FUV – Derivadas - Definição de Derivada. Regras de Derivação

FUV – Derivadas
Definição de Derivada. Regras de Derivação
Rodrigo Hausen
v. 2015-2-24
1/14
De volta à velocidade instantânea
Problema 1 (problema da velocidade instantânea)
Seja s(t) a posição, dependendo da variável tempo t, de um
corpo móvel sobre um eixo.
A velocidade média de um móvel entre dois instantes t0 e t1 é
variação na posição ∆s s(t1 ) − s(t0 )
=
=
variação no tempo ∆t
t1 − t0
Interpretação geométrica na lousa.
Podemos calcular a velocidade instantânea em t0 ? (ela existe?
como calculá-la?)
v. 2015-2-24
2/14
Velocidade instantânea
Seja s(t) a posição de um móvel no instante t.
Definição. A velocidade média no intervalo de t até t0 é definida
por
variação na posição ∆s s(t) − s(t0 )
=
=
variação no tempo ∆t
t − t0
Isto coresponde à inclinação da reta secante ao gráfico, por
(t, s(t)) e (t0 , s(t0 )).
v. 2015-2-24
3/14
Velocidade instantânea
Seja s(t) a posição de um móvel no instante t.
Definição. A velocidade média no intervalo de t até t0 é definida
por
variação na posição ∆s s(t) − s(t0 )
=
=
variação no tempo ∆t
t − t0
Isto coresponde à inclinação da reta secante ao gráfico, por
(t, s(t)) e (t0 , s(t0 )).
Definição. A velocidade instantânea no instante t0 é definida por
v (t0 ) = lim
t→t0
v. 2015-2-24
s(t) − s(t0 )
t − t0
3/14
Velocidade instantânea
Seja s(t) a posição de um móvel no instante t.
Definição. A velocidade média no intervalo de t até t0 é definida
por
variação na posição ∆s s(t) − s(t0 )
=
=
variação no tempo ∆t
t − t0
Isto coresponde à inclinação da reta secante ao gráfico, por
(t, s(t)) e (t0 , s(t0 )).
Definição. A velocidade instantânea no instante t0 é definida por
v (t0 ) = lim
t→t0
s(t) − s(t0 )
t − t0
Chamaremos o valor v (t0 ) de inclinação da reta tangente ao
gráfico de s no ponto (t0 , s(t0 )).
v. 2015-2-24
3/14
posição
Velocidade instantânea
gráfico de s
s(t0)
s(t)
t0
v. 2015-2-24
t
tempo
4/14
posição
Velocidade instantânea
gráfico de s
s(t0)
s(t)
t0
v. 2015-2-24
t
tempo
4/14
posição
Velocidade instantânea
gráfico de s
s(t0)
s(t)
t0
v. 2015-2-24
t
tempo
4/14
posição
Velocidade instantânea
gráfico de s
s(t0)
s(t)
t0 t
v. 2015-2-24
tempo
4/14
posição
Velocidade instantânea
gráfico de s
s(t0)
s(t)
t0 t
v. 2015-2-24
tempo
4/14
posição
Velocidade instantânea
gráfico de s
s(t0)
t0
tempo
velocidade instantânea = inclinação reta tangente
v. 2015-2-24
4/14
Derivada
Definição. Dada uma função real f , a derivada de f em a,
denotada f ′ (a), é o limite
f ′ (a) = lim
x →a
f (x ) − f (a)
,
x −a
desde que o limite exista.
Note que a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(a, f (a)) é justamente o valor f ′ (a).
v. 2015-2-24
5/14
Derivada
Definição. Dada uma função real f , a derivada de f em a,
denotada f ′ (a), é o limite
f ′ (a) = lim
x →a
f (x ) − f (a)
,
x −a
desde que o limite exista.
Note que a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(a, f (a)) é justamente o valor f ′ (a).
Exemplo 1. Encontre a inclinação e a equação da reta tangente à
parábola y = x 2 no ponto (1, 1).
Solução na lousa.
v. 2015-2-24
5/14
Derivada
Definição. Dada uma função real f , a derivada de f em a,
denotada f ′ (a), é o limite
f ′ (a) = lim
x →a
f (x ) − f (a)
,
x −a
desde que o limite exista.
Note que a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(a, f (a)) é justamente o valor f ′ (a).
Exemplo 1. Encontre a inclinação e a equação da reta tangente à
parábola y = x 2 no ponto (1, 1).
