III Seminário da Pós-graduação em Engenharia Elétrica

III Seminário da Pós-graduação em Engenharia Elétrica
MODELAGEM DE TRANSFORMADORES DE CORRENTE PARA USO EM
ESTUDOS DE PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS
Fernando de Almeida Borges
Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica – Unesp – Bauru
Prof. Dr. José Alfredo Covolan Ulson
Orientador – Depto de Engenharia Elétrica – Unesp – Bauru
RESUMO
Os sistemas de proteção, medição e controle das concessionárias de energia elétrica
utilizam transdutores eletromagnéticos de tensão e corrente para adequar as grandezas
elétricas de interesse em níveis aceitáveis e necessários para relés de proteção e medidores de
energia em geral. A não linearidade da corrente e a presença de frequências diferentes da
fundamental provenientes de transitórios motivaram esse estudo o qual buscou o
entendimento e modelagem da função de transferência entre as correntes secundária e
primária. Partindo do levantamento de dados em ensaios de laboratório de um dado
Transformador de Corrente determinou-se a matriz de admitância proposta como modelo em
função da frequência e em seguida a função de transferência também como função da
frequência utilizando o Algoritmo “Vector Fitting”. Como resultado obteve-se uma função
analítica que foi utilizada na estimação de correntes secundárias quando da aplicação de
correntes primárias com frequências fundamental e múltiplas. O trabalho teve um resultado
positivo em relação ao seu objetivo promovendo o levantamento do comportamento da
relação entre as correntes primária e secundária e mostrando um método factível para a
modelagem da resposta dos Transformadores de Corrente como função da frequência.
PALAVRAS-CHAVE: Resposta em frequência, Transformador de corrente, “Vector
Fitting”.
1 INTRODUÇÃO
1.1 Motivação
A utilização de um modelo simplificado de transformador de corrente é útil
basicamente para seu dimensionamento, mas não é completo o suficiente para ser utilizado em
análises em que haja a presença de transitórios eletromagnéticos e para prever saturação e seus
efeitos com exatidão. Os métodos de classificação determinam a tensão nominal secundária
dos TC’s são baseados em cargas de valores padronizados e medições de tensão e corrente em
60 Hz.
Em condições reais, os profissionais interessados em dimensionar e entender o real
comportamento de tais equipamentos é necessário ir além do constante em normas e guias de
aplicação. Esse comportamento é complexo uma vez que é dependente das condições de
instalação em campo e difícil de ser levantado tendo em vista as grandes correntes necessárias
de ser injetadas no enrolamento primário.
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Estudos realizados por fabricantes de relés de proteção a respeito desse
comportamento, muitos em conjunto com universidades, não são divulgados. Constituem o
segredo do bom funcionamento de seu produto e são utilizados na criação de algoritmos de
filtragem ou compensação de distorções na corrente secundária. São informações que seriam
primordiais para o entendimento e teste de relés de proteção, mas que não estão disponíveis.
Nesse contexto situa-se o trabalho em questão que busca uma modelagem dos
transformadores de corrente que leva em consideração o comportamento de sua relação de
transformação em função da frequência. A base para tal desenvolvimento está focada na
abordagem na qual o levantamento do modelo de um dado dispositivo elétrico é realizado pela
varredura em frequência e tem sido utilizada, por exemplo, para obtenção da matriz de
admitância de transformadores de potência.
O emprego do algoritmo “Vector fitting” tem sido utilizado para se obter uma soma
de frações parciais com pólos estáveis, criando um modelo no domínio da frequência de
ordem tal que represente o objeto de estudo em uma ampla gama de frequências de interesse.
1.2 Objetivos
O objetivo desta pesquisa foi a identificação de um modelo paramétrico que
represente o comportamento de um transformador de corrente em frequências acima da
fundamental. Mais especificamente, a partir de ensaios laboratoriais para o levantamento da
resposta em frequência, um algoritmo de regressão “Vector fitting” identificou uma soma de
frações parciais que pode ser usada em simulações de sistemas elétricos de potência, estudos
de transitórios eletromagnéticos, de proteção, de qualidade de energia, dentre outras
aplicações.
