5.º Teste - Escola Básica E Secundária Dr. Ângelo Augusto Da Silva

Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Teste de MATEMÁTICA A 12.º Ano
Duração: 90 minutos
Classificação
Junho/ 2014
____________
Nome ________________________ N.º ___ T: __
O Prof.__________________
(Luís Abreu)
1.ª PARTE
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, selecione a resposta correta de entre as alternativas que lhe são
apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo
acontecendo em caso de resposta ambígua.
1. Considere um octaedro com as faces numeradas de 1 a 8. Pretende-se colorir
as suas faces dispondo-se para o efeito de oito cores distintas.
De quantas maneiras diferentes o podemos colorir, supondo que três das faces
têm de ter a mesma cor e as restantes cores diferentes?
(A) 8  8C3  7 A5
(B) 8C3  7 A5
(D) 8 A3  7C5
(C) 8C3  5!
2. Na figura encontra-se representada parte do gráfico da função f, definida por, f ( x)  cos x e o
triângulo [ ABC ] . Sabe-se que os pontos A, B e C pertencem ao gráfico de f. Os pontos A e B têm
ordenada
1
e o ponto C tem abcissa  .
2
y
f
A
1
2
B
2

3

O
x
C
A área do triângulo [ ABC ] é:
(A)

2
3. Seja z  cis
(B) 

3
(C)
3

2
(D) 2
um número complexo.
Indique qual dos seguintes valores é o argumento de: 1  z .
(A)

6
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(B)
5
6
(C)
2
3
(D)
5
3
4. Na figura está parte da representação gráfica de uma função g, de domínio
, definida por:
g ( x)  sen x .
A é um ponto do gráfico de g, que tem ordenada zero.
A reta r é tangente ao gráfico de g no ponto A.
Qual das seguintes pode ser uma equação da reta r?
(A) y   x  
(B) y  2 x  
(C) y  2 x 

(D) y   x 
2

2
5. Seja f uma função cuja derivada no ponto de abcissa 2 é igual a 1.
Indique o valor de:
lim
x 2
(A)
1
10
(B)
f ( x )  f (2)
.
x3  x 2  6 x
3
2
(C)
3
5
(D)
3
10
2.ª PARTE
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efetuados e as justificações necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exato.
1. Considere os números complexos z1  1  i e z2  cis

5
.
z1  i 207  4( z2 )5
1.1. Determine
e apresente o resultado na forma algébrica.
2i
 
1.2. Efetue as operações seguintes e apresente o resultado de  z1    z2 na forma trigonométrica.
2
1.3. Determine o menor valor de n natural para o qual  z1 
2. Em
n2
é um número real negativo.
 
.
7
, conjunto dos números complexos, considere w1  cis(0) e w2  cis 
2.1. O complexo w1 é raiz do polinómio
w3  w2  49w  49 . Determine, em
do polinómio. Apresente as raízes obtidas na forma trigonométrica.
2.2. Mostre que:
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2
 
w1  w2  2  2cos  
7
, as restantes raízes
3. Resolva, em
, a equação:
z3
 3  i .
z
4. Na figura junta está representado um quarto de círculo, com centro em B e raio 2.
Considere que um ponto C se desloca sobre o segmento de recta [BD].
Para cada posição do ponto C, seja x a amplitude, em radianos,
  
.
 4  

do ângulo BAC  x   0,

4.1. Mostre quer a área da região sombreada é dada, em função
de x, por:
A( x)    2  2tgx
 
 e interprete o resultado obtido no contexto
4
4.2. Determine A 
do problema.
 


4.3. Justifique, analiticamente, que a função A tem extremos em  0, 
4
5. De uma função g, de domínio   ,   , sabe-se que a sua derivada está definida igualmente no
intervalo   ,   e é dada por:
g '( x)  x  2 cos x
5.1. Estude a função g quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos
de inflexão.
5.2. Considere a função h, definida no intervalo  ,   por
h( x ) 
g´( x)
.
1  cos x
Determine as equações das assíntotas do gráfico da função h.
Fim
Cotações:
1.ª Parte
2.ª Parte
Questões
10 pontos cada
questão. Total :
1.1.
1.2.
1.3.
2.1.
2.2.
3.
4.1.
4.2.
4.3.
5.1.
5.2.
Total
Pontos
50
10
15
15
10
15
15
15
10
15
15
15
200
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Formulário
Comprimento de um arco de circunferência
 .r (  amplitude,
em radianos, do ângulo ao
 u  v   u  v '
centro; r – raio)
Áreas de figuras planas
Losango:
Diagonal maior  Diagonal menor
2
Trapézio:
Regras de Derivação
Base maior  Base menor
 Altura
2
 u×v   u×v  u×v
 u  u×v  u×v
  
v
v2
Polígono regular: Semiperímetro  Apótema
(u n )  n×u n1×u
r2
 sen u   u× cos u
Sector circular:
2
(α – amplitude, em radianos,
 cos u   u× sen u
do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone:
 tg u  
 rg
(r – raio da base; g – geratriz)
Área de uma superfície esférica:
(r – raio)
4 r
2
Volumes
Pirâmide:
1
 Área da base  Altura
3
1
Cone:  Área da base  Altura
3
Esfera:
4 3
r
3
(n  )
u
cos 2 u
 eu   u× eu
(au )  u×au × ln a
u
 ln u  
u
u
(log a u ) 
u× ln a
(a 

(a 

Limites notáveis
(r – raio)
n
Trigonometria
sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a
cos (a + b) = cos a .cos b − sen a. sen b
tga  tgb
tg (a + b) =
1  tga.tgb
Complexos
(  cis  )   cis (n. )
n  cis   n  cis   2k , k  0,...,n-1
n
n
n
Probabilidades
 1
lim  1    e
 n
sen x
1
x 0 x
lim
ex 1
1
x 0 x
lim
ln( x  1)
1
x 0
x
lim
  x1 p1  ...  xn pn
  ( x1   ) 2 p1  ...  ( xn   ) 2 pn
Se X é
lim
x
N(μ,σ) , então:
P(     X     )  0,6827
P(   2  X    2 )  0,9545
P(   3  X    3 )  0,9973
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lim
x 
ln x
0
x
ex
xp
 
(p  )
\{1})
\{1})
Soluções:
1.ª Parte
1. (A) 2. (B) 3. (B) 4. (A) 5. (A)
2.ª Parte
 3 
2cis   
 10 
1.1.
12 1
 i
5 5
2.1.
3 
 
7cis   e 7cis   
2 
2
1.2.
1.3.
n2
  
 11 
 23 
 35  
 , 2cis    , 2cis    , 2cis    
 24 
 24 
 24 
 24  

3. z   2cis  

4.2.
 
A     A região sombreada coincide com o quarto de círculo.
4
4.3. A´( x )  0 Min:
 2
Máx:

5. 1.
x
g´´

6

+
0
5

6

0

+
g
5.2. x   e x  
Não tem assíntotas não verticais porque o domínio é limitado.
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