CÁLCULO I 1 Regras de Derivação

CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula no 09: Regras de Derivação
Objetivos da Aula
• Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação;
• Derivar funções utilizando diferentes técnicas.
Apresentamos na aula anterior a definição de derivada, como calcular a derivada de uma função pela
definição e a derivada de algumas funções elementares. Apresentaremos a seguir, as regras de derivação
para soma, subtração, multiplicação por um escalar, multiplicação e divisão de funções.
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Regras de Derivação
Diferenciação ou derivação é a operação utilizada para encontar a derivada de uma função, quando
esta é derivável. Existem alguns resultados que facilitam a operação de diferenciação.
Teorema 1. Sejam f e g funções deriváveis e c uma constante real, então
a) (f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x)
b) (f − g)′ (x) = f ′ (x) − g ′ (x)
c) (c · f )′ (x) = x · f ′ (x)
d) (f · g)′ (x) = f (x) · g ′ (x) + g(x) · f ′ (x)
( )′
f
f ′ (x) · g(x) − g ′ (x) · f (x)
e)
(x) =
g
[g(x)]2
Exemplo 1. Calcule f ′ (x), sendo f (x) = x3 + x2 + 1.
Solução: Aplicando a regra da derivada da soma, temos:
f ′ (x) = [x3 ]′ + [x2 ]′ + [1]′ = 3x2 + 2x.
Exemplo 2. Calcule f ′ (x), sendo f (x) = 3x +
√
x.
Solução: Note que:
f (x) = 3x +
√
1
x = 3x + x 2
Aplicando a regra da derivada da soma, temos
1 1
1 1
1
f ′ (x) = 3 + x 2 −1 = 3 + x− 2 = 3 + √ .
2
2
2 x
1
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Exemplo 3. Calcule f ′ (x), sendo f (x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k, onde b, c e k são constantes.
Solução: Utilizando a regra da derivada da soma e a derivada da potência, temos:
f ′ (x) = 20x3 + 3bx2 + 2cx
Exemplo 4. Calcule f ′ (x), sendo f (x) = (x2 + 3x)senx.
Solução: Aplicando a regra da derivada do produto, temos:
f ′ (x) = (x2 + 3x) cos x + senx(2x + 3).
Exemplo 5. Calcule f ′ (x), quando f (x) =
5x
.
+1
x2
Solução: Aplicando a regra da derivada do quociente, temos:
f ′ (x) =
=
=
=
(5x)′ .(x2 + 1) − (x2 + 1)′ .(5x)
(x2 + 1)2
5(x2 + 1) − (2x).(5x)
(x2 + 1)2
5x2 + 5 − 10x2
(x2 + 1)2
−5x2 + 5
.
(x2 + 1)2
Exemplo 6. Calcule f ′ (x), para f (x) = tgx.
Solução: Note que:
f (x) = tgx =
senx
cos x
Utilizando a regra da derivada do quociente, temos;
f ′ (x) =
cos x(cos x) − (−senx)senx
cos2 x + sen2 x
1
=
=
= sec2 x.
2
2
cos x
cos x
cos2 x
√
3x2 + 2 x
′
Exemplo 7. Calcule f (x), quando f (x) =
x
Solução: Note que:
√
√
1
1
3x2 + 2 x
3x2 2 x
2x 2
f (x) =
=
+
= 3x +
= 3x + 2x− 2
x
x
x
x
Aplicando a derivada da soma, temos:
3
1
f ′ (x) = 3 − x− 2 = 3 − √ .
x x
Observação 1. O Exemplo 7 nos mostra que nem sempre precisamos aplicar a regra do quociente logo de
primeira. Algumas vezes é mais fácil reescrever um quociente primeiro, colocando-o em uma forma que seja
mais simples para derivar.
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Exemplo 8. Seja x = t2 sen(t). Calcule:
a)
dx
dt
dx b)
dt t=π
Solução: a) Aplicando a regra da derivada do produto, temos:
dx
d
= (t2 sent) = 2tsent + t2 cos t = t(2sent + t cos t).
dt
dt
dx b) Calculando
, temos:
dt t=π
dx = π(2senπ + π cos π) = −π 2 .
dt t=π
Exemplo 9. Seja y = u2 em que u = u(x) é uma função derivável. Verifique que
dy
du
= 2u .
dx
dx
Solução: Note que:
y = u2 = u · u ⇒
dy
d
du
du
=
[u · u] =
u+u .
dx
dx
dx
dx
Assim,
dy
du
= 2u .
dx
dx
dy
Exemplo 10. Calcule
, em que y = (x2 + 3x)2 .
dx
Solução: Fazendo u = x 2 + 3x, temos:
y = u2 .
