corrente alternada

CIRCUITOS ELÉTRICOS EM CORRENTE ALTERNADA
NÚMEROS COMPLEXOS
Um número complexo Z é um número da forma x  jy , onde x e y são reais e
j   1 . (A raiz quadrada de um número real negativo é chamada um número
imaginário puro).
No número complexo x  jy , o primeiro termo x é chamado parte real e o segundo,
jy, a parte imaginária.
Exemplo: Representação de 6 números complexos (z1, z2, z3, z4, z5, z6).
Z1 = 6
Z2 = 2 – j3
Z3 = j4
Z4 = - 3 + j2
Z5 = - 4 – j4
Z6 = 3 + j3
z3
z4
j (eixo dos j)
j5
j4
j3
z6
j2
j1
z1 (eixo dos n° reais)
-5 -4 -3 -2 -1 -j1 1 2 3 4 5 6
-j2
-j3
z2
z5
-j4
-j5
1
Representação polar de um número complexo Z
J (eixo imaginário)
jy
z

r
(eixo real)
0
x
z pode ser representado na forma:
Retangular: z  x  jy
Polar: z  r 
Existem quatros meios de representar um número complexo:
Forma retangular
Forma polar ou de Steinmetz
Forma exponencial (Euler)
Forma trigonométrica
z  x  jy
z  r
z  r e j
z  r (cos   j sen  )
O emprego de um ou outro depende da operação a ser efetuada.
SOMA E DIFERENÇA DE NÚMEROS COMPLEXOS
Só podem ser efetuados, quando ambos estão na forma retangular.
Dados z1  5  j 2
e
z 2  3  j8
z1  z 2  (5  3)  j (2  8)  2  j10
z 2  z1  (3  5)  j (8  2)  8  j 6
2
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Forma exponencial:
z1 z 2  (r1e j1 )(r2 e j 2 )  r1r2 e j (1  2 )
Forma polar:
z1 z 2  (r1  1 )( r2  2 )  r1r2  1   2
Forma retangular:
z1 z 2  ( x1  jy1 )( x2  jy2 )  x1 x2  jx1 y 2  jy1 x2  j 2 y1 y 2 
 ( x1 x2  y1 y 2 )  j ( x1 y 2  y1 x2 )
sendo j2 = -1
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Forma exponencial:
z1 r1e j1
r

 1 e j (1  2 )
j 2
z 2 r2 e
r2
Forma polar:
r1  1 r
z1

 1 1   2
z 2 r2  2 r2
Forma retangular:
Faz multiplicando-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
z1
x  jy1  x2  jy2  ( x1 x2  y1 y 2 )  j ( y1 x2  y 2 x1 )


 1
z 2 x2  jy2  x2  jy2 
x22  y 22
3
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO (Z*)
Forma retangular:
z  x  jy
z *  x  jy
seu conjugado é
Forma polar:
z  r
z*  r 
seu conjugado é
CONVERSÃO
FORMA RETANGULAR
x  z cos 
FORMA POLAR
z  x2  y2
y  z sen 
  arc tg
y
x
Fórmulas de Euler:
e j  cos  j sen 
cos 
e j  e  j
2
e  j  cos  j sen 
sen  
e j  e  j
2
Forma polar e exponencial:
z  z e j
z z 
 em radiano
 em radiano ou
grau (mais usual )
fase ou ângulo
módulo
Obs.: Fica claro então, que é mais fácil efetuar a soma e a subtração de número
complexos na forma retangular e a multiplicação e a divisão na forma polar.
4
PRINCÍPIO DA CORRENTE ALTERNADA
Forma de onda de tensão CA
Tensão
Onda alternada
Eixo zero
+
0
+
_
_
Como é produzida a tensão CA
Linhas de força
N
Espira condutora em rotação
Terminais
S
Gerador
Chamado de alternador
5
Ciclos de tensão alternada gerada pela rotação de uma espira
Posição 1
0
0
V
N
S
Posição 2
0 90°
90° V
N
S
Posição 3
0 90° 180°
V
N
S
180°
Posição 4
0 90° 180° 270°
V
270°
N
S
Posição 5
0 90° 180° 270° 360°
360°
V
N
S
6
Parâmetros básicos de um sinal alternado
(tensão ou corrente)
Rms = 0,707 do valor de pico
Média = 0,637 do valor de pico
Amplitude
v ou i
Valor
médio
0
90°
180°
270°
Valor
rms
Valor de Valor de
pico
pico-a-pico
360°
Obs.:
V P  VM
IP  IM
Onde:
 VP  Tensão de pico
 VM Tensão máxima
 I P  Corrente de pico
 I M  Corrente máxima
7
Valor médio = 0,637 x Valor de pico
Vmédio  0,637 .VM
I médio  0,637 . I M
Valor médio corresponde à média aritmética sobre todos os valores numa onda
senoidal para um meio ciclo.
Ciclo completo: O valor médio é zero.
Valor eficaz = Valor rms = Valor médio quadrático
rms = “root-mean-square”
Valor rms = 0,707 x Valor de pico
Vrms  0,707 .VM
I rms  0,707 . I M
Vef 
VP
I ef 
IP
ou
2
2
8
Freqüência e Período
1 ciclo
f = 1 Hz
v ou i
Tempo (s)
0
¼
½
¾
1
1 Período
f = 2 Hz
v ou i
0
¼
½
¾ 1
Tempo (s)
2 ciclos
Obs.: Quanto mais alta a freqüência, menor o período.
f 
1
T
Onde:
 f = Hertz (Hz)
 T = segundos (s)
9
Velocidade angular (w)
w  2. . f 
2
T
Deslocamento angular (θ)
  w.t
(radiano ou graus)
Sinal senoidal em forma de função dependente:
Do tempo
V (t )  2.Vef .sen(2f .t )
Do deslocamento angular
V ( wt )  2.Vef .sen( wt )
10
Resistência em circuitos CA
 As variações na corrente ocorrem em fase com a tensão aplicada;
 O circuito CA pode ser analisado pelos mesmos métodos usados para os
circuitos CC. (Lei de Ohm para apenas resistências);
 Os cálculos nos circuitos CA são geralmente em valores rms.
Amplitude
I
V= 110V
+
I
0
10Ω _
RL
I
V
tempo
V 110

