Instituto de Fısica Fısica III – 2015/2 – Primeira Prova: 14

Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/2 – Primeira Prova: 14/12/2015
Versão: A
~,
F~e = q E
Formulário
I
1
q
~ ·dA
~ = Qint ,
~
,
onde k0 =
E
E = k0 2 r̂
r
4πǫ0
ǫ0
S
qq ′
,
U = k0
r
~ =E
~ 0 /K ,
E
C = Q/V ,
ǫ0
U=
2
~ = −∇V
~ ,
E
Z
3
d rE
3. Considere um disco de raio R, com densidade superficial de carga uniforme σ. Seja ainda (r, ϕ, z) o sistema
de coodenadas cilı́ndricas usual, e r̂, ϕ̂, ẑ os vetores
unitários correspondentes. Sabendo-se que a origem
desse sistema está no centro do disco e o eixo z é o
eixo de simetria, qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
V = k0
q
r
2
(a)
O campo elétrico sempre aponta na direção r̂.
(b)
O campo elétrico só depende da coordenada z.
(c)
A direção do campo elétrico independe da coordenada ϕ
(d)
Seção 1.
Múltipla escolha (7×0,6 = 4,2 pontos)
2. Uma esfera condutora maciça de raio a possui carga
Q. Concêntrica a ela, existe uma casca esférica espessa condutora e descarregada, de raio interno b e
raio externo c, onde c > b > a. Em certo instante,
conectamos a esfera e a casca esférica por um fio condutor. Quando as cargas atingem o equilibrio:
1. Qual das seguintes afirmativas é falsa?
(a)
No processo de carregamento de um capacitor,
cria-se um campo elétrico entre suas placas.
(b)
O trabalho necessário para carregar um capacitor pode ser pensado como sendo o trabalho
necessário para criar um campo elétrico entre
suas placas.
(c)
(d)
(e)
(a)
A densidade de energia no espaço entre as placas de um capacitor é diretamente proporcional ao módulo do campo elétrico.
(b)
A diferença de potencial entre as placas de
um capacitor é diretamente proporcional ao
módulo do campo elétrico.
A superfı́cie interna da esfera oca tem carga
−Q e a esfera maciça tem carga +Q.
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga +Q.
(e)
A direção do campo elétrico independe da coordenada r.
(f)
O módulo do campo elétrico independe da coordenada ϕ.
4. Um capacitor carregado tem um campo elétrico de
módulo E0 e uma diferença de potencial V0 entre suas
placas. Sem conectar nenhuma fonte de fem, inserimos um material dielétrico (κ > 1) entre as placas
produzindo um campo elétrico de módulo Ed e uma
diferença de potencial Vd através do capacitor. Que
afirmativa melhor representa as relações entre os campos elétricos e as diferenças de potencial?
(a)
Ed > E0 ; Vd > V0
(b)
Ed = E0 ; Vd < V0
(c)
Ed < E0 ; Vd = V0
(c)
A superfı́cie interna da esfera oca tem carga 0
e a esfera maciça tem carga +Q.
(d)
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga 0.
(d)
Ed < E0 ; Vd > V0
(e)
Ed < E0 ; Vd < V0
(e)
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga −Q.
(f)
Ed = E0 ; Vd = V0
Nenhuma das afirmativas anteriores é falsa.
5. Duas partı́culas puntiformes, de cargas Q e q (Q 6= q),
separadas pela distância d produzem um potencial
V (P ) = 0 no ponto P . Sabendo-se que a energia potencial associada a essas duas cargas se anula quando
elas estão infinitamente afastadas, conclui-se que:
(a)
1
O módulo do campo elétrico independe da coordenada r.
Nenhuma força atua em uma carga de teste
colocada no ponto P .
(b)
Q e q devem ter o mesmo sinal.
(c)
O campo elétrico deve ser zero em P .
(d)
O trabalho das forças elétricas para trazer as
duas partı́culas do infinito à distância d uma
da outra é zero.
(e)
O trabalho das forças elétricas necessário para
trazer uma carga do infinito para o ponto P é
zero.
2
6. Uma partı́cula puntiforme de carga Q encontra-se
fixa na origem O = (0, 0, 0), e um próton de carga
e se encontra no ponto A = (xA , 0, 0). Qual o
trabalho WA→B , de um agente externo, necessário
para levar esse próton do ponto A até o ponto B =
(xA , yB , 0)?.
eQ
1
1
√
.
(a) WA→B = 4πǫ0 xA −
2
x2A +yB
eQ
1
1
√
(b) WA→B = − 4πǫ
.
−
2
2
xA
0
xA +yB
(c)
(d)
(e)
WA→B =
eQ
4πǫ0
WA→B =
eQ
− 4πǫ
0
WA→B =
eQ
4πǫ0
yB .
yB .
(yB − xA ).
7. Considere os três objetos, I, II e III, mostrados
na figura, na presença do campo eletrostático gerado
pela carga pontual positiva. Todas as linhas orientadas (“com setinhas”) mostradas são linhas de campo
elétrico. Qual a única afirmação verdadeira?
(a)
I é um condutor e VD = VE
(b)
I é um condutor e VD 6= VE
(c)
II é um condutor e VA = VB
(d)
II é um condutor e VA > VB
(e)
III é um condutor e VC = 0
(f)
III é um condutor e VA = VB = VC = VD =
VE
Seção 2. Questões discursivas (5,8 pontos)
1. [2,8 pontos] Um anel circular de raio R está carregado com uma densidade de carga positiva e não uniforme,
λ(θ) = λ0 |senθ|, onde λ0 > 0. Determine:
(a) a carga total no anel. [0,6 ponto]
(b) o potencial eletrostático, V (z), num ponto P do eixo de simetria do anel, localizado a uma distância z do seu
centro (sabendo-se que V = 0 no infinito). [0,8 ponto]
~
(c) a expressão do campo elétrico, E(z),
no ponto P , a partir de V (z). [0,8 ponto]
(d) a d.d.p. entre os pontos Pi e Pf assinalados na figura (justifique sua resposta) [0,6 ponto]
(d) o módulo da velocidade inicial, ~v∞ , que um próton, de massa mp e carga +e, deve ter, em z → ∞, para que
este chegue ao repouso no centro do anel, em z = 0. [0,6 ponto]
2. [3,0 pontos] Um fio retilı́neo e infinito, carregado com uma densidade linear positiva e uniforme, λ0 , é colocado no
interior de uma casca cilı́ndrica espessa, também infinita, condutora e neutra, de raios interno, ra e externo, rb .