1.3 Referencial Teórico
Os modelos clássicos de transformadores de corrente são a base da discussão nas
normas e guias de aplicação existentes. Os próprios métodos que regem o dimensionamento,
para a aplicação em sistemas de proteção, levam em conta as resistências e indutâncias,
primárias e secundárias, bem como se baseiam na curva de saturação expressa em termos de
tensão e corrente. A padronização das tensões de saturação e a definição das classes são
realizadas com base em cargas padrão ligadas ao seu secundário e ensaios para levantamento
da curva de saturação característica. A tensão de joelho na curva de saturação é associada a
corrente 20 vezes a corrente nominal primária quando em seu secundário está ligada a carga
padrão.
O comportamento em regime permanente pode ser modelado na forma de um circuito
equivalente, como o mostrado na Figura 1 (IEEE GUIDE, 1996).
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RS
C orrente
Primária
XL
ZE
ZB
Figura 1 – Circuito Equivalente para o TC – 60 Hz
VS
VB
IP
ZE
IST
RS
IS
XL
IE
N2 : N1
ZB
Tensão Secundária
Tensão Terminal na Carga
Corrente Primária
Impedância de Excitação
Corrente Secundária Total
Resistência Secundária do Transformador de Corrente
Corrente Secundária na Carga
Reatância de Dispersão Secundária do Transformador de Corrente
Corrente de Excitação
Relação entre Espiras Secundárias e Primárias
Impedância de Carga (Incluindo impedâncias dos fios e dispositivos ligados)
Os guias de aplicação, baseados nas leis dos circuitos elétricos e nos padrões
construtivos característicos dos transformadores de corrente, exprimem e indicam como eles
devem ser dimensionados. São levados em consideração (IEEE GUIDE, 1996; ZOCHOLL;
SMAHA, 1992):
 A corrente de curto circuito do ponto de instalação do TC;
 A relação X/R da corrente de curto circuito;
 A impedância total ligada ao circuito secundário, que é a soma da impedância própria
secundária, a impedância dos cabos de ligação e a impedância de carga do equipamento
ligado.
Para que a conversão da corrente esteja dentro da exatidão esperada e especificada,
tem-se:
 Considerando a componente simétrica da corrente de curto circuito, deve-se manter o
produto da corrente secundária pela impedância secundária total menor que a tensão de
saturação;
 Considerando também o efeito da componente dc da corrente de curto circuito, deve-se
manter o produto da corrente secundária, da impedância secundária total e do fator (1 +
X/R) menor que a tensão de saturação.
Toda essa discussão é válida levando em conta tensões e correntes na freqüência
fundamental, 60 Hz. A questão é saber qual o verdadeiro papel dos transformadores de
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corrente no desempenho, seja de relés de proteção ou equipamentos de medição, em
condições adversas, diferentes das condições de teste ou de classificação.
Existem situações distintas a ser analisadas:
 A conversão de corrente pode estar sujeita a sinais, de corrente primária, distorcidas e
com diferentes frequências, provenientes de transientes no sistema de potência. A corrente
distorcida é externa (primária) e pode tomar valores que levem ou não o núcleo à
saturação;
 A conversão de corrente pode estar sujeita a sinais, de corrente primária, senoidais
com pouca ou muita componente dc, com valores tal que levam a ultrapassagem da tensão
de saturação e geração de corrente distorcida secundária.
É sensato esperar que esse papel varie de acordo com o equipamento que o TC esteja
alimentando, seja um relé de sobrecorrente, um relé de distância ou diferencial, ou um
medidor de qualidade da energia. Mas, parte do entendimento necessário pode ser obtido por
meio de ensaios de laboratório com o intuito de obter a matriz de admitância no domínio da
freqüência. Esta técnica tem sido utilizada para obtenção de modelos para transformadores
trifásicos e mesmo, TC’s. É uma técnica que se mostra viável em auxiliar no levantamento de
interesse, mas também apresenta dificuldades em retratar o efeito do núcleo magnético em
regiões não lineares (GUSTAVSEN, 2003).
O algoritmo “Vector Fitting” é um código de domínio público que lineariza a
solução do problema de ajustar uma função (composta por frações parciais) de transferência
no domínio da frequência. É uma alternativa à utilização da convolução de grandezas
terminais (por exemplo, tensões nodais) ou à resposta impulsiva (GUSTAVSEN,1999). O
processo de ajuste com aproximação por frações parciais também foi abordado em
(MORCHED; MARTI; OTTEVANGERS, 1993) com a proposta da geração de um modelo
que pode ser expresso pela soma de ramos RL, RC e RLC para cada elemento da matriz de
admitância equivalente, resultando em uma ferramenta útil para uso em EMTP
(ElectroMagnetic Transients Program).
