Aula 11

CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula no 11: Derivação Implícita, Funções Trigonométricas Inversas e Derivada da Função Inversa
Objetivos da Aula
• Apresentar a técnica de derivação implícita;
• Determinar a derivada da função inversa;
• Denir as inversas das funções trigonométricas e calcular suas respectivas derivadas.
1 Derivação Implícita
As funções apresentadas até agora podem ser descritas expressando-se uma variável explicitamente em
termos de outras. Por exemplo:
ou
y = x2 − 3x + 1
y = sen(x)
ou, em geral, y = f (x). Algumas funções, entretanto, são denidas implicitamente por uma relação entre
x e y , tais como
x2 + y 2 = 1
ou
x3 + y 3 = 6xy.
Observe que o gráco da equação x2 + y 2 = 1 é uma curva chamada circunferência de raio 1 com centro
na origem. Se você separar y da equação, é possível escrever explicitamente em relação a x, porém temos
duas funções, uma positiva e outra negativa:
y=
√
1 − x2
ou
√
y = − 1 − x2 .
Apresentaremos a seguir, algumas curvas denidas implicitamente.
(a) Círculo:x
2
+ y2 = 1
(b) Cardióide:
1
x2 + y 2 = (2x2 + 2y 2 − x)2
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(c) Curva do Diabo:
Aula n
y 2 (y 2 − 4) = x2 (x2 − 5)
(d) Fólio de Descartes:
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x3 + y 3 = 6xy
Denição 1. Dizemos que uma função y = f (x) é dada implicitamente pela equação Q(x, y) = 0, se para
todo x no domínio de f , o ponto (x, f (x)) for solução da equação, isto é, Q(x, y) = 0.
sen2 (x)
é dada implicitamente pela equação sen2 (x) + y = 3xy , uma vez
3x
−
1
(
)
1
sen2 (x)
que para todo x ̸= , o par x,
é solução desta equação.
3
3x − 1
Exemplo 1. A função f (x) =
1.1
Derivação Implícita
Suponha y = f (x) uma função diferenciável e dada implicitamente pela equação:
Q(x, y) = 0.
Usando a regra da cadeia podemos derivar Q(x, y) = 0, isto é, derivamos os dois lados desta equação
em relação a x:
d
[Q(x, y)] = 0,
dx
considerando x como variável independente e lembrando que y é função de x. Desta forma, é possível
obter a derivada das funções implícitas, mesmo não conhecendo explicitamente a função f (x). Basta achar
a derivada usando as propriedades e a regra da cadeia para y . Este processo é chamado de derivação
implícita.
Exemplo 2. Seja y = f (x) uma função dada implicitamente pela equação −3x2 + 6y + 2x = 6. Calcule
dy
.
dx
Solução: Derivando a equação dada em relação a x, temos:
d
d
(−3x2 + 6y + 2x) =
(6)
dx
dx
dy
−6x + 6
+2 = 0
dx
dy
1
= x− .
dx
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Exemplo 3. Se g(x) + xsen(g(x)) = x2 , encontre g ′ (0).
Solução: Derivando a equação em relação a x, temos:
d 2
d
[g(x) + xsen(g(x))] =
[x ]
dx
dx
g ′ (x) + sen(g(x)) + x cos(g(x)).g ′ (x) = 2x
2x − sen(g(x))
g ′ (x) =
1 + x cos(g(x))
′
g (0) = −sen(g(0)).
Como g(x) satisfaz a equação dada, então fazendo x = 0 nesta equação:
g(0) + 0.sen(g(0)) = 0 ⇒ g(0) = 0.
Substituindo este valor em g ′ (0), obtemos:
g ′ (0) = −sen(0) = 0.
√
Exemplo 4. Encontre a equação da reta tangente a curva x2 + y 2 = 9, no ponto (2, 5).
Solução: Derivando em relação x, temos:
d
dy
dy
x
d 2
(x + y 2 ) =
(9) ⇒ 2x + 2y
=0 ⇒
= , y ̸= 0.
dx
dx
dx
dx
y
Para escrever a equação da reta, precisamos calcular m:
√
dy
x
2
2 5
= = −√ = −
.
dx
y
5
5
Assim:
√
√
√
√
2 5
y− 5=−
(x − 2) ⇒ 5y + 2 5x = 9 5.
5
Exemplo 5. Use derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva sen(x + y) =
2x − 2y , no ponto de abscissa (π, π).