Determine:
(a) a carga Qh contida num segmento de altura h do fio, e as densidades superficiais de carga, σa e σb , induzidas
nas superfı́cies interna e externa do cilindro, respectivamente. [0,6 ponto]
~ r), nas regiões I (r < ra ), II (ra < r < rb ) e III (rb < r). [1,0 ponto]
(b) o campo elétrico, E(~
~ r), colocando o zero do potencial na
(c) o potencial eletrostático, V (r), em todas as três regiões, a partir de E(~
superfı́cie mais externa do cilindro, de raio rb . [0,8 ponto]
3
4
(c) Como o anel possui simetria de reflexão com relação aos plano XZ e Y Z, concluı́mos respectivamente que as
componentes Ex e Ey são nulas, restando então apenas a componente Ez . Podemos então aproveitar a expressão
para o potencial, obtida no ı́tem anterior, para calcular o campo elétrico no eixo Z, a saber
~ ) = Ez (0, 0, z)ẑ = −∇V |z = − dEz ẑ.
E(P
(3)
dz z
Gabarito para Versão A
Seção 1.
Múltipla escolha (7×0,6 = 4,2 pontos)
1. (c)
5. (e)
2. (d)
Como
6. (b)
3. (f)
4. (e)
4λ0 R d
4λ0 R
1
z
dEz
√
,
=
ẑ = −
dz
4πǫ0 dz
4πǫ0 (z 2 + R2 )3/2
z 2 + R2
7. (c)
(4)
temos
Seção 2. Questões discursivas (5,8 pontos)
zẑ
~ ) = 4λ0 R
E(P
4πǫ0 (z 2 + R2 )3/2
1. Resolução:
(5)
(a) Para uma distribuição linear (ou curvilı́nea), unidimensional, um elemento seu infinitesimal, de comprimento
dℓ, possuirá uma carga infinitesimal
dq = λ dℓ .
Como, na situação em pauta,
λ = λ0 |senθ|
=0
e
onde utilizamos o reusltado do ı́tem b). Como Epart se conserva, podemos igualá-la à energia de partida da partı́cula
no infinito
mp v 2
4eλ0
,
(7)
Epart =
= eV (z → ∞) +
{z
}
|
4πǫ0
2
dℓ = R dθ > 0 ,
temos, pois,
dq = λ0 R| sin θ| dθ .
A carga total será, portanto,
Z
Z 2π
dθ|senθ| = λ0 R
Q = λ0 R
0
(d) Podemos resolver esse problema nos valendo da conservação da energia mecânica da partı́cula, que, nesse caso,
é a soma da energia potencial elétrica e a energia cinética. Se queremos que ela pare em z = 0, sua energia nesse
ponto será
4eλ0
mp v 2
=
Epart = Epot + Ecin = eV (z = 0) +
,
(6)
2
| {z } 4πǫ0
=0
donde obtemos o módulo da velocidade crı́tica
π
dθ senθ + λ0 R
0
Z
2π
dθ[−senθ]
π
= λ0 R − cos θ|π0 + cos θ|2π
π
⇒
Q = 4λ0 R
v=
(1)
e portanto
s
(b) Resolveremos este item pelo princı́pio de superposição para o potencial elétrico. Um elemento infinitesimal do
anel, com carga infinitesimal dq, cria, em um ponto P do eixo Z, com cota z, o seguinte potencial infinitesimal:
dq
dV = k0 ,
r
1
⇒
(8)
8eλ0
ẑ
4πǫ0 mp
(9)
(a) A carga Qh contida num segmento de altura h é dada por
Qh =
Como todos os pontos do anel estão a mesma distância de P, o potencial resultante será:
1
Q
√
4πǫ0 z 2 + R2
~v = −
8eλ0
4πǫ0 mp
2. Resolução:
onde r é a distância do elemento até o ponto P, ou seja,
√
r = z 2 + R2 .
V (x = 0, y = 0, z) =
s
V (0, 0, z) =
1
4λ0 R
√
4πǫ0 z 2 + R2
(2)
Z
z+h
z
dz ′ λ0 = λ0 [(z + h) − z] = λ0 h .
(10)
Agora, sabemos que no interior do condutor (região II) o campo deve ser zero, e portanto seu fluxo através de
qualquer superfı́cie também se anula. Traçando então uma superfı́cie gaussiana cilı́ndrica de raio r (ra < r < rb )
e altura h, coaxial ao fio, e usando a lei de Gauss, vemos que a única maneira de anularmos o fluxo é anulando a
carga interna, donde
Q(ra ) = −λ0 h ,
(11)
2
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/2 – Primeira Prova: 14/12/2015
Versão: B
e portanto a densidade superficial de carga na superfı́cie interna é dada por
σa =
λ0 h
λ0
Q(ra )
=−
=−
2πra h
2πra h
2πra
(12)
Como a casca é neutra, temos Q(rb ) = −Q(ra ), donde
σb =
Q(rb )
λ0 h
λ0
=
=
2πrb h
2πrb h
2πrb
(13)
~,
F~e = q E
(b) Podemos encontrar o campo elétrico nos valendo das simetrias do problema e da lei de Gauss. Pelas simetrias
cilı́ndrica, de reflexão sobre um plano perpendicular ao fio, e de reflexão sobre um plano que contenha o fio, podemos
concluir que o campo aponta na direção radial (cilı́ndrica) e que ele só depende da coordenada radial, ou seja
~ r) = E(r)r̂ ,
E(~
=1
~I =
E
λ0
r̂ .
2πǫ0 r
(16)
~ II = ~0). Finalmente, na região III
A região II, por ser interior a um condutor, tem campo eletrico nulo (ou seja E
temos a mesma carga lı́quida interna que na região I, portanto
I
~ = E(2πrh) = λ0 h ⇒ E
~ III = λ0 r̂
~ · dA
(17)
E
ǫ
2πǫ0 r
0
S
(c) O potencial elétrostático pode ser obtido integrando-se o campo elétrico numa linha radial. Temos
Z r
Z r
~′=−
~ ′ · dr
V (r) = −
E
E(r ′ )dr ′
rb
U = k0
qq ′
,
r
~ =E
~ 0 /K ,
E
C = Q/V ,
Seção 1.
Z
q
r
d3 rE 2
(a)
(b)
(19)
2. Duas partı́culas puntiformes, de cargas Q e q (Q 6= q),
separadas pela distância d produzem um potencial
V (P ) = 0 no ponto P . Sabendo-se que a energia potencial associada a essas duas cargas se anula quando
elas estão infinitamente afastadas, conclui-se que:
A superfı́cie interna da esfera oca tem carga
−Q e a esfera maciça tem carga +Q.
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga +Q.
(c)
A superfı́cie interna da esfera oca tem carga 0
e a esfera maciça tem carga +Q.
(d)
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga 0.
(e)
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga −Q.
Na região II temos simplesmente VII = 0, pois toda a região condutora é uma equipotencial, e na região I (r < ra )
temos a mesma forma funcional do que na região III
Z ra
Z r
Z r
r λ0
λ0
a
VI (r) = −
EI · dr = −
EII ·dr −
dr =
log
.
(20)
|{z}
2πǫ0
r
ra
r
ra 2πǫ0 r
=0
lembrando apenas que, como r < ra < rb nesse caso, temos um potencial positivo, enquanto na regiao III tı́nhamos
um potencial negativo.