Solução na lousa.
v. 2015-2-24
(reta tangente: y = 2x − 1)
5/14
Interpretações da derivada
f (x ) − f (a)
x →a
x −a
Derivada de f em a: f ′ (a) = lim
A definição de derivada equivale à:
inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a))
v. 2015-2-24
6/14
Interpretações da derivada
f (x ) − f (a)
x →a
x −a
Derivada de f em a: f ′ (a) = lim
A definição de derivada equivale à:
inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a))
velocidade instantânea v (a)
v. 2015-2-24
6/14
Interpretações da derivada
f (x ) − f (a)
x →a
x −a
Derivada de f em a: f ′ (a) = lim
A definição de derivada equivale à:
inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a))
velocidade instantânea v (a)
taxa de variação instantânea:
∆f
, onde ∆f = f (a + ∆a) − f (a)
∆a→0 ∆a
lim
v. 2015-2-24
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Derivada como função
Derivada de f em a:
∆f
f (a + ∆a) − f (a)
= lim
∆a→0 ∆a
∆a→0
∆a
f ′ (a) = lim
Para todo a onde o limite acima está definido, f ′ (a) assume um
valor real.
v. 2015-2-24
7/14
Derivada como função
Derivada de f em a:
∆f
f (a + ∆a) − f (a)
= lim
∆a→0 ∆a
∆a→0
∆a
f ′ (a) = lim
Para todo a onde o limite acima está definido, f ′ (a) assume um
valor real. Ou seja, f ′ também pode ser vista como uma função
real, a função derivada de f .
v. 2015-2-24
7/14
Derivada como função
Derivada de f em a:
∆f
f (a + ∆a) − f (a)
= lim
∆a→0 ∆a
∆a→0
∆a
f ′ (a) = lim
Para todo a onde o limite acima está definido, f ′ (a) assume um
valor real. Ou seja, f ′ também pode ser vista como uma função
real, a função derivada de f .
Definição. Dada uma função real f , a função derivada f ′ é
definida como
f (x + ∆x ) − f (x )
,
∆x →0
∆x
f ′ (x ) = lim
para todo x onde o limite acima for um número real.
v. 2015-2-24
7/14
Derivada como função
Exemplo 2. Seja f (x ) =
domínio de f ′ .
v. 2015-2-24
√
x − 1. Encontre a derivada f ′ e o
8/14
Derivada como função
√
Exemplo 2. Seja f (x ) = x − 1. Encontre a derivada f ′ e o
domínio de f ′ .
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
′
f (x ) = lim
∆x →0
∆x
v. 2015-2-24
8/14
Derivada como função
√
Exemplo 2. Seja f (x ) = x − 1. Encontre a derivada f ′ e o
domínio de f ′ .
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
′
f (x ) = lim
∆x →0
∆x
√
√
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
x + ∆x − 1 + x − 1
⋅√
= lim
√
∆x →0
∆x
x + ∆x − 1 + x − 1
v. 2015-2-24
8/14
Derivada como função
√
Exemplo 2. Seja f (x ) = x − 1. Encontre a derivada f ′ e o
domínio de f ′ .
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
′
f (x ) = lim
∆x →0
∆x
√
√
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
x + ∆x − 1 + x − 1
⋅√
= lim
√
∆x →0
∆x
x + ∆x − 1 + x − 1
(x + ∆x − 1) − (x − 1)
√
= lim
√
∆x →0 ∆x ( x + ∆x − 1 + x − 1)
v. 2015-2-24
8/14
Derivada como função
√
Exemplo 2. Seja f (x ) = x − 1. Encontre a derivada f ′ e o
domínio de f ′ .
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
′
f (x ) = lim
∆x →0
∆x
√
√
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
x + ∆x − 1 + x − 1
⋅√
= lim
√
∆x →0
∆x
x + ∆x − 1 + x − 1
(x + ∆x − 1) − (x − 1)
√
= lim
√
∆x →0 ∆x ( x + ∆x − 1 + x − 1)
∆x
√
= lim
√
∆x →0 ∆x ( x + ∆x − 1 + x − 1)
v. 2015-2-24
8/14
Derivada como função
√
Exemplo 2. Seja f (x ) = x − 1. Encontre a derivada f ′ e o
domínio de f ′ .
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
′
f (x ) = lim
∆x →0
∆x
√
√
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
x + ∆x − 1 + x − 1
⋅√
= lim
√
∆x →0
∆x
x + ∆x − 1 + x − 1
(x + ∆x − 1) − (x − 1)
√
= lim
√
∆x →0 ∆x ( x + ∆x − 1 + x − 1)
∆x
√
= lim
√
∆x →0 ∆x ( x + ∆x − 1 + x − 1)
=
v. 2015-2-24
1
1
√
= √
√
∆x →0 ( x + ∆x − 1 + x − 1)
2 x −1
lim
8/14
Derivada como função
√
Exemplo 2. Seja f (x ) = x − 1. Encontre a derivada f ′ e o
domínio de f ′ .
