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Equações Diferenciais (ED)
Resumo
Equações Diferenciais é uma equação que envolve derivadas(diferencial). Por exemplo:
1)
dy
 x 2  5 ( y: variável dependente, x: variável independente)
dx
2)
d2y
 dy 
 3   2 y  0 ( y: variável dependente, x: variável independente)
2
dx
 dx 
3)
xy' y  3 ( y: variável dependente, x: variável independente)
4)
y ' ' '2( y ' ' )  y '  cos( x) ( y: variável dependente, x: variável independente)
5)
( y' ' ) 3  ( y' ) y  3sen( y)  x 2 ( y: variável dependente, x: variável independente)
2
d 2u d 2 v
6)
 2  x 2  u  v ( u e v: variáveis dependentes, x : variável independente)
2
dx
dx
7)
z
z
( z: variável dependente, x e y: variáveis independentes)
 zx
x
y
8)
2z 2z

 x 2  y ( z: variável dependente, x e y: variáveis independentes)
x 2 y 2
Eq. Diferencial Ordinária: quando cotém uma só variável independente como em 1) a 6).
Eq. Diferencial Parcial: quando existe duas ou mais variáveis independentes como em 7) e
8)
A ordem da ED é a maior ordem da derivada que ocorre na equação. Ex. 1), 3) e 7) são
EQ de primeira ordem; 2), 5), 6) e 8) são ED de segunda ordem; e 4) é EQ de terceira
ordem.
A Linearidade da ED, depende dos termos que envolvem as variáveis dependentes, se
todos são lineares, a ED é linear , se pelo menos um termo for não-linear a ED é nãolineares. Ex 1), 3), 4), 6), 7) e 8) são EDs lineares, pois todos os termos envolvendo
variáveis dependentes são lineares ao passo que 2) e 5) são não-lineares, pois contém
2
 dy 
termos não-lineares dos tipos:   , ( y ' ' ) 3 , ( y ' ) y e sen ( y ) .
 dx 
Soluções Para uma Equação Diferencial
Definição: Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na
equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de Solução para a equação no
intervalo.
Em outras palavras, uma solução para uma equação diferencial ordinária
F ( x, y, y' ,...., y ( n ) )  0
é uma função f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação;
F ( x, f ( x), f ' ( x),...., f ( n ) ( x))  0
Para todo x no intervalo I, I pode representar um intervalo aberto (a,b), um intervalo
fechado [a,b], um intervalo infinito (0,+∞), ( -∞,0) ou (-∞,+∞) e assim por diante.
O estudo de equação diferencial é semelhante ao cálculo integral. quando calculamos uma
antiderivada ou integral indefinida, utilizamos uma única constante de integração.
 g ( x)dx  G ( x)  c , G’(x) = g(x)
De maneira análoga, quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem
F(x,y,y’) = 0, normalmente obtemos uma família de curvas ou funções G(x,y,y’c), contendo
um parâmetro arbitrário tal que cada membro da família é uma solução da ED. Quando
resolvemos uma equação de n-ésima ordem F ( x, y, y' ,...., y ( n ) )  0 , em que
y(n) significa
d (n) y
,
dx n
esperamos uma família a n-parâmetro de soluções G( x, y, c1 ,...., cn )  0.
Dizemos que a família a n-parâmetros é uma Solução Geral ou Completa, para qualquer
ED.
Uma solução para a equação diferencial que não depende de parâmetros arbitrários é
chamada de Solução Particular. Uma maneira de obter uma solução particular é escolher
valores específicos para o(s) parâmetro(s) na família de soluções.
y  ce x é uma família a um parâmetro de soluções para a equação de
primeira ordem muito simples y’ = y. Para c = 0, -2, 5, obtemos soluções particulares y = 0,
y  2e x e y  5e x , respectivamente.
Por exemplo:
As vezes, uma ED possui uma solução que não pode ser obtida especificando-se parâmetros
em uma família de soluções. Tal solução é chamada de Solução Singular.
Uma solução para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que pode ser escrita na
forma y = f(x) é chamada solução explícita.
Ex: y  e x é uma solução explícita de y’ = y.
Uma relação G(x,y) = 0 é uma solução implícita de uma EDO em um intervalo I, se ela define uma
ou mais soluções explícitas em I.
Para x no intervalo ( -2 , 2) a relação x 2  y 2  4  0 é uma solução implícita para a EDO
dy
x
 .
dx
y
Problema de Valor Inicial
Em geral estamos interessados na resolução de uma equação diferencial sujeita a
determinadas condições prescritas, condições estas que são impostas à solução
desconhecida y = y(x) e suas derivadas. Em algum intervalo I contendo x0, o problema
Resolver:
dny
 f ( x, y, y ' , y ' ' ,..., y ( n 1) )
dx n
Sujeita a: y ( x0 )  y 0 , y ' ( x0 )  y1 ,..., y ( n 1) ( x0 )  y n 1
Onde x0, y0, y1, ..., yn-1 são constantes reais especificadas, é chamado de problema de
valor inicial (PVI) de ordem n. Os valores de y(x) e suas n-1 derivadas em um único
ponto x0 : y ( x0 )  y 0 , y ' ( x0 )  y1 ,..., y ( n 1) ( x0 )  y n 1 , são chamados de condições iniciais.
PVI de primeira ordem:
Resolver:
dy
 f ( x, y )
dx
Sujeita a: y( x0 )  y 0
Ex: y  ce x é uma família a um parâmetro de soluções da equação diferencial de primeira
ordem y’ = y no intervalo (, ) . Se especificarmos uma condição inicial y(0) = 3, e
então substituirmos x = 0, y = 3 na família, determinamos a constante ce 0  3 , logo c = 3.
Assim sendo, a função y  3e x é uma solução do problema de valor inicial
y’ = y, y(0) = 3.
Teorema: Existência de uma única solução
Seja R uma região retangular no plano xy definida por a  x  b, c  y  d que contém o
f
ponto (x0, y0). Se f(x,y) e
são continuas em R, existe algum intervalo I0: x0–h < x < x0+h
y
contido em a  x  b, e uma única solução y(x), definida em I0, que é uma solução do
problema de valor inicial de primeira ordem.
PVI de segunda ordem:
Resolver:
d2y
 f ( x, y , y ' )
dx 2
Sujeita a: y( x0 )  y0 , y' ( x0 )  y1
Ex: x  c1 cos 4t  c2 sen 4t é uma família de a dois parâmetro de soluções de x' '16x  0 .
Ache uma solução do problema de valor inicial
 
 
x' '16 x  0, x   2, x'    1.
2
2
 
Aplicando x   2 à família dada de soluções: c1 cos 2  c2 sen 2  2 .
2
Uma vez que cos 2  1..e.. sen 2  0, verificamos que c1= -2.
 
Em seguida aplicamos x '    1 à família dada de soluções: c1 cos 2  c2 sen 2  2 .
2
 
Diferenciando e fazendo t   ..e..x'  1 , obtemos 8 sen 2  4c2 cos 2  1, onde vemos
2
que c2= ¼.
1
Logo x  2 cos 4t  sen 4t é solução do problema de valor inicial de segunda ordem
4
 
 
x' '16 x  0, x   2, x'    1.
2
2
Teorema: Existência de uma única solução
Sejam an(x), an-1(x),..., a1(x), a0(x) e g(x) continuas em um intervalo I e seja an(x)  0 para
todo x nesse intervalo, então existe uma única solução y(x) do problema de valor inicial
nesse intervalo.