(d) Como os pontos Pi e Pf estão à mesma distância r0 do fio, isso os coloca na mesma superfı́cie equipotencial, e
portanto a d.d.p entre eles é zero.
3
ǫ0
2
V = k0
Múltipla escolha (7×0,6 = 4,2 pontos)
1. Uma esfera condutora maciça de raio a possui carga
Q. Concêntrica a ela, existe uma casca esférica espessa condutora e descarregada, de raio interno b e
raio externo c, onde c > b > a. Em certo instante,
conectamos a esfera e a casca esférica por um fio condutor. Quando as cargas atingem o equilibrio:
(18)
rb
onde já estamos usando o fato de que V (rb ) = 0. Temos então, na região III (r > rb )
Z r
Z r
r λ0
λ0
λ0
λ0
r
1
b
VIII (r) = −
=−
=−
=
log
log
2πǫ0 rb r
2πǫ0
rb
2πǫ0
r
rb 2πǫ0 r
b
U=
~ = −∇V
~ ,
E
(14)
e então, traçando gaussianas cilı́ndricas e coaxiais ao fio, de altura h, e usando a lei de Gauss, temos na regiao I
I
I
λ0
λ0 h
~ =
~ · dA
(15)
⇒ E=
E
E (r̂ · r̂) dA = E(2πrh) =
|
{z
}
ǫ
2πǫ
0
0r
S
S
ou seja
Formulário
I
1
q
~ ·dA
~ = Qint ,
~
,
onde k0 =
E
E = k0 2 r̂
r
4πǫ0
ǫ0
S
1
(a)
Nenhuma força atua em uma carga de teste
colocada no ponto P .
(b)
Q e q devem ter o mesmo sinal.
(c)
O campo elétrico deve ser zero em P .
(d)
O trabalho das forças elétricas para trazer as
duas partı́culas do infinito à distância d uma
da outra é zero.
(e)
O trabalho das forças elétricas necessário para
trazer uma carga do infinito para o ponto P é
zero.
6. Considere os três objetos, I, II e III, mostrados
na figura, na presença do campo eletrostático gerado
pela carga pontual positiva. Todas as linhas orientadas (“com setinhas”) mostradas são linhas de campo
elétrico. Qual a única afirmação verdadeira?
3. Um capacitor carregado tem um campo elétrico de
módulo E0 e uma diferença de potencial V0 entre suas
placas. Sem conectar nenhuma fonte de fem, inserimos um material dielétrico (κ > 1) entre as placas
produzindo um campo elétrico de módulo Ed e uma
diferença de potencial Vd através do capacitor. Que
afirmativa melhor representa as relações entre os campos elétricos e as diferenças de potencial?
(a)
Ed > E0 ; Vd > V0
(b)
Ed = E0 ; Vd < V0
(c)
Ed < E0 ; Vd = V0
(d)
Ed < E0 ; Vd > V0
(e)
Ed < E0 ; Vd < V0
(f)
Ed = E0 ; Vd = V0
Seção 2. Questões discursivas (5,8 pontos)
1. [2,8 pontos] Um anel circular de raio R está carregado com uma densidade de carga positiva e não uniforme,
λ(θ) = λ0 |senθ|, onde λ0 > 0. Determine:
4. Qual das seguintes afirmativas é falsa?
(a)
No processo de carregamento de um capacitor,
cria-se um campo elétrico entre suas placas.
(b)
O trabalho necessário para carregar um capacitor pode ser pensado como sendo o trabalho
necessário para criar um campo elétrico entre
suas placas.
(c)
(d)
(e)
I é um condutor e VD = VE
(b)
I é um condutor e VD 6= VE
(c)
A densidade de energia no espaço entre as placas de um capacitor é diretamente proporcional ao módulo do campo elétrico.
A diferença de potencial entre as placas de
um capacitor é diretamente proporcional ao
módulo do campo elétrico.
II é um condutor e VA = VB
(d)
II é um condutor e VA > VB
(e)
III é um condutor e VC = 0
(f)
III é um condutor e VA = VB = VC = VD =
VE
7. Uma partı́cula puntiforme de carga Q encontra-se
fixa na origem O = (0, 0, 0), e um próton de carga
e se encontra no ponto A = (xA , 0, 0). Qual o
trabalho WA→B , de um agente externo, necessário
para levar esse próton do ponto A até o ponto B =
(xA , yB , 0)?.
eQ
1
1
√
.
(a) WA→B = 4πǫ
−
2
xA
0
x2A +yB
eQ
1
1
√
(b) WA→B = − 4πǫ
.
−
2
2
xA
0
Nenhuma das afirmativas anteriores é falsa.
5. Considere um disco de raio R, com densidade superficial de carga uniforme σ. Seja ainda (r, ϕ, z) o sistema
de coodenadas cilı́ndricas usual, e r̂, ϕ̂, ẑ os vetores
unitários correspondentes. Sabendo-se que a origem
desse sistema está no centro do disco e o eixo z é o
eixo de simetria, qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
(a)
(a)
(a) a carga total no anel. [0,6 ponto]
(b) o potencial eletrostático, V (z), num ponto P do eixo de simetria do anel, localizado a uma distância z do seu
centro (sabendo-se que V = 0 no infinito). [0,8 ponto]
~
(c) a expressão do campo elétrico, E(z),
no ponto P , a partir de V (z). [0,8 ponto]
(d) o módulo da velocidade inicial, ~v∞ , que um próton, de massa mp e carga +e, deve ter, em z → ∞, para que
este chegue ao repouso no centro do anel, em z = 0. [0,6 ponto]
xA +yB
(c)
O campo elétrico sempre aponta na direção r̂.
WA→B =
eQ
4πǫ0
eQ
− 4πǫ
0
(b)
O campo elétrico só depende da coordenada z.
(d)
WA→B =
(c)
A direção do campo elétrico independe da coordenada ϕ
(e)
WA→B =
(d)
O módulo do campo elétrico independe da coordenada r.
(e)
A direção do campo elétrico independe da coordenada r.
(f)
O módulo do campo elétrico independe da coordenada ϕ.
eQ
4πǫ0
yB .
yB .
(yB − xA ).
2. [3,0 pontos] Um fio retilı́neo e infinito, carregado com uma densidade linear positiva e uniforme, λ0 , é colocado no
interior de uma casca cilı́ndrica espessa, também infinita, condutora e neutra, de raios interno, ra e externo, rb .
Determine:
(a) a carga Qh contida num segmento de altura h do fio, e as densidades superficiais de carga, σa e σb , induzidas
nas superfı́cies interna e externa do cilindro, respectivamente. [0,6 ponto]
~ r), nas regiões I (r < ra ), II (ra < r < rb ) e III (rb < r). [1,0 ponto]
(b) o campo elétrico, E(~
~ r), colocando o zero do potencial na
(c) o potencial eletrostático, V (r), em todas as três regiões, a partir de E(~
superfı́cie mais externa do cilindro, de raio rb . [0,8 ponto]
2
3
Gabarito para Versão B
Seção 1.
