar
11. (Mack-SP) Considere a sequência de afirmações:
15 15
I.
1 3
15 15
II.
2 13
15 15
III.
3x 6
Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja
verdadeira ou falsa, tem-se:
a) F, F, V
c) F, V, F
b) F, V, V
d) F, F, F
e) V, V, V
12. (Fatec-SP) Calcule E de modo que
E
p 1 n 1
n 1 p 1
onde p, n N* e p < n
QUINTA PROPRIEDADE
A soma dos elementos da linha do numerador n é igual
a 2n.
Linha 0
Linha 1
1
1 +1
Pré-Vestibular da UFSC
0
=2
= 21
n n n
n
n
o 1 2 ....... n 2
6
13. (U.C.-MG) O resultado de
n
ou
p=0
8
n
p 2
p
é igual a:
d) 247
e) 256
p 2
a) 216
b) 238
c) 240
6
n
Inclusão para a vida
Matemática D
14. (UNESP) Seja num número natural tal que
10 10 11 . Então:
4 n 1 4
a) n = 5
b) n = 4
c) n = 3
é
8. (UEL-PR) Para qualquer valor natural de n, o número
d) n = 2
de termos do binômio (x + a)n é:
a) n + 1 b) n
c) n - 1
d) par
m
m + 1
m é:
x e
y entao
p
p + 1
p + 1
b) x - y c) y - x
m1
64, então o valor de m é:
15. (FGV-SP) Sabendo-se que
a) x + y
7. Se a soma dos coeficientes do binômio a b
d) x - p
e) ímpar
9. (UFRN) A soma dos coeficientes dos termos do
e) y – p
desenvolvimento do binômio (x + a)n é:
a) 2n
UNIDADE 5
b) n/2
c) n + 2
d) n2
e) 2n
Tarefa Complementar
BINÔMIO DE NEWTON
10. (UDESC) Sendo 125 a soma dos coeficientes do
Observe abaixo os desenvolvimentos:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5
Observe que:
O número de termos do desenvolvimento de (a + b) n é
n + 1.
Os coeficientes dos termos do desenvolvimento de (a + b)n
formam o triângulo de Pascal.
Os expoentes de a decrescem de n a 0, e os expoentes de b
crescem de 0 a n.
A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n
Com base nessas observações podemos generalizar o
desenvolvimento de (a + b)n. Veja:
n
n
n
n
a bn anb0 an-1b1 an 2b2 a0bn
0
1
2
n
desenvolvimento de (2x + 3y) m. O valor de m! é:
a) 6
b) 24
c) 120
d) 2
e) 3
11. (CEFET-PR) O 4º termo do desenvolvimento de
(x + 2)6 é:
a) 80x3
b) 80x4
c) 40x5
d) 320x3
e) 160x3
12. (MACK-SP) Qual a soma dos coeficientes numéricos
8
do desenvolvimento de 3x2 2 ?
x
13. (FAAP-SP) O sexto termo do desenvolvimento de
(x + 2 )8 pelo binômio de Newton é:
a) 48x3
b)10752x3
c) 1792x3
d) 3584x3
14. (Mack-SP) O coeficiente x3 do desenvolvimento de
1
3x
x
a) -405
5
é:
b) -90
c) -243
d) -27
e) -81
UNIDADE 6
POLINÔMIOS
n
Um termo qualquer do desenvolvimento de (a + b) é dado
pela expressão:
n
Tp1 anp bp
p
Exercícios de Sala
1. Desenvolver o binômio (x + 2)4
2. Determinar o 5º termo do desenvolvimento de (x + 2)6.
3. Determinar o termo independente no desenvolvimento
de (2x + 3)4.
4. A soma dos coeficientes do desenvolvimento do
binômio (4x 3y)
6
Tarefa Mínima
5. Determinar o coeficiente numérico do 4º termo no
desenvolvimento de (x + 2)7.
6. Achar o termo independente de x no desenvolvimento
de (2x 1)6.
Pré-Vestibular da UFSC
DEFINIÇÃO
Dados os números reais a n, a n - 1, ....., a 2, a 1 e a 0,
chamamos de polinômio na variável x toda expressão da
forma:
P(x) = a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0
Nomenclatura
COEFICIENTES: an, an - 1, .........a2, a1, a0.
TERMOS: a nxn , a n - 1xn - 1 , ..... a 2x2 , a 1x, a0
TERMO INDEPENDENTE: a0
n é um número natural e indica o grau do polinômio se a n
for diferente de zero.
Observação: Se P(x) = 0, não é definido o grau do
polinômio.
VALOR NUMÉRICO
Valor Numérico de um polinômio P(x), é o valor que se
obtém substituindo a variável x por um número e
efetuando as operações indicadas.
Observação: Quando P() = 0 dizemos que é a raiz do
polinômio.
Observe que os números 2 e 3 são raízes do polinômio
P(x) = x2 - 5x + 6, pois P(2) = 0 e P(3) = 0.
7
Matemática D
Inclusão para a Vida
POLINÔMIOS IDÊNTICOS
12. (UFRGS) O polinômio do 2º grau p(x), que tem zero
Dados os polinômios:
P1(x) = a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 e
P2(x) = b nxn + b n - 1xn - 1 + ..... + b 2x2 + b 1x + b0
como raiz e tal que p(x) - p(x - 1) = 6x - 2, é
a) 2x2 + 3x – 6
c) 6x2 - x
b) 6x - 2
d) 3x2 + x
e) x2 + 3x
A condição para que P1 e P2 sejam idênticos é que os
coeficientes dos termos de mesmo grau sejam iguais.
Indicamos por P1 (x) P2 (x)
13. (Londrina-PR) Sendo F, G e H polinômios de graus 4,
Assim: an = bn ;
a0 = b 0
a n - 1 = b n - 1;
a 2 = b2 ;
a 1 = b1 ;
6 e 3, respectivamente, o grau de (F + G).H será:
a) 9
b) 10
c) 12
d) 18
e) 30
UNIDADE 7
Vale ressaltar que, se P1 e P2 são idênticos, para qualquer
valor de x eles assumem o mesmo valor numérico.
Em símbolos: P1 (x) P2 (x) P1 (x) = P2 (x)
DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Exercícios de Sala
Dados os polinômios P(x) e D(x), com D(x) não
identicamente nulos, dividir P(x) por D(x) equivale obter
os polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto), tais que:
1. Encontre o valor numérico do polinômio P(x) = 5x 4 +
P(x)
R(x)
2x x + 3x 3 para x = 3.
3
2
2. Dado o polinômio P(x) = (a2 4)x2 + (a + 2)x + 3.
Determine o valor de a de modo que P(x) seja do 1º grau.
3. Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c são números
reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule
P(3).
Tarefa Mínima
3
2
4. Dado P(x) = 2x + 3x – 5, calcule:
a) P(0)
b) P(1)
c) P(2)
5. Considere o polinômio P(x) = mx2 – 5x + 2. Sabendo
que P(-2) = - 4, determine o valor de m.
6. Sabendo-se que P1(x) = ax2 + (b + c)x - 2a - 3x2 + 3cx +
3b + 1 e P2(x) = 10x2 + 158x + 29 são polinômios
idênticos,
determine o valor da expressão: a + b + c.