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
′
f (x ) = lim
∆x →0
∆x
√
√
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
x + ∆x − 1 + x − 1
⋅√
= lim
√
∆x →0
∆x
x + ∆x − 1 + x − 1
(x + ∆x − 1) − (x − 1)
√
= lim
√
∆x →0 ∆x ( x + ∆x − 1 + x − 1)
∆x
√
= lim
√
∆x →0 ∆x ( x + ∆x − 1 + x − 1)
=
1
1
√
= √
√
∆x →0 ( x + ∆x − 1 + x − 1)
2 x −1
lim
Dom f ′ = {x ∈ R ∣ x − 1 > 0} = (1, +∞)
v. 2015-2-24
8/14
Derivada como função
√
Exemplo 2. Seja f (x ) = x − 1. Encontre a derivada f ′ e o
domínio de f ′ .
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
′
f (x ) = lim
∆x →0
∆x
√
√
√
√
x + ∆x − 1 − x − 1
x + ∆x − 1 + x − 1
⋅√
= lim
√
∆x →0
∆x
x + ∆x − 1 + x − 1
(x + ∆x − 1) − (x − 1)
√
= lim
√
∆x →0 ∆x ( x + ∆x − 1 + x − 1)
∆x
√
= lim
√
∆x →0 ∆x ( x + ∆x − 1 + x − 1)
=
1
1
√
= √
√
∆x →0 ( x + ∆x − 1 + x − 1)
2 x −1
lim
Dom f ′ = {x ∈ R ∣ x − 1 > 0} = (1, +∞) ≠ Dom f = [1, +∞).
v. 2015-2-24
8/14
Domínio da função derivada
Dizemos que f é diferenciável em a se f ′ (a) existe.
(obs.: também se diz f derivável em a)
Dizemos que f é diferenciável em um conjunto M se f ′ (m)
existe para todo m ∈ M.
v. 2015-2-24
9/14
Domínio da função derivada
Dizemos que f é diferenciável em a se f ′ (a) existe.
(obs.: também se diz f derivável em a)
Dizemos que f é diferenciável em um conjunto M se f ′ (m)
existe para todo m ∈ M.
1
Do exemplo anterior, f ′ (x ) = √
, logo f é diferenciável em
2 x −1
(1, +∞).
Veja que se f ′ (x ) existe, então f (x ) existe, logo Dom f ′ ⊆ Dom f .
v. 2015-2-24
9/14
Domínio da função derivada
Dizemos que f é diferenciável em a se f ′ (a) existe.
(obs.: também se diz f derivável em a)
Dizemos que f é diferenciável em um conjunto M se f ′ (m)
existe para todo m ∈ M.
1
Do exemplo anterior, f ′ (x ) = √
, logo f é diferenciável em
2 x −1
(1, +∞).
Veja que se f ′ (x ) existe, então f (x ) existe, logo Dom f ′ ⊆ Dom f .
Não necessariamente, se f (x ) existe, então f ′ (x ) existe!!!
v. 2015-2-24
9/14
Domínio da função derivada
Dizemos que f é diferenciável em a se f ′ (a) existe.
(obs.: também se diz f derivável em a)
Dizemos que f é diferenciável em um conjunto M se f ′ (m)
existe para todo m ∈ M.
1
Do exemplo anterior, f ′ (x ) = √
, logo f é diferenciável em
2 x −1
(1, +∞).
Veja que se f ′ (x ) existe, então f (x ) existe, logo Dom f ′ ⊆ Dom f .
Não necessariamente, se f (x ) existe, então f ′ (x ) existe!!!
√
No exemplo anterior, f (1) = 1 − 1 = 0 existe, mas f ′ (1) é
indefinido! (por quê?)
v. 2015-2-24
9/14
Diferenciabilidade e continuidade
Teorema. Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a.
Demonstração: Stewart, seção 2.9.
v. 2015-2-24
10/14
Diferenciabilidade e continuidade
Teorema. Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a.
Demonstração: Stewart, seção 2.9.
Exemplo 3. Demonstre que a função seno é contínua para todos
os reais.
v. 2015-2-24
10/14
Diferenciabilidade e continuidade
Teorema. Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a.
Demonstração: Stewart, seção 2.9.
Exemplo 3. Demonstre que a função seno é contínua para todos
os reais.
sen′ (x ) =
v. 2015-2-24
sen (x + ∆x ) − sen (x )
∆x →0
∆x
lim
10/14
Diferenciabilidade e continuidade
Teorema. Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a.
