Exercícios de Estimação Pontual

1. Seja (X1, X2,...,Xn) uma amostra aleatória, com E[X] = µ e Var[X] = σ2. Mostre
n
que o enviesamento de S n 2 =
n
enviesamento de S n −12 =
∑( X
i =1
i
∑( X
i =1
−X)
i
−X)
2
n
é dado por −
σ2
n
e que o
2
n −1
é 0.
2. Sejam T1 e T2 dois estimadores não enviesados e independentes do parâmetro θ.
Sabendo que a variância de T1 é dupla da variância de T2, determine o valor das
constantes a1 e a2 para que T=a1T1+a2T2 seja estimador não enviesado do
parâmetro θ e com a menor variância possível.
3. Seja (X1, X2,...,Xn) uma amostra aleatória de tamanho n proveniente de uma
população de valor médio µ e variância σ2. Sejam X 1 e X 2 dois estimadores
n
propostos para o valor médio: X 1 =
∑X
i =1
n
i
n
e X2 = ∑
i =1
2iX i
.
n2 + n
a) Mostre que os estimadores são centrados
b) Mostre que X 1 é mais eficiente que X 2 , para n>1.
n(n + 1) n 2 n(n + 1)(2n + 1)
,∑i =
Sugestão: ∑ i =
2
6
i =1
i =1
n
4. Seja (X1, X2,...,Xn) uma amostra aleatória de uma população cuja função
densidade é dada por
− ( x −θ )
; x ≥ −θ, θ>0
e
f ( x) = 
0; caso contrário
a) Mostre que θˆ 1 = 1 − X é um estimador não enviesado e consistente de θ.
b) Determine o estimador de θ pelo método dos momentos e pelo método de
máxima verosimilhança.
5. Estime, pelo método da máxima verosimilhança o(s) parâmetro(s) da
distribuição:
a) Exponencial.
b) Normal.
c) Geométrica.
d) Weibull com parâmetro de escala conhecido.
6. Relativamente ao exercício anterior, obtenha estimativas de máxima
verosimilhança para E(X) nas alíneas a) e c).
7. Sejam θ̂1 e θ̂2 dois estimadores centrados de θ, obtidos independentemente.
Mostre que qualquer combinação linear dos dois estimadores é um estimador
centrado de θ.
8. Considere uma variável aleatória X que toma os valores 0, 1 e 2. Sabendo que
P(X=0)=P(X=1)=θ:
a) Estime o valor de θ pelo método dos momentos.
b) Classifique o estimador encontrado relativamente ao enviesamento e
consistência.
c) Para a amostra aleatória (0, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 0) calcule uma estimativa
de máxima verosimilhança de θ.
9. Considere uma amostra aleatória de uma população com função densidade
f ( x | θ ) = θe −θ πx , −∞ < x < +∞ . Obtenha o estimador de máxima verosimilhança
2
2
do parâmetro θ.
10. Suponha que uma marca de automóveis pretende conhecer a proporção p de
pessoas que possuem automóveis dessa marca numa determinada cidade. Para o
efeito é seleccionada aleatoriamente uma amostra de tamanho 200 e são
utilizados os estimadores
p1 = X 200 e p2 =
X 1 + 4 X 200
5
a) Classifique os estimadores quanto ao enviesamento e consistência.
b) Calcule a variância mínima de um estimador centrado de p.
c) Mostre que p1 é o estimador mais eficiente de p.
11. Considere a v.a. X com função densidade
f ( x | α) =
x
 x
exp  −  , x > 0 .
2
α
 α
que representa o tempo de vida de uma componente electrónica. Suponha que
três dessas componentes foram seleccionadas aleatoriamente, tendo revelado os
tempos de vida 1200, 1300 e 1280 horas.
a) Determine uma estimativa de α.
b) Determine as estimativas de E(X) e Var(X).
c) Classifique o estimador obtido.
12. A altura máxima das ondas durante um ano, em determinado local, é uma
variável aleatória com função densidade
 x2 
x
f ( x | θ ) = exp  −  , x > 0 (θ > 0)
θ
 2θ 
a) Determine o estimador de máxima verosimilhança para θ.
b) Sabendo que X2 tem distribuição exponencial de média 2θ, calcule a
quantidade de informação de Fisher.
c) Mostre que o estimador obtido em a) é centrado e investigue a sua
eficiência.
d) Com base na amostra dos últimos 6 anos (3.1, 2.4, 2.6, 2.2, 1.9, 2.8),
calcule uma estimativa para a probabilidade da altura máxima das ondas
durante uma ano ser superior a 2.5 metros.
13. De uma população com função massa de probabilidade dada por
f ( x | θ) =
2 (1 − θ )
x −1
θ2− x
x(1 + θ)
, x = 1, 2 (θ > 0)
retirou-se uma amostra aleatória.
a) Obtenha o estimador de máxima verosimilhança para θ
b) Sabendo que
E( X ) =
2
2θ(1 − θ)
, mostre que X
; Var ( X ) =
2
1+ θ
(1 + θ )
é o
estimador de máxima verosimilhança para E(X) e analise a sua
consistência.
14. Com base numa amostra aleatória (X1, X2, X3) de uma população exponencial,
foram propostos os seguintes estimadores para estimar a média:
T1 = X 1 ; T2 =
X1 + X 2
X + 2X2
; T3 = 1
; T4 = X
2
3
a) Classifique os estimadores quanto ao enviesamento.
b) Calcule a eficiência relativa dos estimadores.
c) Mostre que T4 é uma estatística suficiente.
15. Mostre que a média amostral é estimador MVB do parâmetro de uma
distribuição de Poisson.
16. Seja (X1, X2,...,Xn) uma amostra aleatória de uma população normal com media
µ e variância unitária. Mostre que
n
∑X
i =1
i
é estatística suficiente para µ.
17. Seja (X1, X2,...,Xn) uma amostra aleatória de uma população normal com media
n
nula. Mostre que σˆ 2 =
∑X
i =1
2
i
n
é estimador MVB da variância.
18. Seja (X1, X2,...,Xn) uma amostra aleatória de uma população de Poisson de
parâmetro λ. Mostre que
n
∑X
i =1
i
é estatística suficiente para λ.
19. Considere uma amostra aleatória (1, 3, 2) de uma população com função
densidade
f ( x | θ ) = 1, θ −
1
1
≤ x≤θ+
2
2
( −∞ < θ < +∞ )
Obtenha estimativas de máxima verosimilhança de E(X) e de Var(X).
20. Suponha que o controlo na recepção de determinadas peças se faz através da sua
classificação em pequenas, normais e grandes. Admita, ainda, que as proporções
teóricas são, respectivamente, 0.05, 0.90 e 0.05. Suspeitando-se que houve um
aumento da dispersão e que as proporções passaram a ser 0.05+θ, 0.90-2θ e
0.05+θ, analisaram-se 5000 peças obtendo-se 278 pequenas, 4428 normais e 294
pequenas. Estime θ pelo método da máxima verosimilhança.