7. O polinômio p(x) = (a - 3)x3 + (b + 2a)x2 + (6b + c)x é
identicamente nulo. Calcule o valor de 2(a + b + c).
8. Se
x 1
A
B , então 2A + B é igual a:
x 2 x 24 x 4 x 6
2
a) -3/2 b) 1/2
c) 1
d) 3/2
e) -1
Tarefa Complementar
9. (UEM-PR) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c
são números reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e
P(2) = 7, calcule P(3).
10. (PUC-SP) Efetuando a soma de
obtemos a expressão
ax b
c
,
e
x2 1 x 1
D(x)
Q(x)
P(x) D(x) . Q(x) + R(x)
gr(R) < gr(D) ou R(x) 0
Onde:
P(x) é o dividendo
D(x) é o divisor
Q(x) é o quociente
R(x) é o resto
OBSERVAÇÕES:
O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de P(x) e
de D(x), ou seja, gr(Q) = gr(P) gr(D)
Se R(x) for um polinômio nulo, apontamos que P(x) é
divisível por D(x), dizemos então, que a divisão é
exata.
MÉTODO DA CHAVE
(ALGORITMO DE EUCLIDES)
O método das chaves é um dos quais podemos obter o
quociente entre dois polinômios. Para isso, devemos seguir
os seguintes procedimentos:
Ordenamos os polinômios P(x) e D(x) segundo as
potências decrescentes de x.
Dividi-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de
D(x), obtendo o primeiro termo de Q(x).
Multiplica-se o termo obtido pelo divisor D(x) e
subtrai-se de P(x)
Continua-se o processo até que haja um resto de grau
inferior que o de D(x).
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão de
P(x) = 4x3 2x2 + 6x 10 por D(x) = 2x2 + 3x + 2
Resolução:
x3
. Os valores de a, b e c
x 2 1 x 1
são respectivamente:
a) 0, 1, -3
c) -1, 1, 1
b) 1, -1, -3
d) 1, 2, -1
e) 2, 1, -2
11. (ABC-SP) Num polinômio P(x) de 3º grau, o
coeficiente de x3 é 1. Se P(1) = P(2) = 0 e P(3) = 30, o
valor de P(1) é:
Pré-Vestibular da UFSC
8
Inclusão para a vida
Matemática D
Observe que:
TEOREMA DE D'ALEMBERT
4x3 2x2 + 6x 10 = (2x2 + 3x + 2) . (2x 4) + (14x 2)
Dividendo
Divisor
Quociente
Resto
MÉTODO DE DESCARTES
Método de Descartes ou Método dos Coeficientes a
determinar é um Método que consiste na obtenção dos
coeficientes do quociente e do resto com o auxílio da
seguinte identidade de Polinômios:
P(x) D(x) . Q(x) + R(x)
onde gr(Q) = gr(P) gr(D) e gr(R) < gr(D)
Exemplo: Obter o quociente e o resto da divisão do
polinômio P(x) = x4 x3 2x2 x + 3 por
D(x) = x3 3x2 + 2
Resolução: O grau do resto é no máximo 2, pois
gr(R) < gr(D) e gr(Q) = gr(P) gr(D)
gr(Q) = 4 3 = 1
Um polinômio P(x) é divisível por D(x) = ax + b se, e
b
somente se, P( ) = 0.
a
Veja por exemplo que o polinômio P(x) = x3 3x + 2 é
divisível por (x + 2) pois P(2) = 0.
Exemplo: Determinar o valor de m de modo que o
polinômio P(x) = x3 x2 + mx 12 seja
divisível por x 3
Resolução: Para que P(x) seja divisível por x 3, deve-se
ter P(3) = 0. Então
P(x) = x3 x2 + mx 12
P(3) = (3)3 (3)2 + m(3) 12
0 = 27 9 + 3m 12
6 = 3m
2 = m
Logo, para a divisão ser exata devemos ter m = 2
Isso nos permite escrever:
2
R(x) = cx + dx + e e Q(x) = ax + b
Aplicando a identidade, temos:
P(x D(x) . Q(x) + R(x)
x4 x3 2x2 x + 3 (x3 3x2 + 2) . (ax + b) + cx2 + dx
+e
x4 x3 2x2 x + 3 ax4 + (b 3a)x3 + (c 3b)x2 + (2a +
d)x + (2b + e)
Daí vem:
a 1
b 3a 1
c 3b 2
2a d 1
2b e 3
resolvendo o sistema, temos:
DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI
O dispositivo de Briot-Ruffini, também conhecido como
algoritmo de Briot-Ruffini, é um modo prático para dividir
um polinômio P(x) por um binômio da forma
ax + b. Vamos apresentar esse processo através de um
exemplo.
Determine o quociente e o resto da divisão da divisão de
P(x) = 2x3 x2 + 4x 1 por (x 3)
Resolução:
a = 1, b = 2, c = 4, d = 3, e = 1
Logo:
TEOREMA DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
Se um polinômio P(x) é divisível por (x a) e por (x b),
então P(x) é divisível por (x a).(x b).
Observe que o polinômio P(x) = x4 + 2x3 6x2 5x + 2 é
divisível por (x + 1).(x 2), uma vez que ele é divisível
separadamente por (x + 1) e (x 2).
Q(x) = x + 2 e
R(x) = 2x2 3x 1
TEOREMA DO RESTO
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio
do tipo ax + b é o valor numérico de P(x) para
b
b
x = , ou seja P( ).
a
a
Observe que b é a raiz do divisor.
1º Passo
Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) de forma
ordenada e segundo os expoentes decrescentes de x na
chave.
2
Resolução: A raiz do divisor é 3, logo, para determinarmos
o resto da divisão de P(x) por D(x), basta
calcular P(3). Daí vem:
P(x) = 2x2 + 3x + 1
P(3) = 2(3)2 + 3(3) + 1
P(3) = 28
Pré-Vestibular da UFSC
4
1
2º Passo
Coloca-se à esquerda a raiz do divisor.
a
Esse teorema nos permite achar o resto de uma divisão
sem que haja a necessidade de aplicar o método das chaves
ou o método de Descartes.
Exemplo: Determinar o resto da divisão do polinômio
P(x) = 2x2 + 3x + 1 pelo polinômio D(x) = x 3
1
3
2
1
4
1
3º Passo
Abaixa-se o primeiro coeficiente de P(x)
3
2
1
4
1
2
9
Matemática D
Inclusão para a Vida
4º Passo
Multiplica-se o coeficiente baixado pela raiz, somando o
resultado com o próximo coeficiente de P(x) e o resultado
abaixo desse último.
+
3
1
5
2
2
x
1
4
- 1 por Q(x) = 4x3 + 1 é:
a) x – 5
c) x + 5
b) x - 1
d) 4x - 5
e) 4x + 8
7. (UFSC) Qual o valor de "a" para que o polinômio x5 +
2x4 + 3x3 + ax2 - 4x + 12 seja divisível por x3 + 2x2 - x +
3?