No ensaio de verificação do erro de relação percentual de um TC de proteção é
utilizada uma técnica que consiste em deixar o enrolamento primário aberto e, pela aplicação
de tensões previamente calculadas, em seu secundário, faz-se circularem correntes na
impedância de magnetização de forma a levantar a curva característica de saturação do núcleo
magnético expressa em tensão e corrente (FILHO, 1997). Aplicando este mesmo raciocínio
em outras frequências podemos levantar a curva característica de saturação em uma gama de
frequências de interesse e verificar se o comportamento é alterado.
2 METODOLOGIA
2.1 Aspectos gerais
Trata-se de uma pesquisa que conciliou o ensaio de laboratório e o processamento
computacional com o intuito de converter as informações de interesse em um modelo
dinâmico de transformadores de corrente. O ensaio consistiu na aplicação de tensões no
circuito secundário do TC ensaiado com as respectivas tensões e correntes, primárias e
secundárias sendo coletadas, em módulo e ângulo.
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Foram ensaios semelhantes aos aplicados em transformadores de potência (circuito aberto e
curto circuito), repetidos em 56 frequências distribuídas logaritmicamente entre 10Hz e 20
MHz.
2.2 Equipamentos Empregados
Para a coleta de dados, serão empregados os seguintes equipamentos:
 Gerador de Funções Agilent LXI, Arbitrary Waveform Generator, 33220A, 20
MHz;
 Osciloscópio Tektronix TDS 1001B, Two Channel, Digital Storage, 40 MHz, 500
MS/s;
 Transformador de Corrente, Fabricante Soltran, 10B100, 1200 – 5A, Classe 15
kV;
 Resistor shunt para medição de corrente. Valor 1,1 ohms;
 Resistor shunt para medição de corrente. Valor 5,6 ohms.
Para o desenvolvimento do processamento computacional foram utilizados o
Matlab/Simulink® e o algoritmo “Vector Fitting”.
2.3 Aspectos metodológicos
A Figura 2 mostra circuito equivalente proposto para o equacionamento do
transformador de corrente.
Figura 2 – Circuito Equivalente Proposto para o Transformador de Corrente - (ZM
resistência de limitação de corrente)
Com a utilização do Método das Tensões Nodais, o equacionamento do circuito
elétrico da Figura 2 resulta, matricialmente:
(1)
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Onde:
, admitância Yij relativa à impedância Zij.
O objetivo foi a obtenção dos elementos da matriz de admitância através de
medições, das tensões e correntes em laboratório. Para tal foram realizados ensaios de curto
circuito e de circuito aberto, repetidamente, entre 10 Hz e 20MHz. As tensões secundárias,
aplicadas como fonte de excitação foram escolhidas dentro da faixa de operações linear do
TC, ou seja, em um ponto próximo ao seu ponto nominal de operação que corresponde a uma
corrente no enrolamento secundário de 5A, em 60 Hz.
Com esse procedimento obteve-se a matriz de admitância (módulo e ângulo dos
elementos) como função da frequência.
2.3.1 Ensaio de Curto Circuito - Excitação no Secundário
Aplicando um curto circuito, tendendo V1  0 em (1) e medindo I1,I2,V1 e V2, temse:
(
(2)
(
(3)
2.3.2 Ensaio de Circuito Aberto - Excitação no Secundário
Abrindo o circuito, fazendo I1 = 0 em (1) e medindo V1 e V2, tem-se:
(
(4)
2.3.3 Função de Transferência
Com os elementos da matriz de admitância procede-se o equacionamento da função
de transferência como segue. A Figura 3 mostra o circuito equivalente proposto para o TC
alimentando uma carga denominada Zcarga.