Demonstração: Stewart, seção 2.9.
Exemplo 3. Demonstre que a função seno é contínua para todos
os reais.
sen (x + ∆x ) − sen (x )
∆x →0
∆x
sen (x ) cos (∆x ) + sen (∆x ) cos (x ) − sen (x )
= lim
∆x →0
∆x
sen′ (x ) =
v. 2015-2-24
lim
10/14
Diferenciabilidade e continuidade
Teorema. Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a.
Demonstração: Stewart, seção 2.9.
Exemplo 3. Demonstre que a função seno é contínua para todos
os reais.
sen (x + ∆x ) − sen (x )
∆x →0
∆x
sen (x ) cos (∆x ) + sen (∆x ) cos (x ) − sen (x )
= lim
∆x →0
∆x
sen (x ) [1 − cos (∆x )] sen (∆x ) cos (x )
= lim (
+
)
∆x →0
∆x
∆x
sen′ (x ) =
v. 2015-2-24
lim
10/14
Diferenciabilidade e continuidade
Teorema. Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a.
Demonstração: Stewart, seção 2.9.
Exemplo 3. Demonstre que a função seno é contínua para todos
os reais.
sen (x + ∆x ) − sen (x )
∆x →0
∆x
sen (x ) cos (∆x ) + sen (∆x ) cos (x ) − sen (x )
= lim
∆x →0
∆x
sen (x ) [1 − cos (∆x )] sen (∆x ) cos (x )
= lim (
+
)
∆x →0
∆x
∆x
sen′ (x ) =
lim
= sen (x ) ⋅ 0 + 1 ⋅ cos (x )
v. 2015-2-24
10/14
Diferenciabilidade e continuidade
Teorema. Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a.
Demonstração: Stewart, seção 2.9.
Exemplo 3. Demonstre que a função seno é contínua para todos
os reais.
sen (x + ∆x ) − sen (x )
∆x →0
∆x
sen (x ) cos (∆x ) + sen (∆x ) cos (x ) − sen (x )
= lim
∆x →0
∆x
sen (x ) [1 − cos (∆x )] sen (∆x ) cos (x )
= lim (
+
)
∆x →0
∆x
∆x
sen′ (x ) =
lim
= sen (x ) ⋅ 0 + 1 ⋅ cos (x ) = cos (x )
v. 2015-2-24
10/14
Diferenciabilidade e continuidade
Teorema. Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a.
Demonstração: Stewart, seção 2.9.
Exemplo 3. Demonstre que a função seno é contínua para todos
os reais.
sen (x + ∆x ) − sen (x )
∆x →0
∆x
sen (x ) cos (∆x ) + sen (∆x ) cos (x ) − sen (x )
= lim
∆x →0
∆x
sen (x ) [1 − cos (∆x )] sen (∆x ) cos (x )
= lim (
+
)
∆x →0
∆x
∆x
sen′ (x ) =
lim
= sen (x ) ⋅ 0 + 1 ⋅ cos (x ) = cos (x )
Como Dom sen′ = Dom cos = R, ou seja, sen é diferenciável para
todo real, então sen é contínua para todo real.
v. 2015-2-24
10/14
Diferenciabilidade e continuidade
Será que vale “contínua em a ⇒ diferenciável em a”?
v. 2015-2-24
11/14
Diferenciabilidade e continuidade
Será que vale “contínua em a ⇒ diferenciável em a”? Não.
Exemplo 4. Demonstre que f (x ) = ∣x ∣ é contínua em 0 mas que
f ′ (0) não existe.
(solução na lousa)
v. 2015-2-24
11/14
Regras de derivação
Derivadas básicas. Usando a definição, demonstramos que. . .
f (x ) = c constante, então f ′ (x ) = 0.
v. 2015-2-24
12/14
Regras de derivação
Derivadas básicas. Usando a definição, demonstramos que. . .
f (x ) = c constante, então f ′ (x ) = 0.
f (x ) = x , então f ′ (x ) = 1.
v. 2015-2-24
12/14
Regras de derivação
Derivadas básicas. Usando a definição, demonstramos que. . .
f (x ) = c constante, então f ′ (x ) = 0.
f (x ) = x , então f ′ (x ) = 1.
Se n constante real e f (x ) = x n , então f ′ (x ) = nx n−1
(regra da potência, ou “regra do tombo”)
v. 2015-2-24
12/14
Regras de derivação
Derivadas básicas. Usando a definição, demonstramos que. . .
f (x ) = c constante, então f ′ (x ) = 0.
f (x ) = x , então f ′ (x ) = 1.