5º Passo
Multiplica-se o esse último resultado pela raiz e soma o
resultado com o próximo coeficiente de P(x) de forma
análoga ao último passo, e assim sucessivamente.
+
x
6. (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4 - 4x3 + x
3 2
1
4
2
5
19
1
8. (UFSC) Determine o valor de m, para que o resto da
divisão do polinômio P(x) = x3 + mx2 - 2x + 1 por x + 3
seja 43.
Tarefa Complementar
9. (UFSC) Se o polinômio 2x3 - ax2 + bx + 2 é divisível
por 2x2 + 5x - 2, então o valor de a - b é:
10. (Mack-SP) Um polinômio desconhecido ao ser
3 2
1
4
1
dividido por x - 1 deixa resto 2 e ao ser dividido por x - 2
deixa resto 1. Então, o resto da divisão desse polinômio
por (x - 1) (x - 2) é:
2
5
19
56
a) x – 3
b) -x + 3
+
x
c) x + 3
d) x - 5
e) -x + 5
11. (UFBA) O resto da divisão de P(x) = 3x5 + 2x4 + 3px3
+ x - 1 por (x + 1) é 4, se p é igual a:
Terminando assim o processo, temos:
a) 5/3
b) -2
c) -3
d) -10
e) -7/3
raiz coeficientes de P(x)
12. (FGV-SP) O resto da divisão do polinômio 2x5 - 15x3
2
5
19
+ 12x2 + 7x - 6 por (x - 1)(x - 2)(x + 3) é:
56
coeficientes de Q(x)
R(x)
Como gr(Q) = 2 [gr(P) gr(D)] temos que Q(x) = 2x2 + 5x
+ 19 e resto R(x) = 56
Exercícios de Sala
1. (FUVEST) O quociente de 2x4 – 5x3 – 10x – 1 por x –
3x3 + ax2 4x + 12 seja divisível por x3 + 2x2 x + 3?
d) 141
142
– 1 por x + 1 é:
e) n.d.a.
3. ( UFSM ) O resto da divisão de x
c) – 2
e) 0
13. (PUC-MG) Os valores de a e b que tornam o
polinômio P(x) = x3 + 4x2 + ax + b divisível por (x + 1)2
são respectivamente:
a) 1 e 2 b) 3 e 2
c) 4 e 5
d) 5 e 2
e) n.d.a.
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
2. Qual o valor de "a" para que o polinômio x5 + 2x4 +
b) – 1
c) x - 4
d) 1
UNIDADE 8
3 é:
a) 2x3 – 11x2 + 23x – 68
b) 2x3 – 11x2 + 33x + 109
c) 2x3 – 11x2 + 33x – 109
d) 2x2 + x – 7
e) 2x3 + x2 + 3x – 1
a) 0
a) x2 - 2x + 5
b) -6
Tarefa Mínima
4. (UFSC) Determine o resto da divisão do polinômio 3x3
+ 8x2 + 32 por x + 3.
DEFINIÇÃO
Denomina-se Equação Polinomial toda sentença do tipo
P(x) = 0, ou
a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 = 0
onde an, an - 1, .........a2, a1, a0 são números complexos
n é um número natural
x é a variável
O expoente da equação é o expoente do polinômio P(x)
Denomina-se raiz de uma equação polinomial todo número
, tal que P() = 0
5. (UECE) Se na divisão do polinômio 12x4 + 5x3 + 5x +
12 por 3x2 + 2x - 1 o quociente é Q(x), então o valor de
Q(3) é:
Pré-Vestibular da UFSC
10
Inclusão para a vida
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
Toda equação polinomial de grau n (n 1) tem pelo
menos uma raiz complexa.
Esse teorema foi demonstrado por Gauss em
1799.
DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM
UM PRODUTO DE FATORES DO 1º GRAU
Como uma consequência do Teorema Fundamental
pode-se afirmar que todo polinômio de grau n pode ser
escrito na forma:
P(x) = an(x 1).(x 2)(x 3)....... .(x n)
onde 1, 2, 3, ..... n são raízes de P(x).
MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
Denomina-se multiplicidade de uma raiz ao número de
vezes que a mesma se repete no conjunto solução.
Genericamente, pode-se dizer que o número é
raiz de multiplicidade n da equação polinomial P(x) = 0 se
e somente se, P(x) = (x )n. Q(x), com Q() 0.
TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS
Se um número complexo z = a + bi é raiz de uma equação
polinomial de coeficientes reais, então seu conjugado z =
a bi também é raiz dessa equação.
Consequências:
Se a raiz (a + bi) é de multiplicidade k, então seu
conjugado (a bi) terá também multiplicidade k.
Toda equação polinomial de grau ímpar admite pelo
menos uma raiz real, pois o número de raízes não reais
é sempre par.
Matemática D
an1
a1 a2 an
an
an 2
a a a a a a a a a
1 3
1n
2 3
n1 an a
1 2
n
an 3
a1a2a3 an 2 an1 an a
n
n a0
a a a an 1
an
1 2 3
Exercícios de Sala
1. O polinômio P(x) = x3 + 4x2 + 3x pode ser escrito
como:
a) P(x) = x(x – 1)(x – 3) d) P(x) = x(x – 2)(x +4)
b) P(x) = x(x + 1)(x + 2) e) (x) = x(x – 1)(x + 5)
c) P(x) = x(x + 1)(x + 3)
2. Resolver a equação x3 12x2 + 41x - 42 = 0, sabendo
que x = 2 é uma das raízes.
3. Determine a menor raiz da equação x3 15x2 + 66x
80 = 0, sabendo que suas raízes estão em P.A.
Tarefa Mínima
4. (ACAFE) A equação polinomial cujas raízes são 2, 1
e 1 é:
a) x3 + 4x + x 2 = 0
b) x3 x 2 = 0
c) x3 + 2x2 3x 2 = 0
d) x3 + 2x2 x 2 = 0
e) x3 + 2x + 1 = 0
5. (FGV-SP) A equação 2x3 5x2 x + 6 admite uma raiz
RELAÇÕES DE GIRARD
São relações estabelecidas entre os coeficientes e raízes de
uma equação polinomial.
igual a 2. Então, as outras duas raízes são:
a) 3/2 e 1
c) 3 e 1
b) 2 e 1
d) 3/2 e 1
Sejam x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. Valem
6. (UFSC) Sabendo-se que uma das três raízes da equação
as seguintes relações:
b
x1 x2 a
x x c
1 2 a
Sejam x1 , x2 e x3 as raízes da equação
ax3 + bx2 + cx + d = 0. Valem as seguintes relações:
b
x1 x2 x3 a
d
x1 x2 x3
a
c
x1 x2 x1 x3 x2 x3 a
EQUAÇÃO DE GRAU n
Sendo 1, 2,........... n as raízes da equação
a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 1x + a0 = 0, valem as seguintes
relações:
e) 3/2 e 2
2x3 - 17x2 + 32x - 12 = 0 é igual a 1/2 determine a soma
das outras duas raízes.
7. (UDESC) As raízes do polinômio x3 – 6x2 – x + 30:
a)
b)
c)
d)
e)
somadas dão 6 e multiplicadas dão 30
somadas dão -6 e multiplicadas dão 30
somadas dão 6 e multiplicadas dão -30
somadas dão -6 e multiplicadas dão –30
são 5, -2 e –3
Tarefa Complementar
8.
