Matriz de admitância

Análise de Redes Elétricas
Matriz de Admitância Nodal
E
Cálculo de Redes
Joinville, 4 de Abril de 2013
Escopo dos Tópicos Abordados
‹ Matriz
de Admitância Nodal e Cálculo de
Redes;
‹ A referência para esta aula foi o livro dos autores:
Graiger e Stevenson, intitulado: “Power System
Analisys” – Capítulo 7.
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Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹ Admitâncias
de ramo e nodais:
3
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹ Exemplo
de montagem da matriz de Admitância
nodal:
4
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹ Circuito
equivalente:
5
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹ Circuito
equivalente: transformando reatâncias em
admitâncias e fontes de tensão em fontes de corrente:
6
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹ Matriz
de admitância:
‹ Matriz
de admitância
Nodal é simétrica.
‹ Obtida
por inspeção:
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Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹ Matriz
de admitância:
YV = I
(1)
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Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹ Solução
do sistema de equações lineares
envolvendo a matriz de admitância:
YV = I
−1
V = Y I Solução Ineficiente!
‹ Solução
mais adequada no Matlab:
V =Y \I
Utiliza fatoração triangular e eliminação de Gauss
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Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹ Montagem
da matriz de admitância
considerando indutâncias mútuas
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Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
Exemplo: Substitua os ramos do circuito da figura pelos ramos com
mútua e encontre a matriz de admitância nodal:
11
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
Após a troca, tem-se o circuito resultante:
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Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
Montagem da matriz de admitâncias considerando as indutâncias
mútuas:
‹
Assumindo que já se tenha a matriz primitiva:
‹
Como existem 3 nós, deve-se encontrar uma matriz 3x3, adicionando
linhas e colunas correspondentes ao nó comum 3:
⎡ Ya
⎢Y
⎢ M
⎢⎣ ×
YM
Ya
×
a13 = −(Ya + YM ) ⎤
a23 = −(Yb + YM ) ⎥⎥
a33 = (Ya + Yb + 2YM ) ⎥⎦
13
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
Levando a:
⎡ Ya
⎢Y
⎢ M
⎢⎣ ×
YM
Ya
×
a13 = −(Ya + YM ) ⎤
a23 = −(Yb + YM ) ⎥⎥
a33 = (Ya + Yb + 2YM ) ⎥⎦
14
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
Resultando em:
15
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
Analisando a matriz de admitância calculada para o exemplo 1 onde foi
considerada a mútua, pode-se “escrever” um circuito análogo por
inspeção:
‹Notem
que a indutância
mútua 1-2 se transforma
em outro ramo ou LT
que liga as barras 1 e 2,
formando um circuito
análogo.
16
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
Montando a matriz de admitância, por inspeção, resulta em:
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Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹ Alterando
a matriz de admitância:
– Necessidade de incorporar/excluir novos ramos ao sistema.
– Exemplo: para incorporar/suprimir um novo ramo de ligação entre
os nós/barras m-n do sistema, basta somar/subtrair a matriz de
alteração ou variação ΔY
na matriz existente:
Bus
‹Matriz
de alteração ou variação:
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Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹ Alterando
a matriz de admitância:
– Procedimento também válido para o caso de mútuas:
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Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹ Exemplo
de alteração da matriz de admitância:
‹ Obtenha
a matriz de admitância do circuito 1
eliminando a mútua que gerou o circuito 2.
‹
Circuito 1
.
‹
Circuito 2
.
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Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹A
matriz de admitância do circuito 2.
‹
Circuito 2
.
21
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
A matriz que deve ser subtraída da matriz de admitância é a parte
correspondente do circuito que possui as mútuas:
22
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
A matriz que deve ser subtraída da matriz de admitância é a parte
correspondente do circuito que possui as mútuas:
YBus _ alterada = YBus − ΔYBus
23
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
A matriz que deve ser subtraída da matriz de admitância é a parte correspondente do
circuito que possui as mútuas:
YBus _ alterada = YBus − ΔYBus
YBus _ alterada
0
2,5 j ⎤
⎡ −10,5 j 8 j
⎢ 8j
⎥
−
13
j
0
5
j
⎥
=⎢
⎢ 0
−0,8 j
0
0 ⎥
⎢
⎥
−
2,5
j
5
j
0
8,3
j
⎣
⎦
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Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
Com tal eliminação, deve-se inserir novamente os ramos originais do
circuito:
Impedância e admitância
dos ramos
Inserindo o ramo 2
.
.
Inserindo o ramo 3
.
25
Matriz de Admitância e
Cálculo de Redes
‹
Após as operações de alteração, tem-s e a matriz de admitância original
do circuito:
YOriginal = YBus _ alterada + ΔYBus ,2 + ΔYBus ,3
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