Múltipla escolha (7×0,6 = 4,2 pontos)
1. (d)
5. (f)
2. (e)
6. (c)
3. (e)
4. (c)
7. (b)
Seção 2. Questões discursivas (5,8 pontos)
1. Resolução:
(a) Para uma distribuição linear (ou curvilı́nea), unidimensional, um elemento seu infinitesimal, de comprimento
dℓ, possuirá uma carga infinitesimal
dq = λ dℓ .
Como, na situação em pauta,
λ = λ0 |senθ|
e
dℓ = R dθ > 0 ,
temos, pois,
(d) a d.d.p. entre os pontos Pi e Pf assinalados na figura (justifique sua resposta) [0,6 ponto]
dq = λ0 R| sin θ| dθ .
A carga total será, portanto,
Z
Z 2π
dθ|senθ| = λ0 R
Q = λ0 R
0
π
dθ senθ + λ0 R
0
Z
2π
dθ[−senθ]
π
= λ0 R − cos θ|π0 + cos θ|2π
π
⇒
Q = 4λ0 R
(1)
(b) Resolveremos este item pelo princı́pio de superposição para o potencial elétrico. Um elemento infinitesimal do
anel, com carga infinitesimal dq, cria, em um ponto P do eixo Z, com cota z, o seguinte potencial infinitesimal:
dV = k0
dq
,
r
onde r é a distância do elemento até o ponto P, ou seja,
√
r = z 2 + R2 .
Como todos os pontos do anel estão a mesma distância de P, o potencial resultante será:
V (x = 0, y = 0, z) =
1
Q
√
4πǫ0 z 2 + R2
4
1
⇒
V (0, 0, z) =
1
4λ0 R
√
4πǫ0 z 2 + R2
(2)
(c) Como o anel possui simetria de reflexão com relação aos plano XZ e Y Z, concluı́mos respectivamente que as
componentes Ex e Ey são nulas, restando então apenas a componente Ez . Podemos então aproveitar a expressão
para o potencial, obtida no ı́tem anterior, para calcular o campo elétrico no eixo Z, a saber
~ ) = Ez (0, 0, z)ẑ = −∇V |z = − dEz ẑ.
E(P
(3)
dz z
e portanto a densidade superficial de carga na superfı́cie interna é dada por
σa =
(4)
zẑ
~ ) = 4λ0 R
E(P
4πǫ0 (z 2 + R2 )3/2
(5)
4λ0 R d
4λ0 R
1
z
dEz
√
,
=
ẑ = −
dz
4πǫ0 dz
4πǫ0 (z 2 + R2 )3/2
z 2 + R2
temos
(d) Podemos resolver esse problema nos valendo da conservação da energia mecânica da partı́cula, que, nesse caso,
é a soma da energia potencial elétrica e a energia cinética. Se queremos que ela pare em z = 0, sua energia nesse
ponto será
4eλ0
mp v 2
=
Epart = Epot + Ecin = eV (z = 0) +
,
(6)
2
| {z } 4πǫ0
σb =
=0
donde obtemos o módulo da velocidade crı́tica
v=
s
8eλ0
4πǫ0 mp
(8)
Q(rb )
λ0 h
λ0
=
=
2πrb h
2πrb h
2πrb
~ r) = E(r)r̂ ,
E(~
s
~v = −
8eλ0
ẑ
4πǫ0 mp
(9)
2. Resolução:
(a) A carga Qh contida num segmento de altura h é dada por
Qh =
Z
z+h
z
dz ′ λ0 = λ0 [(z + h) − z] = λ0 h .
Agora, sabemos que no interior do condutor (região II) o campo deve ser zero, e portanto seu fluxo através de
qualquer superfı́cie também se anula. Traçando então uma superfı́cie gaussiana cilı́ndrica de raio r (ra < r < rb )
e altura h, coaxial ao fio, e usando a lei de Gauss, vemos que a única maneira de anularmos o fluxo é anulando a
carga interna, donde
Q(ra ) = −λ0 h ,
(11)
2
(14)
=1
ou seja
~I =
E
λ0
r̂ .
2πǫ0 r
(16)
~ II = ~0). Finalmente, na região III
A região II, por ser interior a um condutor, tem campo eletrico nulo (ou seja E
temos a mesma carga lı́quida interna que na região I, portanto
I
~ = E(2πrh) = λ0 h ⇒ E
~ III = λ0 r̂
~ · dA
(17)
E
ǫ
2πǫ0 r
0
S
(c) O potencial elétrostático pode ser obtido integrando-se o campo elétrico numa linha radial. Temos
Z r
Z r
~′=−
~ ′ · dr
V (r) = −
E
E(r ′ )dr ′
(18)
rb
onde já estamos usando o fato de que V (rb ) = 0. Temos então, na região III (r > rb )
Z r
Z r
r λ0
λ0
λ0
λ0
r
1
b
VIII (r) = −
=−
=−
=
log
log
2πǫ0 rb r
2πǫ0
rb
2πǫ0
r
rb 2πǫ0 r
(19)
Na região II temos simplesmente VII = 0, pois toda a região condutora é uma equipotencial, e na região I (r < ra )
temos a mesma forma funcional do que na região III
Z ra
Z r
Z r
r λ0
λ0
a
VI (r) = −
EI · dr = −
EII ·dr −
dr =
log
.
(20)
|{z}
2πǫ0
r
ra
r
ra 2πǫ0 r
b
(10)
(13)
e então, traçando gaussianas cilı́ndricas e coaxiais ao fio, de altura h, e usando a lei de Gauss, temos na regiao I
I
I
λ0
λ0 h
~ =
~ · dA
(15)
⇒ E=
E
E (r̂ · r̂) dA = E(2πrh) =
|
{z
}
ǫ
2πǫ
0
0r
S
S
rb
e portanto
(b) Podemos encontrar o campo elétrico nos valendo das simetrias do problema e da lei de Gauss. Pelas simetrias
cilı́ndrica, de reflexão sobre um plano perpendicular ao fio, e de reflexão sobre um plano que contenha o fio, podemos
concluir que o campo aponta na direção radial (cilı́ndrica) e que ele só depende da coordenada radial, ou seja
=0
onde utilizamos o reusltado do ı́tem b). Como Epart se conserva, podemos igualá-la à energia de partida da partı́cula
no infinito
mp v 2
4eλ0
,
(7)
Epart =
= eV (z → ∞) +
{z
}
|
4πǫ0
2
(12)
Como a casca é neutra, temos Q(rb ) = −Q(ra ), donde
Como
λ0 h
λ0
Q(ra )
=−
=−
2πra h
2πra h
2πra
=0
lembrando apenas que, como r < ra < rb nesse caso, temos um potencial positivo, enquanto na regiao III tı́nhamos
um potencial negativo.
(d) Como os pontos Pi e Pf estão à mesma distância r0 do fio, isso os coloca na mesma superfı́cie equipotencial, e
portanto a d.d.p entre eles é zero.