(Med
ABC-SP)
As
raízes
da
equação
x3 - 9x2 + 23x -15 = 0 estão em progressão aritmética. Suas
raízes são:
a) 1, 2, 3
c) 1, 3, 5
e) 3, 6, 9
b) 2, 3, 4
d) 2, 4, 6
9. (Mackenzie) Uma raiz da equação x3 4x2 + x + 6 = 0
é igual a soma das outras duas. As raízes são:
a) 2, 2 e 1
d) 1, 1 e 2
b) 3, 2 e 1
e) 1, 2 e 3
c) 2, 1 e 3
Pré-Vestibular da UFSC
11
Matemática D
Inclusão para a Vida
11. (SANTA CASA) Sabe-se que a equação: 4x3 12x2
a11
a
21
A = a
31
a m1
12. (ITA-SP) Considere a equação x3 + px2 + qx + r = 0
Notação Condensada
Podemos também, abreviar essa representação da seguinte
forma:
A = [aij] m x n
10. (MACK-SP) O determinante da matriz
a a c
0 b c ,
1 0 1
onde a, b, e c são raízes da equação x3 5x2 + 4 = 0, é:
x + k = 0, onde k , admite duas raízes opostas. O
produto das raízes dessa equação é:
a) 12 b) 3/4
c) 1/4
d) 3/4
e) 12
de coeficientes reais, cujas as raízes estão em P.G. Qual
das relações é verdadeira?
a) p2 = r.q
d) p3 = r.q3
b) 2p + r = q
e) q3 = r.p3
2
2
c) 3p = r . q
13. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos
números associados à(s) proposição(ões) correta(s).
01. A equação polinomial x3 2x2 4x + 1 = 0 possui as
raízes a, b e c. Logo, a soma a2 + b2 + c2 é igual a 12.
02. O resto da divisão do polinômio x6 x4 + x2 por x + 2
é 52.
04. Dado o polinômio p(x) = x4 + 8x3 + 23x2 + 28x + 12 é
correto afirmar que 2 é raiz de multiplicidade 3 para
p(x).
08. Para que o polinômio p(x) = (a + b) x2 + (a b + c) x
+ (b + 2c 6) seja identicamente nulo, o valor de c é
4.
UNIDADE 9
DEFINIÇÃO
Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), m, n 1, é uma
disposição tabular formada por m.n elementos dispostos
em m linhas e n colunas.
As matrizes são representadas através de parênteses ( ),
colchetes [ ] ou através de barras duplas || ||
Exemplos.:
6 9 5
(lê-se: A dois por três)
a 1n
a2n
*
a 3n com m e n N
a mn
Os elementos da matriz A são indicados por aij de forma
que:
i {1, 2, 3,......m} (indicador da linha)
j {1, 2, 3, .....n} (indicador da coluna)
CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES
Seja a matriz A = (aij)mxn, lembrando que m e n são
respectivamente a quantidade de linhas e colunas da matriz
A, temos:
a) MATRIZ LINHA se m = 1
Exemplo:
A1x3 3 1 2
b) MATRIZ COLUNA se n = 1
1
Exemplo:
A4x1 = 2
5
0
2 3 1
Exemplo: A2 x 3 =
9 4 0
d) QUADRADA se m = n
Exemplo: A2x2 3 6
5 8
Definição: Diz-se que uma matriz é quadrada se a
quantidade de linhas for igual a quantidade de colunas.
Pode-se dizer então que ela é n x n ou simplesmente de
ordem n.
Possui duas diagonais:
3 2 8 7
A=
A2 x 4 (lê-se: A dois por quatro)
3
6 1 0
A=
a13
a 23
a 33
a m3
c) RETANGULAR se m n
MATRIZES
A = 2 0 3 A 2 x 3
a12
a 22
a 32
a m2
2 1
A3 x 2 (lê-se: A três por dois)
1 6
0 6
NOTAÇÕES
Notação Explícita
Uma matriz genericamente é representada por letras
maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas.
Sendo assim, uma matriz Am x n algebricamente pode ser
representada assim:
Pré-Vestibular da UFSC
diagonal principal (quando i = j para todo aij)
diagonal secundária (quando i + j = n + 1) , onde n é a
ordem da matriz.
TIPOLOGIA
Matriz Transposta
Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se
transposta de A a matriz de ordem n x m obtida quando
trocamos de forma ordenada as linhas pelas colunas.
Representa-se por: At ou A'
2 9
2 3 1
Exemplo A2 x 3 =
At3 x 2 = 3 4
9 4 0
1 0
12
Inclusão para a vida
Matemática D
OBSERVAÇÃO: Seja uma matriz A de ordem n.
Propriedades:
1) A + B = B + A (propriedade comutativa)
2) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade
associativa)
3) A + O = A (elemento neutro)
4) (A + B)t = At + Bt
Se A = At , então A é dita SIMÉTRICA
2 3 5
Exemplo: A = 3 1 8
5 8 0
Se A = At, então A é dita ANTISIMÉTRICA
(A indica matriz oposta de A que se obtém
trocando o sinal dos seus elementos)
0
1 3
4
4 0
Propriedades:
Exemplo: A = 1 0
3
PRODUTO DE UM NÚMERO POR MATRIZ
Dado um número real K e uma matriz Am x n, denomina-se
produto de K por A e se indica por k.A, matriz que se
obtém multiplicando-se todo elemento de A por k.
Matriz Identidade
Uma matriz A de ordem n é dita identidade ou unidade se
os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os
demais elementos iguais a zero.
1 0 0
1 0
Exemplos: I2 =
I
=
3
0 1 0
0
1
0 0 1
Pode se indicar a matriz identidade por:
Sendo x e y dois números reais e A e B duas matrizes de
mesma ordem, valem as seguintes propriedades:
1) x . (yA) = (xy) . A
2) x . (A + B) = xA + xB
3) (x + y) . A = xA + yA
Exercícios de Sala
1. A é uma matriz 3 por 2, definida pela lei
aij =
1, para i = i
In = [aij] , aij =
0, para i j
Importante:
A matriz
multiplicação de matrizes.
identidade
2i j, se i j Então, A se escreve:
3, se i j
2. (UFSC) Dadas as matrizes:
é
neutra
na
Matriz Nula
Uma matriz é dita nula quando todos seus elementos forem
iguais a zero. A matriz Nula é neutra na soma de matrizes.
Matriz Diagonal
É toda matriz de ordem n tal que aij = 0 para i j.
1 0 0
Exemplo: A = 0 4 0
0 0 3
Matriz Triangular
É toda matriz quadrada onde aij = 0 para i > j ou/e para i <
j.