Solução:
Considere y = f (x) uma função dada implicitamente pela equação sen(x + y) = 2x − 2y . Como já
temos o ponto de tangência, resta determinar o coeciente angular da reta, dado por f ′ (π). Derivando
implicitamente a equação dada e usando a regra da cadeia:
d
d
(sen(x + y)) =
(2x − 2y)
dx (
dx
)
dy
dy
cos(x + y). 1 +
= 2−2
dx
dx
dy
2 − cos(x + y)
=
dx
2 + cos(x + y)
Aplicando no ponto (π, π), temos:
f ′ (π) =
2 − cos(2π)
1
= .
2 + cos(2π)
3
Portanto, a equação da reta tangente é dada por
1
1
2π
y − π = (x − π) ⇒ y = x +
.
3
3
3
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Exemplo 6. Encontre a equação das retas tangente e normal à Curva do Diabo, dada implicitamente por
y 2 (y 2 − 4) = x2 (x2 − 5), no ponto (0, −2).
Solução: Derivando implicitamente a equação dada, temos:
4y 3
dy
dy
dy
4x3 − 10x
dy − 8y
= 4x3 − 10x ⇒
=
⇒
= 0.
dx
dx
dx
4y 3 − 8y
dx (0,−2)
Portanto, a reta tangente é a reta horizontal y = −2 e a reta normal é a reta vertical x = 0.
Exemplo 7. Se x3 + y 3 = 1, encontre y ′′ por derivação implícita.
Solução: Derivando implicitamente, temos:
d 3
d
(x + y 3 ) =
(1) ⇒ 3x3 + 3y 2 .y ′ = 0.
dy
dy
Derivando implicitamente novamente, temos
d
−2(x + y.y ′ )
(3x3 + 3y 2 .y ′ ) = 0 ⇒ 6x + 6y.y ′ + 3y 2 .y ′′ = 0 ⇒ y ′′ =
.
dy
y2
2 Função Inversa
Na Aula 02, denimos função inversa. Apresentaremos a seguir, a condição para que uma função seja
inversível, bem como algumas de suas propriedades.
Denição 2 (Função Inversível). Dizemos que f é uma função inversível se existe uma função g tal que
f ◦ g = g ◦ f = x, sendo Df = Img . Neste caso, denotaremos g = f −1 e diremos que g é a função inversa
de f .
Observação 1. Seja f um função inversível e f −1 a sua inversa. Temos as seguintes propriedades:
• f −1 é única.
• Os grácos de f e f −1 são simétricos em relação a y = x (função identidade).
Teorema 1. Uma função f é inversível se, e somente se, f é bijetora.
√
Exemplo 8. Para todo x ∈ R+ , verique que g(x) = x é a função inversa de f (x) = x2 .
Solução: De fato, note que:
Analogamente,
√
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = ( x)2 = x.
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) =
√
x2 = x.
Portanto, a função inversa de f (x) = x2 é:
f −1 (x) =
√
x.
Gracamente, temos:
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Ainda, na Aula 02, denimos função crescente e função decrescente. Deniremos a seguir uma função
monótona.
Denição 3 (Função Monótona). Se f é uma função sempre
que f é uma função monótona.
crescente
ou
sempre decrescente,
diz-se
Suponha f uma função monótona crescente ou decrescente em um intervalo I , tomemos dois números
quaisquer distintos x1 < x2 em I . Se f é crescente, temos que f (x1 ) < f (x2 ) e se f é decrescente, então
f (x2 ) < f (x1 ). Em quaisquer dos casos, f (x1 ) ̸= f (x2 ), logo f é injetora. Temos, assim, a seguinte
proposição.
Proposição 1. Se a função f é monótona (crescente ou decrescente) em um intervalo I , então é injetora
em I .
Exemplo 9. A função f (x) = x2 é injetora no intervalo I = [0, +∞), pois é monótona em I .
Solução: De fato, tomando 0 ≤ x1 < x2 , temos:
x1 < x2 ⇒ x21 < x22 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
Agora, considere uma função f denida em um intervalo fechado [a, b]. Se f for contínua, pelo Teorema
do Valor Intermediário (visto na Aula 07), para todo y compreendido entre f (a) e f (b), existe x ∈ (a, b)
tal que f (x) = y . Temos assim, a proposição a seguir.
Proposição 2. Toda função contínua f : [a, b] → [f (a), f (b)] é sobrejetora.
Note que, na Proposição 2, estamos assumindo que f (a) ≤ f (b). Caso, f (b) < f (a), a função ca
f : [a, b] → [f (b), f (a)]. Juntando as Proposições 1 e 2, temos a seguinte proposição:
Proposição 3. Toda função monótona (crescente ou decrescente) e contínua f : [a, b] → [f (a), f (b)] é
inversível.