 11A
R 10
Prms  R.I 2  10.(11) 2  1210W
Diagrama de fasores (I em fase com V)
I
V
Exemplo:
Fasor V
V
I
R1
V1
R2
V2
V1
V2
V
V1
V2
Fasores V, I.
I
V
11
Indutor em circuitos CA
 A corrente que passa pela indutância, IL, estará atrasada com relação à tensão
da indutância, VL, de 90°.
Amplitude
+
+
VL
IL
V
L
IL
tempo
VL
0
90°
180°
270°
360°
_
Diagrama de fasores
V, VL
Anti-horário
90°
IL (referência)
RL em série
VR
VL
I
R
VT
L
VL
90°
VR
I
Diagrama de fasores
VR  I .R
VL  I . X L
VT
VL
Triângulo de fasores de tensão
VT  VR2  VL2
Θ
I, (referência)
VR
12
Capacitor em circuitos CA
 A corrente que passa pela capacitância, IC, estará adiantada com relação à
tensão VC, de 90°.
Amplitude
+
VC
IC
IC
tempo
00
V
C
90° 180°
360°
VC
_
Diagrama de fasores
V como referência
IC
270°
Diagrama de fasores
IC como referência
sentido do
avanço
90°
IC
- 90°
V, VC
V, VC
RC em série
VR
VR
I
VT
R
XC
I, (referência)
- 90°
VC
VC
VC  I . X C
VR  I .R
Diagrama de fasores
VR
VT
θ
VC
VT  VR2  VC2
tg  
VC
VR
Triângulo de fasores de tensão
13
ELEMENTOS DOS CIRCUITOS
Na análise de um circuito de corrente alternada:
- Os fasores da tensão e da corrente são usados com resistências e reatâncias;
- A resistência e a reatância têm a mesma unidade (Ohm);
- As tensões e correntes são usadas com resistências na análise de um circuito de
corrente contínua.
Circuito no domínio do tempo
Correntes e tensões senoidais
Indutância e capacitância
Circuito no domínio da freqüência
Fasores
Reatâncias
Obs.: As resistências permanecem inalteradas.
V
Vm  e j ( t  )

I m  e j ( t   )
Domínio do tempo

I  
Domínio da freqüência
14
RESISTÊNCIA
i
Pela lei de Ohm:
v
R
Fasores da tensão e da corrente:
i  I m sen( t   )
v  RI m sen( t   )
V
I m  m Amplitude da corrente em [A]
R
 = Ângulo de fase
Os fasores correspondentes são:
I
Im
2
 [ A]
i
V 
RI m
2
+ v _
 [V ]
I
R
+ V_
R
A expressão da corrente no resistor informa que um resistor não introduz nenhuma
diferença de fase entre a corrente e a tensão. Dizemos então, que num resistor a
tensão e a corrente estão em fase.
v
i

0
2
t
O módulo da impedância é R.
Diagrama fasorial:
0
i
v
ref.
15
INDUTOR
Equação do indutor:
V L
di
dt
Fasores da tensão e corrente:
i  I m sen( wt   )
v  wLI m cos( wt   )  wLI m sen( wt    90)
Vm   LI m
Tensão de pico
Os fasores correspondentes são:
I
Im
2
i
 A
V 
 LI m
2
+ v _
  90 V
I
+ V_
j L
L
Dividindo-se a equação da tensão pela equação da corrente, o resultado numa relação
fasorial é:
Z ( j ) 
V
  L 90
I
 L  xL
onde:
xL  reatância indutiva ()
A equação da impedância do indutor mostra que a corrente está 90° atrasada da
tensão.
v
i
0