3 1 5
4 0 0
Exemplos: 0 4 7
1 2 0
0 0 1
9 1 8
A = 2 x 1 3y
0
4
x 0
12 4
1 6
1
x z
e B=
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
3. O valor de x.y de modo que a matriz A seja simétrica,
é:
5 2 y 1
x
1
0
2
5
2 6
A = 2
a) 6
b) 12
c) 15
d) 14
e) 0
Tarefa Mínima
4. Escreva, na forma explícita, cada matriz abaixo:
a) A = (aij)2x2, com aij = i + j
b) A = (aij)3x2, com aij = 3i – j2
1 se i j
c) A = (aij)3x2, com aij =
i2 se i j
2 se i = j
d) A = (aij)2x3, com aij =
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes Amxn e Bmxn são iguais se os elementos
correspondentes (elementos de mesmo índice) forem
iguais.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
É efetuada somando ou subtraindo os elementos
correspondentes das matrizes. (válido para matrizes de
mesma ordem).
Pré-Vestibular da UFSC
2 + j, se i j
5. (UFSC) Dada a matriz A = [aij]2 x 3 definida por aij =
3i j, se i j
o valor da expressão 2a23 + 3a22 - a21 é:
7,se i j
i2 j, se i j
6. (UFOP-MG) Observe a matriz 1
0
0
2 3
.
x 4
0 y
Determine x e y de tal forma que seu traço valha 9 e x seja
o triplo de y.
13
Matemática D
Inclusão para a Vida
7. Considere as matrizes A = 2
1
3 log x
2
eB=
2
5
5
y
2
7
1
- 1
0
1
1 8 . Determine o valor de x + y de
16 7
1e B =
0
0
1
3
2
a) Obter a matriz X tal que A + X = B
b) Obter as matrizes X e Y tal que:
X Y
X Y
1
0
0
d)
1
0
3
0
3
3
2 2
2
0
2 1
e) 2 0 3
modo que A = Bt
8. Considere as matrizes A = 2
3
1
-1 1
c) - 1
3
15. Se a matriz quadrada A é tal que At = A, ela é
chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é antisimétrica e:
a 13 .
M = 4 a a 12
b2
a 23
c
2c 8
a
b
3A
Os termos a12, a13 e a23 valem respectivamente:
B
Tarefa Complementar
a) – 4, – 2 e 4
b) 4, 2 e – 4
c) 4, –2 e – 4
9. Calcule 5x + 2y, de modo que se tenha:
16. Sendo A =
2 1 3
5x 2 1 6
0 y 2 1 5 1
3y
tal que X A X 2 B , é igual a:
TRAÇO de A como a soma dos elementos da diagonal
principal de A. Nestas condições, o traço da matriz A =
(aij)3 x 3, onde
aij = 2i - 3j é igual a:
a) 6
b) 4
c) -2
d) -4
e) -6
11. Determine a soma dos elementos da diagonal principal
da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde aij = i + j se i j ou aij = i
j se i < j.
12. Uma matriz se diz anti-simétrica se At = A. Nessas
condições, se a matriz A é anti-simétrica, então, x + y + z
é igual a:
x
y z
0 3
1 3 0
d) 1
c) 0
e) 3
13. (LONDRINA-PR) Uma matriz quadrada A diz-se
simétrica se A = At . Assim, se a matriz
2 1 2y
A = x 0 z 1 é simétrica, então x + y + z é igual a:
4 3
2
a) – 2 b) – 1 c) 1
d) 3
e) 5
14. (U.Católica de Salvador - BA) Uma matriz quadrada
A, de ordem n, se diz anti-simétrica se A = -At, onde At é a
matriz transposta de A. Nessas condições, qual das
matrizes seguintes é anti-simétrica?
1
3
a) - 2
4
-2 3
0
1
1
B = 3 1 , então a matriz X,
4
0
3
3 1
2 2
eB=
, o
17. Dadas as matrizes: A =
2 4
0 4
produto dos elementos da segunda linha de
1
4
b) 1
a) 1
c) 0
d) 2
B
1
2
A
é:
e) 2
18. Dadas as matrizes
x y
x 6
4 x y e sendo 3A = B +
B=
C=
z w
- 1 2w
z+ w 3
A
C, então:
a) x + y + z + w = 11
b) x + y + z + w = 10
c) x + y z w = 0
d) x + y z w = 1
e) x + y + z + w > 11
UNIDADE 10
A=
2
b) 1
1 7 e
2 4
2
10. (FCMSCSP) Se A é uma matriz quadrada, define-se o
a) 3
d) 2, – 4 e 2
e) n.d.a.
0
2
b) - 1
0
1
-2
0
3
-3
Pré-Vestibular da UFSC
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Considere as matrizes A = [aij]m x n e a matriz B = [bjk]n x p.
O produto de A por B é a matriz C = [cik]m x p, de tal forma
que os elementos cik são obtidos assim:
cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k + .... + ain . bnk
n
ou seja:
a b
j 1
ij
jk
para todo i {1, 2, ........, m} e todo k
{1, 2,...,p}.
Exemplo: Considere as matrizes
3 0
1 3
eB=
. Determine A.B
A=
2 1
9 2
Resolução: O produto AxB é uma matriz obtida da
seguinte forma:
3 1 09 3 3 02
A.B =
2 1 19 2 3 12
14
Inclusão para a vida
A.B =
Matemática D
3 9
7 4
2. (UFSC) Sejam A = (aij )4
x 3 e B = (bij)3 x 4 duas
matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j,
respectivamente. Se A.B = C, então o elemento C32 da
matriz C, é:
PROPRIEDADES
1) A.(B.C) = (A.B).C
2) A.(B + C) = A.B + A.C
3) (B + C).A = B.A + C.A 4) A.I = I.A = A
3. Calcule os determinantes:
a)
Observações:
1) Na multiplicação de matrizes geralmente
A.B B.A. Se A.B = B.A dizemos que A e B se
comutam.
2) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do
anulamento, ou seja, podemos ter A.B = 0 mesmo
com A 0 B 0.
DEFINIÇÃO
Dada uma matriz quadrada de ordem n, podemos associar
à ela, através de certas operações, um número real
chamado determinante da matriz.
Podemos simbolizar o determinante de uma matriz por
duas barras verticais. Assim, se a11 a12 é a matriz A,
a 22
indicamos o determinante de A por det A =
b)
4. Calcule o determinante:
4 2
1 3
2 0 2
1 4 3
3 6 1
Tarefa Mínima
5. (UEL-PR) Sobre as sentenças:
I - O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1.
II - O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4x2.
III - O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz
quadrada 2 x 2.
DETERMINANTES
a
21
3 4
2 5
a11
a 21
a12
a 22
CÁLCULO
É verdade que
a)
b)
c)
d)
e)
somente I é falsa
somente II é falsa
somente III é falsa
somente I e III são falsas.
I, II e III são falsas
3 2 a
6. Se
1 5 7
=
, então a + b é igual a:
1 4 2 b 5 9
7. Dadas as matrizes A =
1 1
0 1
eB=
, para
0 0
0 1
A.B temos a matriz:
1ª ORDEM
Seja a matriz A = [a11] , denomina-se o determinante de
A o próprio elemento a11 e se indica por:
det A = |a11| = a11
8. (UCMG) O valor de x, para que o produto das matrizes:
A = 2 x e B = 1 1 seja uma matriz simétrica, é:
3
1
0
1
9. (UFSC) Dada a equação matricial:
2ª ORDEM
4 2 x z 4 x
O valor da expressão
1 3 0 3 2
y 4 2 1 3y
4y + z é:
3ª ORDEM
5x +
10. Calcule os seguintes determinantes:
a) 4 3
6 1
b) 5 2
3 1
Exercícios de Sala
c) 3 2 5
4 1 3
2 3 4
2 1
5 3
1. Dadas as matrizes A =
e B =
.