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/2 – Primeira Prova: 14/12/2015
Versão: C
~,
F~e = q E
Formulário
I
1
q
~ ·dA
~ = Qint ,
~
,
onde k0 =
E
E = k0 2 r̂
r
4πǫ0
ǫ0
S
U = k0
qq ′
,
r
~ =E
~ 0 /K ,
E
C = Q/V ,
U=
~ = −∇V
~ ,
E
ǫ0
2
Z
3. Qual das seguintes afirmativas é falsa?
V = k0
q
r
(a)
No processo de carregamento de um capacitor,
cria-se um campo elétrico entre suas placas.
(b)
O trabalho necessário para carregar um capacitor pode ser pensado como sendo o trabalho
necessário para criar um campo elétrico entre
suas placas.
(c)
A densidade de energia no espaço entre as placas de um capacitor é diretamente proporcional ao módulo do campo elétrico.
d3 rE 2
(d)
(e)
Seção 1.
Múltipla escolha (7×0,6 = 4,2 pontos)
1. Uma esfera condutora maciça de raio a possui carga
Q. Concêntrica a ela, existe uma casca esférica espessa condutora e descarregada, de raio interno b e
raio externo c, onde c > b > a. Em certo instante,
conectamos a esfera e a casca esférica por um fio condutor. Quando as cargas atingem o equilibrio:
(a)
(b)
(c)
2. Duas partı́culas puntiformes, de cargas Q e q (Q 6= q),
separadas pela distância d produzem um potencial
V (P ) = 0 no ponto P . Sabendo-se que a energia potencial associada a essas duas cargas se anula quando
elas estão infinitamente afastadas, conclui-se que:
A superfı́cie interna da esfera oca tem carga
−Q e a esfera maciça tem carga +Q.
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga +Q.
A superfı́cie interna da esfera oca tem carga 0
e a esfera maciça tem carga +Q.
(d)
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga 0.
(e)
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga −Q.
(c)
(d)
(e)
Nenhuma das afirmativas anteriores é falsa.
(a)
O campo elétrico sempre aponta na direção r̂.
(b)
O campo elétrico só depende da coordenada z.
(b)
Q e q devem ter o mesmo sinal.
(c)
(c)
O campo elétrico deve ser zero em P .
A direção do campo elétrico independe da coordenada ϕ
(d)
O trabalho das forças elétricas para trazer as
duas partı́culas do infinito à distância d uma
da outra é zero.
(d)
O módulo do campo elétrico independe da coordenada r.
(e)
A direção do campo elétrico independe da coordenada r.
(f)
O módulo do campo elétrico independe da coordenada ϕ.
5. Um capacitor carregado tem um campo elétrico de
módulo E0 e uma diferença de potencial V0 entre suas
placas. Sem conectar nenhuma fonte de fem, inserimos um material dielétrico (κ > 1) entre as placas
produzindo um campo elétrico de módulo Ed e uma
diferença de potencial Vd através do capacitor. Que
afirmativa melhor representa as relações entre os campos elétricos e as diferenças de potencial?
1
(a)
Ed > E0 ; Vd > V0
(b)
Ed = E0 ; Vd < V0
(c)
Ed < E0 ; Vd = V0
(d)
Ed < E0 ; Vd > V0
(e)
Ed < E0 ; Vd < V0
(f)
Ed = E0 ; Vd = V0
WA→B =
eQ
4πǫ0
WA→B =
eQ
− 4πǫ
0
WA→B =
eQ
4πǫ0
yB .
yB .
(yB − xA ).
7. Considere os três objetos, I, II e III, mostrados
na figura, na presença do campo eletrostático gerado
pela carga pontual positiva. Todas as linhas orientadas (“com setinhas”) mostradas são linhas de campo
elétrico. Qual a única afirmação verdadeira?
4. Considere um disco de raio R, com densidade superficial de carga uniforme σ. Seja ainda (r, ϕ, z) o sistema
de coodenadas cilı́ndricas usual, e r̂, ϕ̂, ẑ os vetores
unitários correspondentes. Sabendo-se que a origem
desse sistema está no centro do disco e o eixo z é o
eixo de simetria, qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
Nenhuma força atua em uma carga de teste
colocada no ponto P .
O trabalho das forças elétricas necessário para
trazer uma carga do infinito para o ponto P é
zero.
xA +yB
A diferença de potencial entre as placas de
um capacitor é diretamente proporcional ao
módulo do campo elétrico.
(a)
(e)
6. Uma partı́cula puntiforme de carga Q encontra-se
fixa na origem O = (0, 0, 0), e um próton de carga
e se encontra no ponto A = (xA , 0, 0). Qual o
trabalho WA→B , de um agente externo, necessário
para levar esse próton do ponto A até o ponto B =
(xA , yB , 0)?.
eQ
1
1
√
.
(a) WA→B = 4πǫ0 xA −
2
x2A +yB
eQ
1
1
√
(b) WA→B = − 4πǫ
.
−
2
2
xA
0
2
(a)
I é um condutor e VD = VE
(b)
I é um condutor e VD 6= VE
(c)
II é um condutor e VA = VB
(d)
II é um condutor e VA > VB
(e)
III é um condutor e VC = 0
(f)
III é um condutor e VA = VB = VC = VD =
VE
Seção 2. Questões discursivas (5,8 pontos)
1. [2,8 pontos] Um anel circular de raio R está carregado com uma densidade de carga positiva e não uniforme,
λ(θ) = λ0 |senθ|, onde λ0 > 0. Determine:
(a) a carga total no anel. [0,6 ponto]
(b) o potencial eletrostático, V (z), num ponto P do eixo de simetria do anel, localizado a uma distância z do seu
centro (sabendo-se que V = 0 no infinito). [0,8 ponto]
~
(c) a expressão do campo elétrico, E(z),
no ponto P , a partir de V (z). [0,8 ponto]
(d) a d.d.p. entre os pontos Pi e Pf assinalados na figura (justifique sua resposta) [0,6 ponto]
(d) o módulo da velocidade inicial, ~v∞ , que um próton, de massa mp e carga +e, deve ter, em z → ∞, para que
este chegue ao repouso no centro do anel, em z = 0. [0,6 ponto]
2. [3,0 pontos] Um fio retilı́neo e infinito, carregado com uma densidade linear positiva e uniforme, λ0 , é colocado no
interior de uma casca cilı́ndrica espessa, também infinita, condutora e neutra, de raios interno, ra e externo, rb .
Determine:
(a) a carga Qh contida num segmento de altura h do fio, e as densidades superficiais de carga, σa e σb , induzidas
nas superfı́cies interna e externa do cilindro, respectivamente. [0,6 ponto]
~ r), nas regiões I (r < ra ), II (ra < r < rb ) e III (rb < r). [1,0 ponto]
(b) o campo elétrico, E(~
~ r), colocando o zero do potencial na
(c) o potencial eletrostático, V (r), em todas as três regiões, a partir de E(~
superfı́cie mais externa do cilindro, de raio rb . [0,8 ponto]
3
4
(c) Como o anel possui simetria de reflexão com relação aos plano XZ e Y Z, concluı́mos respectivamente que as
componentes Ex e Ey são nulas, restando então apenas a componente Ez . Podemos então aproveitar a expressão
para o potencial, obtida no ı́tem anterior, para calcular o campo elétrico no eixo Z, a saber
~ ) = Ez (0, 0, z)ẑ = −∇V |z = − dEz ẑ.