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Exemplo 10. A função g : [0, π] → [−1, 1] denida por g(x) = cos(x) é bijetora, pois é uma função
contínua e monótona (decrescente) no intervalo considerado, logo pela Proposição 3 é inversível.
[ π π]
Exemplo 11. A função f : − , → [−1, 1], denida por f (x) = sen(x) é bijetora, pois sen(x) é uma
2 2
função contínua e monótona (crescente) no intervalo considerado, logo pela Proposição 3 é inversível.
2.1
Funções trigonométricas inversas
Denição 4 (Inversa da função cosseno). A função inversa do cosseno é a função chamada arco-cosseno,
denotada por arccos ou cos−1 , denida por:
y = arccos(x) ⇔ x = cos(y)
e 0 ≤ y ≤ π.
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Denição 5 (Inversa da função seno). A função inversa do seno é a função chamada arco-seno, denotada
por arcsen ou sen−1 , denida por:
y = arcsen(x) ⇔ x = sen(y)
e−
π
π
≤y≤ .
2
2
Denição 6 (Inversa da função tangente). A função inversa do tangente é a função chamada
tangente,
denotada por arctg ou tg−1 , denida por:
arco-
y = arctg(x) ⇔ x = tg(y)
e−
π
π
<y< .
2
2
3 Derivada da função inversa
Suponha f uma função inversível e derivável em um ponto x, com f ′ (x) ̸= 0. Já vimos que:
y = f (x) ⇒
e
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x = f −1 (x) ⇒
dy
= [f (x)]′
dx
dx
= [f −1 (y)]′ .
dy
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Da denição de função inversa, segue que para todo x ∈ Df , temos:
f −1 (f (x)) = x.
Derivando esta última identidade em relação a x e usando a regra da cadeia, obtemos:
[f −1 (f (x))]′ .f ′ (x) = 1
Substituindo f (x) por y na inversa, temos:
[f −1 (y)]′ =
Ou ainda:
1
.
[f (x)]′
dy
1
= dy .
dx
dx
Com isto, temos a seguinte proposição:
Proposição 4. Seja f uma função inversível com inversa f −1 . Se f é derivável em um ponto x e f ′ (x) ̸= 0,
então sua inversa é também derivável em y = f (x). Além disso:
(f −1 )′ (y) =
1
f ′ (x)
.
Exemplo 12 (Derivada da função arco-cosseno). Calcule f ′ (x) para f (x) = arccos(x).
Solução: Da denição de inversa, temos que:
y = arccos(x) ⇒ x = cos(y),
com y ∈ [0, π]. Usando a derivada da inversa, segue que:
1
1
.
=−
[cos(y)]′
sen(y)
√
√
Como x = cos(y) e sen2 y + cos2 y = 1, então sen(y) = 1 − cos2 y = 1 − x2 . Substituindo este
[arccos(x)]′ =
valor na equação anterior, temos:
1
[arccos(x)]′ = − √
,
1 − x2
x ∈ (−1, 1)
Exemplo 13 (Derivada da função arco-seno). Calcule f ′ (x) para f (x) = arcsen(x).
Solução: Da denição de inversa, temos que:
y = arcsen(x) ⇒ x = sen(y),
[ π π]
com y ∈ − , . Usando a derivada da inversa, segue que:
2 2
[arcsen(x)]′ =
1
1
1
1
=
=√
=√
.
′
2
[sen(y)]
cos(y)
1 − x2
1 − sen y
Portanto,
[arcsen(x)]′ = √
1
,
1 − x2
x ∈ (−1, 1)
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Exemplo 14 (Derivada da função arco-tangente). Calcule f ′ (x) para f (x) = arctg(x).
Solução: Da denição de inversa, temos que:
y = arctg(x) ⇒ x = tg(y),
[ π π]
com y ∈ − , . Usando a derivada da inversa e a identidade tg2 x + 1 = sec2 x, segue que:
2 2
[arctg(x)]′ =
Portanto:
1
1
1
1
=
=
.
=
2
′
2
[tg(y)]
sec (y)
1 + x2
1 + tg y
[arctg(x)]′ =
1
.
1 + x2
Resumo
Usando um procedimento análogo ao que foi feito, construa a inversa das funções cossecante, secante
e tangente e calcule suas respectivas derivadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o contúeudo desta aula no Capítulo 1 - Seções 1.6 e no Capítulo 3 - Seção 3.5 do livro
texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 3.5 do livro texto.
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