11. (MACK-SP) Sendo A = ( aij ) uma matriz quadrada de
Determine:
a) A.B
b) B.A
12. (UFSC) Obtenha o valor do determinante da matriz
4 3
c) At.Bt
d) Bt.At
Pré-Vestibular da UFSC
ordem 2 e aij = j - i2, o determinante da matriz A é:
- 1 0
e) A.I2
f) a matriz X, tal que A.X = B
A = (aij)2 x 2, onde aij = 0,se i j
i j,se i j
15
Matemática D
13. O valor de x na equação
Inclusão para a Vida
é:
2 3 1
x 1 x 15
2 0 1
22. (MACK) O conjunto solução de
1 1
x 1
Tarefa Complementar
14. (CESCEM) O produto M.N da matriz M =
1
pela
1
1
a) { x R| x 1}
b) { 0,1 }
c) { 1 }
d) { -1}
1 1 é:
x 1
e) { 0 }
23. (MACK-SP) Sejam as matrizes A =
1 2
3 4 ,
eB=
3 4
1 2
e seja X uma matriz tal que X.A = B. Então, det X vale:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
matriz N = 1 1 1 :
a) não se define
b) é a matriz identidade de ordem 3
c) é uma matriz de uma linha e uma coluna
d) é uma matriz quadrada de ordem 3
e) não é uma matriz quadrada
UNIDADE 11
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
a a
15. (FEI-SP) As matrizes abaixo se comutam.
e
a 2
0 3
3 3
1 x
1 1
O valor de a é:
1ª PROPRIEDADE
Casos onde o determinante é nulo
1º Se uma matriz possui uma fila de elementos iguais a
zero.
Exemplo: 0
3 9
0 8 3 0
0 4 1
16. (UFSC) Determine o produto dos valores de x e y que
satisfaçam a equação matricial
4 3 x 1 4 2
3
5 4 y 2 7
17. (UFSC) Dadas as matrizes: A =
2º Se uma matriz possui duas filas iguais.
1 0 2
;
0 1 3
4 1 2
2 1 1
1 0 0
B = 0 3 0 ; C = 0 1 0 e seja P = (2A - C).B.
0 0 1
4 2 1
Determine a soma dos elementos da diagonal principal da
matriz P.
Exemplo:
3º Se uma matriz possui duas filas proporcionais.
Exemplo:
1
18. (UFSC) Considere as matrizes A = 2
2 0 1
t
t
t
B=
Sejam M = ( A + B ).(A B ), onde A
1 1 3
e Bt são matrizes transpostas de A e B, respectivamente. O
produto dos elementos mij com i = j da matriz M é:
1 2
2
, então A + 2A 11 I, onde I é a
4 3
matriz identidade de ordem 2, é igual a:
19. Se A =
20. (UFSC) Determine o valor de x para que o
determinante da matriz C = A x Bt seja igual a 602, onde:
x 1 8 5
1 2 3
t
A=
,B =
e B é a matriz
2
7
4
4
1
2
transposta de B.
21. (UFSC) Em R,a solução da equação 2 x 3 = 175 é:
2 x 4
1 3 x
Pré-Vestibular da UFSC
2 3 5
4 6 10 0
7 0 3
4º Se uma fila de uma matriz for uma combinação linear
de duas outras.
Exemplo:
0
1
1 2
2 8 2
3 5 30
1 6 1
3 5 1
0 4 2 0
3 9 3
2ª PROPRIEDADE
Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número
k, o determinante da nova matriz fica multiplicado por k.
Exemplo:
2 4
2
1 3
52 54
52 10
1
3
CONSEQUÊNCIAS
No cálculo dos determinantes,
fator comum em evidência.
18 6 12
3.6 3.2 3.4
6
1 5 0 1
5
0 3. 1
3 4 1
3
4 1
3
é possível colocar o
2 4
5 0 3.(-72) = -216
4 1
(72)
Se multiplicarmos uma matriz quadrada de ordem n
por um número k o determinante fica multiplicado pelo
número kn.
det(k.A) = kn.detA
16
Inclusão para a vida
Matemática D
OBSERVAÇÃO:
3ª PROPRIEDADE
Se trocarmos duas filas paralelas de uma matriz o
determinante muda de sinal.
4ª PROPRIEDADE
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos
elementos da diagonal principal.
3 9 8
Exemplo: 0 4 5 12
0 0 1
O processo de se obter a inversa de uma matriz muitas
vezes é trabalhoso, pois recai na resolução de n sistemas
de n equações e n incógnitas.
Vamos agora apresentar um processo que simplifica esse
cálculo.
Teorema
Se A é uma matriz quadrada de ordem n e det A 0, então
a inversa de A é:
A –1 =
5ª PROPRIEDADE
(TEOREMA DE BINET)
Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do
produto de A por B é o produto dos determinantes da
matriz A pelo determinante da matriz B, ou seja:
1
.A
det A
Onde A representa a matriz adjunta.
Matriz Adjunta: É a matriz transposta da matriz dos
cofatores de A.
det(A.B) = det(A).det(B)
6ª PROPRIEDADE
O determinante de uma matriz é igual ao determinante de
sua transposta.
Consequência
Para calcular um elemento bij da matriz inversa de A,
pode-se aplicar:
7ª PROPRIEDADE
(TEOREMA DE JACOBI)
Se somarmos a uma fila de A uma outra fila previamente
multiplicada por um número real, obtemos uma matriz A',
tal que det A' = det A
bij =
4 1 2
Exemplo: A = 1
5 1 det A = 15
2
2 1
Multiplicando a terceira linha por 2 e adicionando à
0 3 0
primeira, obtemos A': A' = 1 3 2 det A = 15
2 2 1
INVERSÃO DE MATRIZES
Sejam A e B duas matrizes quadradas.
Se A.B = B.A = I, dizemos que B é a matriz inversa de A.
e indicamos por A-1.
1
. Cji
det A
onde Cji é o cofator do elemento aij
Exercícios de Sala
a
d
g
1. Sabe-se que b e h 2 . Determine o valor de
c
2a 3d
2b 3e
2c 3 f
f
i
4g
4h
4i
2. Uma matriz A é quadrada de ordem 4 e seu
determinante é igual a 3. Calcule o valor do determinante
da matriz 2A.
PROPRIEDADES DA INVERSA:
3. Determine a inversa das seguintes matrizes:
1 5
3 1
a)
b)
2 0
5 2
(A-1) -1 = A
(A.B) -1 = B-1 . A-1
4. Determine o valor de x de modo que a matriz
-1
Logo:
det A-1 =
-1
A . A = A . A = In
1
det A
2 3
x 9
seja singular
Tarefa Mínima
OBSERVAÇÕES:
Uma matriz só possui inversa se o seu determinante for
diferente de zero, sendo assim, chamada de inversível.
