Multiplicação de matrizes

Multiplicação de número real por matriz
Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do
numero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos
por k.
Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de
Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da
multiplicação de numero real por matriz:
-
1.A = A
(-1).A = -A
p.O = O
0.A = 0
p.(A + B) = p.A + p.B
(p + q).B = p.B + q.B
p.(q.A) = (p.q).A
Multiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da
matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C
(cij) satisfaz:
Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente
os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da
matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:
O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de
colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:
O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade(I).
Matriz transposta
Matriz transposta, em matemática, é o resultado da troca de linhas por colunas em uma determinadamatriz.
Uma matriz simétrica é toda a matriz que é igual à sua transposta.
T
Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz M será representada por M . Outras formas de representação
t
encontradas na literatura são M e M'[1].
Exemplos
A matriz identidade é simétrica. Portanto, a matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.
Construção
Uma matriz transposta é construída da seguinte maneira:
Seja uma matriz A, tal que:
Seja uma matriz B a transposta de A:
A matriz B possui as dimensões inversas de A, sendo definida por:
Cada item da matriz B é definido por:
Propriedades



A matriz transposta de uma matriz invertível qualquer é também invertível, sendo a inversa da transposta
igual à transposta da inversa:
Matriz inversa
Uma matriz quadrada
que
onde
é dita inversível quando existe outra matriz denotada
é a matriz identidade e
é a matriz inversa de
tal
.

Condição
Para determinar se uma matriz quadrada é inversível, ou seja, se admite inversa, deve-se
verificar se seudeterminante é diferente de zero.
Em um caso geral, a inversa de uma matriz A é dada pela razão entre a transposta
da matriz dos cofatores pelo determinante de A.
Propriedades
Considerando-se A uma matriz invertível, possui as seguintes propriedades:
A matriz inversa é única. Esta propriedade é decorrente do conjunto das matrizes
quadradas nxncom a operação binária de multiplicação de matrizes formar um monoide.
A matriz inversa de uma matriz invertível é também invertível, sendo que a inversa da
inversa de uma matriz é igual à própria matriz
A matriz transposta de uma matriz invertível é também invertível, e a inversa da
transposta é a transporta da inversa:
O inverso de uma matriz multiplicada por um número (diferente de zero) é igual à matriz
inversa multiplicada pelo inverso desse número.
O inverso do produto de matrizes invertíveis é igual aos produtos das inversas dessas
matrizes com a ordem trocada.
O determinante de uma matriz invertível é diferente de zero.
Inversa da matriz identidade
Ver artigo principal: Matriz identidade
A matriz inversa de uma matriz identidade é sempre igual à própria matriz identidade.
I −1 = I
Isso ocorre pois:
Descobrindo a inversa
Método tradicional
O método tradicional de procura da inversa consiste-se em associar simbolos arbitrários à
uma matriz e aplicar a seguinte propriedade:
Exemplo
Se queremos descobrir o inverso da matriz
de dimensões 2 x 2 representada abaixo
temos que "inventar" uma inversa simbolica que nos permitirá multiplicar as matrizes:
Associamos símbolos arbitrariamente à inversa da nossa matriz original – nosso objectivo
é determinar os valores de a, b, c e d. Para isso aplicaremos a definição de inversa:
Resolvendo essa multiplicação de matrizes temos que:
Logo:
[editar]Aplicação
da adjunta
Ver artigo principal: Matriz adjunta
Uma forma mais rápida (especialmente para matrizes de ordem 2) é a aplicação da matriz
adjunta através da seguinte fórmula:
Para toda matriz invertível A. Logo, para toda matriz invertível de ordem 2:
[editar]Matriz
em blocos
Estas fórmulas, desenvolvidas por Hans Bolz (1923) e Tadeusz Banachiewicz (1937),
permitem inverter uma matriz escrita em forma de blocos:
ou:
Os blocos podem ser de qualquer tamanho, desde que A e D sejam matrizes quadradas.