Se n constante real e f (x ) = x n , então f ′ (x ) = nx n−1
(regra da potência, ou “regra do tombo”)
sen′ (x ) = cos (x )
v. 2015-2-24
12/14
Regras de derivação
Derivadas básicas. Usando a definição, demonstramos que. . .
f (x ) = c constante, então f ′ (x ) = 0.
f (x ) = x , então f ′ (x ) = 1.
Se n constante real e f (x ) = x n , então f ′ (x ) = nx n−1
(regra da potência, ou “regra do tombo”)
sen′ (x ) = cos (x )
cos′ (x ) = −sen (x )
v. 2015-2-24
12/14
Regras de derivação
Derivadas básicas. Usando a definição, demonstramos que. . .
f (x ) = c constante, então f ′ (x ) = 0.
f (x ) = x , então f ′ (x ) = 1.
Se n constante real e f (x ) = x n , então f ′ (x ) = nx n−1
(regra da potência, ou “regra do tombo”)
sen′ (x ) = cos (x )
cos′ (x ) = −sen (x )
1
, calcule f ′ (x ).
x2
√
3
Exemplo 6. Dada f (x ) = x 2 , calcule f ′ (x ).
Exemplo 5. Dada f (x ) =
(soluções na lousa)
v. 2015-2-24
12/14
Regras de derivação
Regras algébricas. Usando a definição, demonstramos que. . .
se h(x ) = c ⋅ f (x ), então h′ (x ) = c ⋅ f ′ (x )
v. 2015-2-24
13/14
Regras de derivação
Regras algébricas. Usando a definição, demonstramos que. . .
se h(x ) = c ⋅ f (x ), então h′ (x ) = c ⋅ f ′ (x )
se h(x ) = f (x ) + g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x ) + g ′ (x )
v. 2015-2-24
13/14
Regras de derivação
Regras algébricas. Usando a definição, demonstramos que. . .
se h(x ) = c ⋅ f (x ), então h′ (x ) = c ⋅ f ′ (x )
se h(x ) = f (x ) + g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x ) + g ′ (x )
das regras anteriores, se h(x ) = f (x ) − g(x ) então
h′ (x ) = f ′ (x ) − g ′ (x )
v. 2015-2-24
13/14
Regras de derivação
Regras algébricas. Usando a definição, demonstramos que. . .
se h(x ) = c ⋅ f (x ), então h′ (x ) = c ⋅ f ′ (x )
se h(x ) = f (x ) + g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x ) + g ′ (x )
das regras anteriores, se h(x ) = f (x ) − g(x ) então
h′ (x ) = f ′ (x ) − g ′ (x )
CUIDADO com a regra do produto
se h(x ) = f (x )g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x )g(x ) + f (x )g ′ (x ).
v. 2015-2-24
13/14
Regras de derivação
Regras algébricas. Usando a definição, demonstramos que. . .
se h(x ) = c ⋅ f (x ), então h′ (x ) = c ⋅ f ′ (x )
se h(x ) = f (x ) + g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x ) + g ′ (x )
das regras anteriores, se h(x ) = f (x ) − g(x ) então
h′ (x ) = f ′ (x ) − g ′ (x )
CUIDADO com a regra do produto
se h(x ) = f (x )g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x )g(x ) + f (x )g ′ (x ).
CUIDADO com a regra do quociente
f (x )
f ′ (x )g(x ) − f (x )g ′ (x )
se h(x ) =
, então h′ (x ) =
g(x )
[g(x )]2
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Regras de derivação
Regras algébricas. Usando a definição, demonstramos que. . .
se h(x ) = c ⋅ f (x ), então h′ (x ) = c ⋅ f ′ (x )
se h(x ) = f (x ) + g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x ) + g ′ (x )
das regras anteriores, se h(x ) = f (x ) − g(x ) então
h′ (x ) = f ′ (x ) − g ′ (x )
CUIDADO com a regra do produto
se h(x ) = f (x )g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x )g(x ) + f (x )g ′ (x ).
CUIDADO com a regra do quociente
f (x )
f ′ (x )g(x ) − f (x )g ′ (x )
se h(x ) =
, então h′ (x ) =
g(x )
[g(x )]2
√
3x 2 + 2 x
Exercício 7. Calcule a derivada de F (x ) =
2x + 1
(solução na lousa)
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Para casa
Stewart: seções 2.8, 2.9, 3.1 (menos a parte de funções
exponenciais), 3.2
Lista 3: exercícios 1–5, 7, 8, 9(a–d, f–h), 10, 15, 18, 19.
Ver os vídeos no site.
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