Uma matriz que não admite inversa é chamada de
singular.
Se a matriz A é inversível, então, ela é quadrada.
Se a matriz A é inversível, então, a sua inversa é única.
Pré-Vestibular da UFSC
a
d
g
2 a 3d
g
5. Sabendo que b e h 2 , calcule 2b 3e h
c
f
i
2c 3 f
i
17
Matemática D
Inclusão para a Vida
6. (UFRN) O determinante
1 72 81
é igual a:
0 2 200
0 0
3
14. Considere a matriz A = 3
1
x . Sabendo que det
x 2
A- 1 = 0,25, então x :
b) – 2
7. (UFRGS) Considere as seguintes afirmações.
a) 0
c) 2
I - O determinante de uma matriz não se altera, quando são
trocadas, ordenadamente, as linhas pelas colunas.
II - O determinante de uma matriz com linhas
proporcionais é nulo.
III - Multiplicando-se uma linha de uma matriz por um
número real p,não nulo,o determinante da nova matriz
fica dividido por p.
Tarefa Complementar
e) – 1
d) 4
15. (UECE) Sabe-se que M é uma matriz quadrada de
ordem 3 e que det(M) = 2. Então det (3M) é igual a:
a) 2
b) 6
c) 18
d) 54
e) 27
16. (UFSM) Sejam as matrizes A, de ordem 3 e B =
Quais são as verdadeiras?
a) I
b) II
c) I e II
d) II e III
e) todas são verdadeiras
2 1 4
1 0 2 . Se o det A = 6 e C = A.B, o det C vale:
0 1 6
a) 24
8. (UDESC) A partir da matriz A = |aij| 2 x 2 onde
1 se i j
aij =
calcular o determinante
i j se i j
do produto da matriz A pela sua transposta, ou seja: det(
At.A ), onde At é a matriz transposta de A.
b) 12
c) -6
d) -12
e) -24
17. (SANTA CASA) Dadas as matrizes A e B tais que:
5 1
1
0
A
0
0
2 2
0
3
0
0
3
-1 0
4
3 4
eB=
1 2
1
4
2 1
0 0
0 0
1 0
3 2
O valor do determinante de A.B é:
9. (Unisinos-RS) O valor de um determinante é 48.
Dividimos a 2ª linha por 8 e multiplicamos a 3ª coluna por
6, então o novo determinante valerá:
10. (UFRGS) A inversa da matriz A =
2
5
2
d)
5
1
3
a)
0
3
3 1 c) 2
5 2
1
3 1
e)
5 2
b)
3
5
1
é:
2
5
3
18.
11. O maior elemento da inversa da matriz A = 2
4 é:
1
5
a) 2
b) 5/6
c) 1/5
d) 1/6
e) 1/3
2
6
1 , onde x e y são números reais e M é a matriz
y
inversa de A. Então o produto x.y é:
a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4
1 x
13. (UCSal-BA) A matriz
, na qual x é um
x 1
número real, é inversível se, e somente se:
a) x = 0
b) x = 1
1
2
(F.M.Santos-SP) O determinante
3
4
5
a) -12
c) x = -1
d) x 1
c) 9
d) 0
0 0
0 0
1 0
3 2
2 3
0
0
é:
0
0
3
e) n.d.a.
1 0
. Chamam-se auto valores de A as raízes
0 1
I=
da equação det (A – xI) = 0. Obtenha os autovalores de
1 4
2 3
A=
4 a m
20. (FGV-SP) Considere as matrizes A = 4 b n
4 c p
m a 3
e B = n b 3 . Se o determinante da matriz A é
p c 3
igual a 2, então o determinante da matriz B é igual a:
a) 3/2
Pré-Vestibular da UFSC
b) 10
0
2
2
2
1
19. (MACK-SP) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2
e
12. (UFVIÇOSA) Sejam as matrizes A = 1 2 e M =
x
1
a) 192
b) 32
c) -16
d) 0
e) n.d.a.
b) 2/3
c) –
3
d) – 3/2
e) – 2/3
18
Inclusão para a vida
Matemática D
21. (UEPG-PR) Dada a matriz A = (aij)3x3, onde aij =
4, se i j
. Então é correto afirmar:
0, se i j
01. det (A) = 64
02. (A).(At) é uma matriz quadrada de ordem 6
04. det(2A) = 8 det(A)
08. det(A) det(At)
16
0
0
16 16 16
0
16. A2 =
16 16
1
22. Os valores de k para que a matriz A =
0 1
não
k 1 3
1 k 3
admita inversa são:
a) 0 e 3
b) 1 e – 1
c) 1 e 2
d) 1 e 3
e) 3 e – 1
23. (UFPB) Se a matriz 2 x 5 x não é invertível,
x
então, o valor de x em módulo é:
5
24. (UDESC) Seja a matriz A = ( aij ) 3 x 3 definida por
1 i j para i j
aij =
o determinante de A-1 é:
0 para i j
UNIDADES 12
SISTEMAS LINEARES
POSSÍVEL
INDETERMINADO
(infinitas soluções)
IMPOSSÍVEL
Não Admite Solução
REGRA DE CRAMER
A Regra de Cramer consiste num método para resolvermos
sistemas Lineares de n equações e n incógnitas.
Seja o sistema
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a x a x a x b
21 1
22 2
2n n
2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
Para obtermos a solução para esse sistema vamos fazer
alguns cálculos. Acompanhe:
det S
Determinante associado à
coeficientes das incógnitas.
formada
pelos
a11 a12 a1n
a 21 a 22 a 2n
det S =
an1 an 2 ann
det Xi
Determinante associado à matriz obtida a partir de S,
trocando a coluna dos coeficientes de Xi, pela coluna dos
termos independentes do sistema.
a12 a1n
a11 b2 a1n
det X1 = b2 a22 a2n
det X2 = a21 b2 a2n
b1
bn
DEFINIÇÃO
Denomina-se Sistema Linear todo conjunto de m equações
lineares com n incógnitas.
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a x a x a x b
21 1
22 2
2n n
2
am1x1 am2 x2 amn xn bn
matriz
det Xn =
an2 ann
an1 bn ann
a11 a12 b1
a21 a22 b2
an1 an2 bn
A solução do Sistema é dada por:
Se b1, b2, ......, bn = 0 dizemos que o sistema é homogêneo.
Solução de um Sistema Linear
Denomina-se solução de um sistema a sequência de
números reais (1, 2,..........., n) que satisfaz
simultaneamente todas as equações do sistema.
Sistemas Equivalentes
Dois Sistemas são ditos equivalentes se e somente se:
São Possíveis e admitem as mesmas soluções, ou
São Impossíveis.
Classificação de um Sistema Linear
Um Sistema Linear pode ser classificado de acordo com o
número de soluções que ele apresenta. Sendo assim ele
pode ser:
DETERMINADO
(1 solução)
Pré-Vestibular da UFSC
x1
det X1
det S
x2
det X 2
det Xn
xn
det S
det S
Veja que só é possível aplicar a Regra de Cramer em
sistemas n x n em que det S 0. Esses sistemas são
denominados normais.
