3.3 The Inverse of a Matrix - MTM

A Inversa de uma Matriz
• Nem toda matriz quadrada possui inversa.
• Se a inversa existir, podemos achá-la usando o método de
eliminação de Gauss-Jordan.
• Se a matriz dos coeficientes de uma sistema de n equações e
n incógnitas tem uma inversa, podemos usá-la para achar a
única solução do sistema.
Definição
Se A é uma matriz quadrada e se existe uma matriz
B satisfazendo
AB=BA=I
então dizemos A é invertível e a matriz B é
chamada a inversa de A .
Notação:
B  A1
Se não for possível achar uma tal matriz B, então
dizemos que A é singular .
Exemplo 1
A matriz
é a inversa de
desde que
e também
Exemplo 2
Uma matriz sem inversa
A matriz
é singular; para ver por que considere a
matriz B
como sendo uma matriz qualquer 3x3
a terceira coluna de BA é:
assim temos que:
Propriedades da matriz inversa
• Se B e C são inversas da matriz A, então
B=C .
• Se A e B são invertíveis e igual dimensão,
então AB é invertível e
 AB 
1
 B 1 A1
T
A
• Se A é invertível, então
também é
invertível e
A 
T
1

 A

1 T
Um método para inverter matrizes
Para achar a inversa de uma matriz não-singular A, devemos obter
uma sequência de operações elementares por linhas que leva a A
à identidade e então aplicar a mesma sequência de operações
sobre a matriz identidade I para obter
A1
Exemplo 3
Usando operações elementares por linhas para achar A
Achar a inversa de
1
A   2
 1
2
5
0
3
3 
8 
 Formamos uma matriz aumentada, desta vez adjuntando a
matriz identidade no lado direito da matriz A, para produzir uma
matriz da forma
A
I

 aplicaremos operações elementares na matriz aumentada até
obter I no lugar de A ; estas operações converterão o lado direito
em
A1 da forma:
I
A 1

1
Exemplo 3
Somamos -2 vezes a primeira linha
à segunda e -1 vezes a primeira à
terceira
Somamos 2 vezes a segunda linha
à terceira
Exemplo 3 (cont.)
Multiplicamos a terceira linha por -1
Somamos 3 vezes a terceira linha à
segunda e -3 vezes a terceira à
primeira
Somamos -2 vezes a segunda linha à
primeira
assim
Exemplo 4
Mostrando que uma matriz não é invertível
Considere a matriz
Aplicando o procedimento anterior temos:
Temos uma linha nula e então
A
não é invertível
Uma conseqüência da
invertibilidade
Se
Anxn
for uma matriz invertível,
então para cada matriz
b nx1 ,
o sistema de equações A x =b possui exatamente
uma única solução da forma:
1
A
x=
b.
Exemplo 5
Solução de um sistema linear usando
Considere o sistema de equações lineares
Que pode ser escrito na forma matricial como
Em um exemplo anterior encontramos
E assim temos
Ou seja
A
1
As seguintes afirmativas são equivalentes
A
1
•
Existe
•
O sistema homogêneo A x = 0 tem a solução trivial como
única solução.
•
p( A)= n
•
A forma reduzida por linhas de A é a identidade
•
O sistema A x = b tem uma única solução para cada b
•
A pode ser escrita como o produto de matrizes elementares
•
A é não singular