E(P
(3)
dz z
Gabarito para Versão C
Seção 1.
Múltipla escolha (7×0,6 = 4,2 pontos)
1. (d)
5. (e)
2. (e)
Como
6. (b)
3. (c)
4. (f)
4λ0 R d
4λ0 R
1
z
dEz
√
,
=
ẑ = −
dz
4πǫ0 dz
4πǫ0 (z 2 + R2 )3/2
z 2 + R2
7. (c)
(4)
temos
Seção 2. Questões discursivas (5,8 pontos)
zẑ
~ ) = 4λ0 R
E(P
4πǫ0 (z 2 + R2 )3/2
1. Resolução:
(5)
(a) Para uma distribuição linear (ou curvilı́nea), unidimensional, um elemento seu infinitesimal, de comprimento
dℓ, possuirá uma carga infinitesimal
dq = λ dℓ .
Como, na situação em pauta,
λ = λ0 |senθ|
=0
e
onde utilizamos o reusltado do ı́tem b). Como Epart se conserva, podemos igualá-la à energia de partida da partı́cula
no infinito
mp v 2
4eλ0
,
(7)
Epart =
= eV (z → ∞) +
{z
}
|
4πǫ0
2
dℓ = R dθ > 0 ,
temos, pois,
dq = λ0 R| sin θ| dθ .
A carga total será, portanto,
Z
Z 2π
dθ|senθ| = λ0 R
Q = λ0 R
0
(d) Podemos resolver esse problema nos valendo da conservação da energia mecânica da partı́cula, que, nesse caso,
é a soma da energia potencial elétrica e a energia cinética. Se queremos que ela pare em z = 0, sua energia nesse
ponto será
4eλ0
mp v 2
=
Epart = Epot + Ecin = eV (z = 0) +
,
(6)
2
| {z } 4πǫ0
=0
donde obtemos o módulo da velocidade crı́tica
π
dθ senθ + λ0 R
0
Z
2π
dθ[−senθ]
π
= λ0 R − cos θ|π0 + cos θ|2π
π
⇒
Q = 4λ0 R
v=
(1)
e portanto
s
(b) Resolveremos este item pelo princı́pio de superposição para o potencial elétrico. Um elemento infinitesimal do
anel, com carga infinitesimal dq, cria, em um ponto P do eixo Z, com cota z, o seguinte potencial infinitesimal:
dq
dV = k0 ,
r
1
⇒
(8)
8eλ0
ẑ
4πǫ0 mp
(9)
(a) A carga Qh contida num segmento de altura h é dada por
Qh =
Como todos os pontos do anel estão a mesma distância de P, o potencial resultante será:
1
Q
√
4πǫ0 z 2 + R2
~v = −
8eλ0
4πǫ0 mp
2. Resolução:
onde r é a distância do elemento até o ponto P, ou seja,
√
r = z 2 + R2 .
V (x = 0, y = 0, z) =
s
V (0, 0, z) =
1
4λ0 R
√
4πǫ0 z 2 + R2
(2)
Z
z+h
z
dz ′ λ0 = λ0 [(z + h) − z] = λ0 h .
(10)
Agora, sabemos que no interior do condutor (região II) o campo deve ser zero, e portanto seu fluxo através de
qualquer superfı́cie também se anula. Traçando então uma superfı́cie gaussiana cilı́ndrica de raio r (ra < r < rb )
e altura h, coaxial ao fio, e usando a lei de Gauss, vemos que a única maneira de anularmos o fluxo é anulando a
carga interna, donde
Q(ra ) = −λ0 h ,
(11)
2
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2015/2 – Primeira Prova: 14/12/2015
Versão: D
e portanto a densidade superficial de carga na superfı́cie interna é dada por
σa =
λ0 h
λ0
Q(ra )
=−
=−
2πra h
2πra h
2πra
(12)
Como a casca é neutra, temos Q(rb ) = −Q(ra ), donde
σb =
Q(rb )
λ0 h
λ0
=
=
2πrb h
2πrb h
2πrb
(13)
~,
F~e = q E
(b) Podemos encontrar o campo elétrico nos valendo das simetrias do problema e da lei de Gauss. Pelas simetrias
cilı́ndrica, de reflexão sobre um plano perpendicular ao fio, e de reflexão sobre um plano que contenha o fio, podemos
concluir que o campo aponta na direção radial (cilı́ndrica) e que ele só depende da coordenada radial, ou seja
~ r) = E(r)r̂ ,
E(~
=1
~I =
E
λ0
r̂ .
2πǫ0 r
(16)
~ II = ~0). Finalmente, na região III
A região II, por ser interior a um condutor, tem campo eletrico nulo (ou seja E
temos a mesma carga lı́quida interna que na região I, portanto
I
~ = E(2πrh) = λ0 h ⇒ E
~ III = λ0 r̂
~ · dA
(17)
E
ǫ
2πǫ0 r
0
S
(c) O potencial elétrostático pode ser obtido integrando-se o campo elétrico numa linha radial. Temos
Z r
Z r
~′=−
~ ′ · dr
V (r) = −
E
E(r ′ )dr ′
rb
U = k0
qq ′
,
r
~ =E
~ 0 /K ,
E
C = Q/V ,
Seção 1.
Z
q
r
d3 rE 2
(a)
O campo elétrico sempre aponta na direção r̂.
(b)
O campo elétrico só depende da coordenada z.
(a)
Ed > E0 ; Vd > V0
A direção do campo elétrico independe da coordenada ϕ
(b)
Ed = E0 ; Vd < V0
(c)
Ed < E0 ; Vd = V0
(d)
O módulo do campo elétrico independe da coordenada r.
(d)
Ed < E0 ; Vd > V0
(e)
Ed < E0 ; Vd < V0
(e)
A direção do campo elétrico independe da coordenada r.
(f)
Ed = E0 ; Vd = V0
(f)
O módulo do campo elétrico independe da coordenada ϕ.
(c)
(18)
(19)
2. Um capacitor carregado tem um campo elétrico de
módulo E0 e uma diferença de potencial V0 entre suas
placas. Sem conectar nenhuma fonte de fem, inserimos um material dielétrico (κ > 1) entre as placas
produzindo um campo elétrico de módulo Ed e uma
diferença de potencial Vd através do capacitor. Que
afirmativa melhor representa as relações entre os campos elétricos e as diferenças de potencial?