3. Discussão com base na regra de Cramer (2x2)
1) Quando det S 0, o sistema é possível e determinado.
2) Quando det S = det X1 = det X2 = ...= 0, o sistema é
possível e indeterminado
3) Quando det S = 0 e pelo menos um dos demais
determinantes for diferente de zero, os sistema é
impossível.
O sistema homogêneo é sempre possível.
19
Matemática D
Inclusão para a Vida
Exercícios de Sala
7. (UFSC)Para que o sistema abaixo seja impossível, o
1. Usando a regra de Cramer, resolva os seguintes
sistemas:
a)
4 x 3 y 11
2 x 5 y 1
8. (UFSC)Determine o valor de m para que o sistema,
abaixo admita infinitas soluções:
xy 3
b)
2 x 2 y 6
c)
valor de a é:
x 3y 4 z 1
x y az 2
x y 2 z 3
mx 2 y z 0
x my 2 z 0
3x 2 y 0
x y 1
3 x 3 y 2
Tarefa Complementar
com , R, então o sistema é determinado se:
9. (UEPG-PR) O sistema linear
ax y 3z 3
x y z 2 é:
3x 2y 4z b
a) se -1
b) se = -1 e 1
= -1
c) se 1
01. impossível para a 2 e b = 5
02. impossível para a = 2 e b 5
04. possível e determinado para a = 2 b R
08. possível e indeterminado para a = 2 e b = 5
16. possível e determinado para a 2
x y z
2. Dado o sistema de equações lineares x y z 1
x y z 1
d) se = -1 e = 1
e) se = -1 e
3. (FGV-SP) O sistema linear x y 2 z 0 admite
x y z 0
x y z 0
solução trivial, se:
a) = - 2
b) - 2
c) = 2
d) 2
x y z 9
,
2x y z 11
x y z 1
x ay z 0
ax y az 0 assinale a alternativa correta:
x ay z 0
a) O sistema admite uma infinidade de soluções
para qualquer a real.
b) O sistema não admite solução de a = 1.
c) O sistema admite uma única solução se a = 3.
d) O sistema admite somente a solução trivial.
e) O sistema admite uma única solução se a = 1.
e)
Tarefa Mínima
4. (USF-SP) Resolvendo o sistema
10. (UFSCar-SP) Dado o sistema linear
obtém-
11. (FEI-SP) Se o sistema
se y igual a:
5. (UFRGS) Dado o sistema de equações lineares sobre
2x y z 4
R x 3 y 2z 4
os valores de x, y e z que constituem
4 x y z 0
sua solução:
a) formam uma progressão geométrica
b) formam uma progressão aritmética
c) são iguais entre si
d) não existem
e) têm uma soma nula
2x 5y 10
6. (FGV-SP) O sistema de equações
é
x 2y 3
equivalente a:
2 5 x 10
a)
.
1 2 y 3
2 -1 x 10
c)
.
5 -2 y 3
-2 -5 x 10
b)
.
1 2 y 3
-2 1 x 10
d)
-5 2 y 3
Pré-Vestibular da UFSC
3x 2y z 1 0
mx 4y 2z 2 0
2x my 3z 2 0
admite uma única solução, então:
a) m 6
b) m 2
c) m 8
d) m 4
e) m 3
x 3y 0
12. (UFSC) Considere o sistema S1:
- 2x - 6y 0
determine a soma dos números
proposição(ões) verdadeira(s).
associados
à(s)
01. O par ordenado (15,5) é uma solução do
sistema S1.
02. O sistema S1 é possível e determinado.
04. A solução do sistema S1 é uma reta que não passa
pela origem.
2x 6y 0
08. O sistema S2:
- 10x - 30y 0
é equivalente ao
sistema S1.
20
Inclusão para a vida
Matemática D
13. (UFSC) Assinale a soma dos números associados às
proposições verdadeiras:
01. O número de elementos de uma matriz quadrada de
ordem 12 é 48.
02. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma
ordem.
x x x
x x = 0 é 8.
4 4 x
04. A soma das raízes da equação 4
02. A matriz A = (aij)13, tal que aij = i –3j é
A= 2 5 8 .
04. A soma dos elementos da inversa da matriz
1 1 é igual a 2.
0 1
08. Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se tA = A, sendo tA a transposta da matriz A. Nessas
condições, pode-se afirmar que a matriz
0 0 1
0 0 0 é anti-simétrica.
1 0 0
08. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes
inversas.
3x 2y 0 é indeterminado.
x y 0
16. O sistema
14. (UFSC) Assinale a soma dos números associados às
16. Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas
a seguir, para que PQ – R seja uma matriz nula, o
valor de x deve ser 2.
3
1 , 3x 5, 6
0
2
proposições verdadeiras.
1
4
01. A matriz
5
3
2
2
4
1
3
5
8
2
0
1
não possui inversa.
1
0
02. Se um sistema de equações é indeterminado, então não
se pode encontrar solução para ele.
04. Uma pequena indústria produz três tipos de produto
que indicamos por x, y, z. As unidades vendidas de
cada produto e o faturamento bruto da empresa em
três meses consecutivos são os dados na tabela
abaixo. Então, os preços dos produtos x, y e z só
podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$
5.000,00 e R$ 3.000,00.
Unidades
Mês de x
vendidas
1
1
Unidades
de y
vendidas
5
2
4
1
3
5
6
08. A solução da equação
Unidades
Faturamento
de z
bruto
vendidas
3
R$
35.000,00
2
R$
15.000,00
5
R$
50.000,00
2 4 1
éx=1
2 4 x 0
3 1 2
1
2
1
x
19
, 6
32. A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A =
5B. Nestas condições, pode-se afirmar que det(A) =
5det(B), sendo que
det(A) e det(B) designam,
respectivamente, os
determinantes das matrizes A e
B.
16. (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).
01. Dada uma matriz A, de ordem m x n, e uma matriz B
de ordem n x p, a matriz produto A.B existe e é de
ordem m x p.
02. Se um sistema de equações possui mais equações do
que incógnitas, então ele é incompatível (impossível).
04. A terna (2, 1, 0) é solução do sistema
x 2 y 3z 4
2 x y 2 z 3
3x y z 7
6x 2 y 2 z 14
08. Três pessoas foram a uma lanchonete. A primeira
tomou 2 (dois) guaranás e comeu 1 (um) pastel e pagou
R$ 4,00. A segunda tomou 1 (um) guaraná e comeu
2(dois) pastéis e pagou R$ 5,00. A terceira tomou 2
(dois) guaranás e comeu
2(dois) pastéis e
pagou R$ 7,00. Então, pelo menos, uma das pessoas
não pagou o preço correto.
17. (FUVEST) O sistema linear
15. (UFSC) Assinale as proposições corretas.
01. O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do
x 2y 9
sistema
3x 6y 27
Pré-Vestibular da UFSC
x log 2 y log 3 a
x log 4 y log 9 a
a)
b)
c)
d)
e)
tem solução única se a = 0
tem infinitas soluções se a = 2
não tem solução se a = 3
tem infinitas soluções se a = 4
tem solução única se a = 9
21