Pelo Exemplo 9, temos:
du
dy
= 2u .
dx
dx
Como
du
d
=
[x 2 + 3x] = 2x + 3, temos:
dx
dx
dy
= 2 (x2 + 3x) (2x + 3) .
| {z } | {z }
dx
u
du
dx
Observação 2. Vimos no Exemplo 9, que sendo y = u2 , com u = u(x) derivável, resulta em
dy
du
= 2u .
dx
dx
Por outro lado:
y = u2 ⇒
(1)
d 2
dy
=
[u ] = 2u.
du
du
Assim, em (1), temos:
dy
dy du
=
. ,
dx
du dx
(2)
dy
deve ser calculado em u = u(x). Mostraremos nas próximas aulas que esta regra (2), conhecida
du
como regra da cadeia é válida sempre que y = y(u) e u = u(x) forem deriváveis.
em que
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Exemplo 11. Calcule f ′ (x), para f (x) = 3 cos2 (2x).
Solução: Temos que:
f ′ (x) = −3.2.2 cos(2x).sen(2x) = −12 cos(2x)sen(2x).
(x)
Exemplo 12. Calcule f ′ (x), quando f (x) = x3 − sen
.
3
Solução: Temos que:
(x)
1
.
f ′ (x) = 3x2 − . cos
3
3
Exemplo 13. Calcule f ′ (x), para f (x) = (5x − 1)(−x3 + 5x − 3)4 .
Solução: Note que:
[
[5x − 1]′ = 5
]′
(−x3 + 5x − 3)4
= 4(−x3 + 5x − 3)3 (−3x2 + 5)
Aplicando a regra da derivada do produto, segue que:
f ′ (x) = 5.(−x3 + 5x − 3)4 + (5x − 1).4(−x3 + 5x − 3)3 (−3x2 + 5)
[
]
= (−x3 + 5x − 3)3 . 5(−x3 + 5x − 3) + 4(5x − 1)(−3x2 + 5)
[
]
= (−x3 + 5x − 3)3 . −5x3 + 5x − 15 + 4(−15x3 + 25x + 3x2 − 5)
[
]
= (−x3 + 5x − 3)3 . −5x3 + 25x − 15 − 60x3 + 100x + 12x2 − 20
= (−x3 + 5x − 3)3 .(−65x3 + 12x2 + 125x − 35).
√
Exemplo 14. Encontre a equação da reta tangente à curva y = x x no ponto (1, 1).
Solução: Note que
Assim:
√
3
1
y = f (x) = x x = x.x 2 = x 2 .
3 3
3 1
3√
y ′ = x 2 −1 = x 2 =
x.
2
2
2
Logo, a inclinação da reta tangente em (1, 1) é f ′ (1) = 23 . Portanto, uma equação da reta tangente é:
y − f (1) = f ′ (1).(x − 1)
3
y−1 =
(x − 1)
2
1
3
x−
y =
2
2
Graficamente, temos:
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Exemplo 15. Encontre os pontos sobre a curva y = x4 − 6x2 + 4, onde a reta tangente é horizontal.
Solução: As retas tangente horizontais ocorrem quando derivada é igual a zero. Temos:
dy 4
[x − 6x2 + 4] = 4x3 − 12x
dx
= 4x(x2 − 3).
Assim:
√
4x(x2 − 3) = 0 ⇒ x = 0 ou x = ± 3.
Logo, a curva dada tem√tangentes horizontais,
quando x = 0, x =
√
correspondentes são (0, 4), ( 3, −5) e (− 3, −5).
Graficamente, temos:
√
√
3 e x = − 3. Os pontos
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Resumo
Façaa um resumo das regras de derivação vistas nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o contúeudo desta aula no Capítulo 3 - Seções 3.1 e 3.2 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seçãao 3.1 e 3.2 do livro texto.
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