Na região II temos simplesmente VII = 0, pois toda a região condutora é uma equipotencial, e na região I (r < ra )
temos a mesma forma funcional do que na região III
Z ra
Z r
Z r
r λ0
λ0
a
VI (r) = −
EI · dr = −
EII ·dr −
dr =
log
.
(20)
|{z}
2πǫ0
r
ra
r
ra 2πǫ0 r
=0
lembrando apenas que, como r < ra < rb nesse caso, temos um potencial positivo, enquanto na regiao III tı́nhamos
um potencial negativo.
(d) Como os pontos Pi e Pf estão à mesma distância r0 do fio, isso os coloca na mesma superfı́cie equipotencial, e
portanto a d.d.p entre eles é zero.
3
ǫ0
2
V = k0
Múltipla escolha (7×0,6 = 4,2 pontos)
1. Considere um disco de raio R, com densidade superficial de carga uniforme σ. Seja ainda (r, ϕ, z) o sistema
de coodenadas cilı́ndricas usual, e r̂, ϕ̂, ẑ os vetores
unitários correspondentes. Sabendo-se que a origem
desse sistema está no centro do disco e o eixo z é o
eixo de simetria, qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
rb
onde já estamos usando o fato de que V (rb ) = 0. Temos então, na região III (r > rb )
Z r
Z r
r λ0
λ0
λ0
λ0
r
1
b
VIII (r) = −
=−
=−
=
log
log
2πǫ0 rb r
2πǫ0
rb
2πǫ0
r
rb 2πǫ0 r
b
U=
~ = −∇V
~ ,
E
(14)
e então, traçando gaussianas cilı́ndricas e coaxiais ao fio, de altura h, e usando a lei de Gauss, temos na regiao I
I
I
λ0
λ0 h
~ =
~ · dA
(15)
⇒ E=
E
E (r̂ · r̂) dA = E(2πrh) =
|
{z
}
ǫ
2πǫ
0
0r
S
S
ou seja
Formulário
I
1
q
~ ·dA
~ = Qint ,
~
,
onde k0 =
E
E = k0 2 r̂
r
4πǫ0
ǫ0
S
1
5. Uma esfera condutora maciça de raio a possui carga
Q. Concêntrica a ela, existe uma casca esférica espessa condutora e descarregada, de raio interno b e
raio externo c, onde c > b > a. Em certo instante,
conectamos a esfera e a casca esférica por um fio condutor. Quando as cargas atingem o equilibrio:
3. Duas partı́culas puntiformes, de cargas Q e q (Q 6= q),
separadas pela distância d produzem um potencial
V (P ) = 0 no ponto P . Sabendo-se que a energia potencial associada a essas duas cargas se anula quando
elas estão infinitamente afastadas, conclui-se que:
(a)
Nenhuma força atua em uma carga de teste
colocada no ponto P .
(a)
Seção 2. Questões discursivas (5,8 pontos)
1. [2,8 pontos] Um anel circular de raio R está carregado com uma densidade de carga positiva e não uniforme,
λ(θ) = λ0 |senθ|, onde λ0 > 0. Determine:
A superfı́cie interna da esfera oca tem carga
−Q e a esfera maciça tem carga +Q.
(b)
Q e q devem ter o mesmo sinal.
(c)
O campo elétrico deve ser zero em P .
(b)
(d)
O trabalho das forças elétricas para trazer as
duas partı́culas do infinito à distância d uma
da outra é zero.
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga +Q.
(c)
A superfı́cie interna da esfera oca tem carga 0
e a esfera maciça tem carga +Q.
(e)
O trabalho das forças elétricas necessário para
trazer uma carga do infinito para o ponto P é
zero.
(d)
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga 0.
(e)
A superfı́cie externa da esfera oca tem carga
+Q e a esfera maciça tem carga −Q.
6. Qual das seguintes afirmativas é falsa?
4. Considere os três objetos, I, II e III, mostrados
na figura, na presença do campo eletrostático gerado
pela carga pontual positiva. Todas as linhas orientadas (“com setinhas”) mostradas são linhas de campo
elétrico. Qual a única afirmação verdadeira?
(a)
I é um condutor e VD = VE
(b)
I é um condutor e VD 6= VE
(c)
II é um condutor e VA = VB
(d)
II é um condutor e VA > VB
(e)
III é um condutor e VC = 0
(f)
III é um condutor e VA = VB = VC = VD =
VE
(a)
No processo de carregamento de um capacitor,
cria-se um campo elétrico entre suas placas.
(b)
O trabalho necessário para carregar um capacitor pode ser pensado como sendo o trabalho
necessário para criar um campo elétrico entre
suas placas.
(c)
A densidade de energia no espaço entre as placas de um capacitor é diretamente proporcional ao módulo do campo elétrico.
(d)
A diferença de potencial entre as placas de
um capacitor é diretamente proporcional ao
módulo do campo elétrico.
(e)
Nenhuma das afirmativas anteriores é falsa.
7. Uma partı́cula puntiforme de carga Q encontra-se
fixa na origem O = (0, 0, 0), e um próton de carga
e se encontra no ponto A = (xA , 0, 0). Qual o
trabalho WA→B , de um agente externo, necessário
para levar esse próton do ponto A até o ponto B =
(xA , yB , 0)?.
eQ
1
1
√
(a) WA→B = 4πǫ
.
−
2
xA
0
x2A +yB
eQ
1
1
√
(b) WA→B = − 4πǫ0 xA −
.
2
2
(a) a carga total no anel. [0,6 ponto]
(b) o potencial eletrostático, V (z), num ponto P do eixo de simetria do anel, localizado a uma distância z do seu
centro (sabendo-se que V = 0 no infinito). [0,8 ponto]
~
(c) a expressão do campo elétrico, E(z),
no ponto P , a partir de V (z). [0,8 ponto]
(d) o módulo da velocidade inicial, ~v∞ , que um próton, de massa mp e carga +e, deve ter, em z → ∞, para que
este chegue ao repouso no centro do anel, em z = 0. [0,6 ponto]
2. [3,0 pontos] Um fio retilı́neo e infinito, carregado com uma densidade linear positiva e uniforme, λ0 , é colocado no
interior de uma casca cilı́ndrica espessa, também infinita, condutora e neutra, de raios interno, ra e externo, rb .
Determine:
xA +yB
2
eQ
4πǫ0
yB .
(c)
WA→B =
(d)
eQ
yB .
WA→B = − 4πǫ
0
(e)
WA→B =
eQ
4πǫ0
(yB − xA ).
(a) a carga Qh contida num segmento de altura h do fio, e as densidades superficiais de carga, σa e σb , induzidas
nas superfı́cies interna e externa do cilindro, respectivamente. [0,6 ponto]
~ r), nas regiões I (r < ra ), II (ra < r < rb ) e III (rb < r). [1,0 ponto]
(b) o campo elétrico, E(~
~ r), colocando o zero do potencial na
(c) o potencial eletrostático, V (r), em todas as três regiões, a partir de E(~
superfı́cie mais externa do cilindro, de raio rb . [0,8 ponto]
3
Gabarito para Versão D
Seção 1.