2

2
t
O módulo da impedância é L.
Diagrama fasorial:
0
v
ref.
i
16
CAPACITOR
iC
Equação do capacitor:
dV
dt
Fasores da tensão e corrente:
v  Vm sen( t   )
i   CVm sen( t    90)
Os fasores correspondentes são:
V 
Vm
2
i

I
e
V
 CVm
2
+ v _
I
  90
A
+ V_
 j1
C
C
Dividindo-se a equação da tensão pela corrente, o resultado numa relação
fasorial é:
Z ( j )
1
1
j

 90
C C

onde:
1
 Xc
C
Xc  reatância capacitiva ()
A equação da impedância do capacitor mostra que a corrente está 90° adiantada da
tensão.
v
i

0
2
t

2
O módulo da impedância é
1
C
i
Diagrama fasorial:
0
v
ref.
17
ADMITÂNCIA
Definição: Admitância é o inverso da impedância.
Símbolo: ( Y ).
Unidade: Siemens ( S ).
Admitância de um resistor: Y 
1
G
R
Admitância de um indutor: Y 
1
j L
Admitância de um capacitor: Y 

 j1
L
1
  j1 


C 
 j C
Combinação de admitâncias
Série:
1
1 1
   ...
Yeq Y1 Y2
Paralelo: Yeq  Y1  Y2  ...
Admitância na forma polar
Y  G  jB  G 2  B 2 tg 1 ( B / G)
ângulo de admitância
Z  Y é o módulo
(parte imaginária) é a suscetância ou
susceptância
(parte real) é a condutância
18
Divisor de corrente e tensão no domínio da freqüência
Impedâncias em série:
Vx
Z
 x
VT Z eq
 Vx 
Zx
.VT
Z eq
Impedâncias em paralelo:
I x Z eq Yx


IT
Z x Yeq
ou
Ix 
Z eq
Zx
.I T 
Yx
.I T
Yeq
Onde:
Vx = tensão no elemento “x”, ( V );
VT = tensão total aplicada ao circuito série ( V );
Zx = impedância do elemento “x”, (  );
Zeq = impedância equivalente do circuito, (  ).
Ix = corrente no elemento “x”, ( A );
IT = corrente total aplicada no circuito paralelo ( A ).
19
QUADRO SINTÉTICO
CIRCUITO NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
RESISTOR
RESISTOR
i
R
IMPEDÂNCIA
_
R
Z
+
v
Z  R  j 0
Z  R 0
ADMITÂNCIA
Y
GS 
Y  G  j 0 S 
Y  G 0 S 
Diagrama fasorial:
V
 

I

ref.
INDUTOR
INDUTOR
i + L _
+v
IMPEDÂNCIA
Z
j L
Z  0  j L
Z   L 90
ADMITÂNCIA
Y  0 j
Y
 jBL
Y
1
S 
L
1
 90 S 
L
Diagrama fasorial:
V
ref.
I
20
CAPACITOR
CAPACITOR
i
C _
IMPEDÂNCIA
Z  0 j
Z
+ v
 JXc
Z
ADMITÂNCIA
1

C
1
 90
C
Y
jBc
Y  0  j C S 
Y   C 90 S 
Diagrama fasorial:
I
v
ref.
RESISTOR E INDUTOR EM SÉRIE
R. L.
i
IMPEDÂNCIA
ADMITÂNCIA
+
R  Z  R  j L
_ vR
+
Z
jxL  Z  R  jxL 
vL
GS  Y  G  j
Y
1
S 
L
 jBL Y  G  jBL S 
_
Z  R 2  x L2 arctg
xL
R
Y  G 2  BL2  arctg
BL
G
Diagrama fasorial:
v


ref.

I
I se atrasa de V
( 0 90 )
21
RESISTOR E CAPACITOR EM SÉRIE
R. C.
i
IMPEDÂNCIA
ADMITÂNCIA
+
R  Z  R  j
_ vR
+
GS  Y  G  j CS 
1

C
Z
Y
1

j
C
Z  R  jxC 
vC
j C Y  G  jBC S 
_
Z  R 2  xC2  arctg
xC
R
Y  G 2  BC2 arctg
BC
G
Diagrama fasorial:
I


ref.

V
I se adianta de V
(  90 0 ).
O ângulo de impedância é o ângulo do qual a tensão de entrada avança com relação à
corrente de entrada, contanto que esse ângulo seja positivo. Se ele for negativo, então
a corrente avança com relação à tensão.
22