Figura 3 – Circuito Equivalente Proposto para o TC com Carga Zcarga
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Com a utilização do Método das Tensões Nodais, o equacionamento do circuito
elétrico da Figura 3 resulta:
(
(5)
Isolando V1 na segunda equação do sistema (5) e utilizando os termos admitância,
tem-se:
(
(6)
Substituindo (6) na primeira equação do sistema (5) tem-se:
(
(7)
Chamando:
(
(8)
E, substituindo (8) em (7), tem-se:
(
(9)
A equação (9) é a função de transferência objeto do estudo em questão, e que
representa a conversão da corrente primária em corrente secundária no TC. Trata-se de uma
expressão no domínio da frequência que pode ser utilizada para o estudo do comportamento,
no domínio do tempo, de TC’s quando submetidos a sinais com espectro de frequência entre
10 Hz e 20 MHz.
2.3.4 Vector Fitting
O algoritmo “Vector Fitting” consiste de um método de ajuste de respostas em
frequência (medidas ou calculadas) em uma expansão de frações parciais. Trata-se de uma
forma de aproximar a resposta em frequência por uma expressão matemática representativa,
semelhante a um ajuste polinomial para representação de um conjunto de pontos.
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O método fornece uma expansão em frações parciais conforme a equação (10):
(
(10)
Onde:
cn e an são resíduos e pólos, que podem ser números reais ou pares de
complexos conjugados; d e h são números reais; N é a ordem escolhida para o ajuste.
3 RESULTADOS E DISCUSSÃO
A Figura 4 mostra graficamente o resultado do levantamento em laboratório após
realizados os cálculos expostos anteriormente. Esta Figura mostra em módulo e ângulo a
função de transferência expressa na Equação 9.
Figura 4 – Relação I2/I1 em Função da Frequência
Com a aplicação do “Vector Fitting” foi encontrada uma função analítica no
domínio da frequência que ajusta o comportamento medido e calculado. Nas Figuras 5 e 6
estão, graficamente, os resultados do ajuste.
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Figura 5 – Gráfico da Função a ser Aproximada, Curva Ajustada e Diferença entre
Ambas (Módulo de I2/I1)
Figura 6 – Gráfico da Função a ser Aproximada e Curva Ajustada (Ângulo de
I2/I1)
Os elementos da matriz de admitância Y11, Y12 e Y22 calculados a partir dos dados de
laboratório mostraram que a dependência entre seus módulos e ângulos em relação à
frequência não é constante em toda a faixa analisada.
A função de transferência I2/I1 do transformador de corrente também se mostrou não
constante em todo o intervalo. Com o aumento da frequência pode ser observado que módulo
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e ângulo se mantiveram praticamente constantes até 100 kHz e apresentaram variação entre
este valor e 20 MHz de acordo com a Figura 4.
Esse resultado mostrou que para componentes de frequência acima de 100 kHZ podese esperar que o sinal de corrente secundária não seja uma representação fiel à corrente
primária, sofrendo alteração em módulo e ângulo em relação ao nominal.
4 CONCLUSÕES
O objetivo do trabalho foi alcançado no que tange a medição, observação e análise
qualitativa do comportamento do transformador de corrente em função da frequência, bem
como a utilização do “Vector Fitting” para a obtenção de uma função analítica que
representasse o Transformador de Corrente em uma dada gama de frequências.
A função de transferência entre as correntes primária e secundária, a expressão
analítica, foi elaborada a partir dos dados de laboratório e o estudo da resposta no domínio do
tempo mostrou que esta função é capaz de reproduzir o comportamento levantado nos ensaios.
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
FILHO, S. de M. Medição de Energia Elétrica, 4ª edição, Livros Técnicos e Científicos,
Editora S.A, 1997.
GUSTAVSEN, B. Application of Vector Fitting to High Frequency Transformer
Modeling, International Conference on Power Systems Transients, New Orleans, USA, 2003.
GUSTAVSEN, B.; SEMLYEN, A. Rational Approximation of Frequency Domain
Responses by Vector Fitting, IEEE Transactions on Power Delivery, vol.14, n. 3, pp. 10521061, July 1999.
INSTITUTE OF ELECTRICAL AND ELECTRONICS ENGINEERS. Std C37.110: IEEE
Guide for the Application of Current Transformers Used for Protective Relaying
Purposes, 1996.
MORCHED, A.; MARTI, L; OTTEVANGERS, J.A High Frequency Transformer Model
for the EMTP, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 8, n. 3, July 1993.
ZOCHOLL, S. E.; SMAHA, D. W. Current Transformer Concepts. Schweitzer
Engineering Laboratories, Inc., Pullman, WA USA, 1992.