Múltipla escolha (7×0,6 = 4,2 pontos)
1. (f)
5. (d)
2. (e)
6. (c)
3. (e)
4. (c)
7. (b)
Seção 2. Questões discursivas (5,8 pontos)
1. Resolução:
(a) Para uma distribuição linear (ou curvilı́nea), unidimensional, um elemento seu infinitesimal, de comprimento
dℓ, possuirá uma carga infinitesimal
dq = λ dℓ .
Como, na situação em pauta,
λ = λ0 |senθ|
e
dℓ = R dθ > 0 ,
temos, pois,
(d) a d.d.p. entre os pontos Pi e Pf assinalados na figura (justifique sua resposta) [0,6 ponto]
dq = λ0 R| sin θ| dθ .
A carga total será, portanto,
Z
Z 2π
dθ|senθ| = λ0 R
Q = λ0 R
0
π
dθ senθ + λ0 R
0
Z
2π
dθ[−senθ]
π
= λ0 R − cos θ|π0 + cos θ|2π
π
⇒
Q = 4λ0 R
(1)
(b) Resolveremos este item pelo princı́pio de superposição para o potencial elétrico. Um elemento infinitesimal do
anel, com carga infinitesimal dq, cria, em um ponto P do eixo Z, com cota z, o seguinte potencial infinitesimal:
dV = k0
dq
,
r
onde r é a distância do elemento até o ponto P, ou seja,
√
r = z 2 + R2 .
Como todos os pontos do anel estão a mesma distância de P, o potencial resultante será:
V (x = 0, y = 0, z) =
1
Q
√
4πǫ0 z 2 + R2
4
1
⇒
V (0, 0, z) =
1
4λ0 R
√
4πǫ0 z 2 + R2
(2)
(c) Como o anel possui simetria de reflexão com relação aos plano XZ e Y Z, concluı́mos respectivamente que as
componentes Ex e Ey são nulas, restando então apenas a componente Ez . Podemos então aproveitar a expressão
para o potencial, obtida no ı́tem anterior, para calcular o campo elétrico no eixo Z, a saber
~ ) = Ez (0, 0, z)ẑ = −∇V |z = − dEz ẑ.
E(P
(3)
dz z
e portanto a densidade superficial de carga na superfı́cie interna é dada por
σa =
(4)
zẑ
~ ) = 4λ0 R
E(P
4πǫ0 (z 2 + R2 )3/2
(5)
4λ0 R d
4λ0 R
1
z
dEz
√
,
=
ẑ = −
dz
4πǫ0 dz
4πǫ0 (z 2 + R2 )3/2
z 2 + R2
temos
(d) Podemos resolver esse problema nos valendo da conservação da energia mecânica da partı́cula, que, nesse caso,
é a soma da energia potencial elétrica e a energia cinética. Se queremos que ela pare em z = 0, sua energia nesse
ponto será
4eλ0
mp v 2
=
Epart = Epot + Ecin = eV (z = 0) +
,
(6)
2
| {z } 4πǫ0
σb =
=0
donde obtemos o módulo da velocidade crı́tica
v=
s
8eλ0
4πǫ0 mp
(8)
Q(rb )
λ0 h
λ0
=
=
2πrb h
2πrb h
2πrb
~ r) = E(r)r̂ ,
E(~
s
~v = −
8eλ0
ẑ
4πǫ0 mp
(9)
2. Resolução:
(a) A carga Qh contida num segmento de altura h é dada por
Qh =
Z
z+h
z
dz ′ λ0 = λ0 [(z + h) − z] = λ0 h .
Agora, sabemos que no interior do condutor (região II) o campo deve ser zero, e portanto seu fluxo através de
qualquer superfı́cie também se anula. Traçando então uma superfı́cie gaussiana cilı́ndrica de raio r (ra < r < rb )
e altura h, coaxial ao fio, e usando a lei de Gauss, vemos que a única maneira de anularmos o fluxo é anulando a
carga interna, donde
Q(ra ) = −λ0 h ,
(11)
2
(14)
=1
ou seja
~I =
E
λ0
r̂ .
2πǫ0 r
(16)
~ II = ~0). Finalmente, na região III
A região II, por ser interior a um condutor, tem campo eletrico nulo (ou seja E
temos a mesma carga lı́quida interna que na região I, portanto
I
~ = E(2πrh) = λ0 h ⇒ E
~ III = λ0 r̂
~ · dA
(17)
E
ǫ
2πǫ0 r
0
S
(c) O potencial elétrostático pode ser obtido integrando-se o campo elétrico numa linha radial. Temos
Z r
Z r
~′=−
~ ′ · dr
V (r) = −
E
E(r ′ )dr ′
(18)
rb
onde já estamos usando o fato de que V (rb ) = 0. Temos então, na região III (r > rb )
Z r
Z r
r λ0
λ0
λ0
λ0
r
1
b
VIII (r) = −
=−
=−
=
log
log
2πǫ0 rb r
2πǫ0
rb
2πǫ0
r
rb 2πǫ0 r
(19)
Na região II temos simplesmente VII = 0, pois toda a região condutora é uma equipotencial, e na região I (r < ra )
temos a mesma forma funcional do que na região III
Z ra
Z r
Z r
r λ0
λ0
a
VI (r) = −
EI · dr = −
EII ·dr −
dr =
log
.
(20)
|{z}
2πǫ0
r
ra
r
ra 2πǫ0 r
b
(10)
(13)
e então, traçando gaussianas cilı́ndricas e coaxiais ao fio, de altura h, e usando a lei de Gauss, temos na regiao I
I
I
λ0
λ0 h
~ =
~ · dA
(15)
⇒ E=
E
E (r̂ · r̂) dA = E(2πrh) =
|
{z
}
ǫ
2πǫ
0
0r
S
S
rb
e portanto
(b) Podemos encontrar o campo elétrico nos valendo das simetrias do problema e da lei de Gauss. Pelas simetrias
cilı́ndrica, de reflexão sobre um plano perpendicular ao fio, e de reflexão sobre um plano que contenha o fio, podemos
concluir que o campo aponta na direção radial (cilı́ndrica) e que ele só depende da coordenada radial, ou seja
=0
onde utilizamos o reusltado do ı́tem b). Como Epart se conserva, podemos igualá-la à energia de partida da partı́cula
no infinito
mp v 2
4eλ0
,
(7)
Epart =
= eV (z → ∞) +
{z
}
|
4πǫ0
2
(12)
Como a casca é neutra, temos Q(rb ) = −Q(ra ), donde
Como
λ0 h
λ0
Q(ra )
=−
=−
2πra h
2πra h
2πra
=0
lembrando apenas que, como r < ra < rb nesse caso, temos um potencial positivo, enquanto na regiao III tı́nhamos
um potencial negativo.
(d) Como os pontos Pi e Pf estão à mesma distância r0 do fio, isso os coloca na mesma superfı́cie equipotencial, e
portanto a d.d.p entre eles é zero.
3