Slide 1 - GEOCITIES.ws

DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
AMOSTRA
POPULAÇÃO
PRINCIPAIS CONCEITOS
Inferência ou indução estatística: processo de
obter informações sobre uma população com base
em resultados observados em amostras aleatórias
X = variável da população

ˆ
característica de x que se quer conhecer (desconhecido)
estimador de  obtido à partir da amostra
ESTIMADOR OU ESTATÍSTICA
Dada uma amostra aleatória (x1, x2,...xn) estimador
ou estatística é qualquer variável aleatória função dos
elemento amostrais.
ˆ  f ( x1  x 2  ..., x n )
Estimativa = valor numérico de um estimador
Distribuição amostral: o parâmetro populacional
(por exemplo, a média µ ) é constante – seu valor
não se altera de amostra para amostra. O valor na
amostra é dependente da amostra selecionada,
cada amostra revelará um diferente valor para a
média.
Como o valor do estimador (as estimativas) variam
de amostra para amostra e a inferência
estatística baseia-se no estimador, é necessário
conhecer a distribuição de probabilidade da
amostra.
Á partir da distribuição de probabilidade do
parâmetro, tem-se condições de avaliar o grau de
incerteza das inferências estatísticas realizadas
à partir de amostras aleatória.
Processo de construção da distribuição de
um estimador
Distribuição
amostral de
θ̂1
n
ˆ 2
n
n
n
ˆ3
ˆ 4
ˆ
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS
MÉDIAS
ESTIMADOR DA MÉDIA POPULACIONAL
X

X 
i
n
Teorema 1
A média da distribuição amostral das médias,
denotada por µ (x), é igual à média populacional µ. Isto é:
X   (x )   
Teorema 2
Se a população é infinita, ou se a amostragem é com
reposição, então a variância da distribuição amostral das
médias, denotada por 2(x), é dada por:
 2 (x) 
2
n
Teorema 3
Se a população é finita, ou se a amostragem é sem
reposição, então a variância da distribuição amostral
das médias, denotada por 2(x), é dada por:
 2 (x) 
 2  N n


n  N 1 
Teorema do limite central
Se a população tem ou não distribuição normal com
média µ e variância 2, então a distribuição das
amostras será normalmente distribuída.
ESTIMATIVAS POR PONTO E
INTERVALOS DE CONFIANÇA
Parâmetros Populacionais
Média = µ
Desvio padrão = 
Proporção de determinado evento = p
Métodos
Estimação: determinação de estimativas dos
parâmetros populacionais
Testes de Hipóteses: tomada de decisão
relativa ao valor de um parâmetro populacional
Estimativa por Ponto
Quando com base nos dados amostrais calcula-se
um valor da estimativa do parâmetro populacional.
A média amostral é uma estimativa por ponto da
média populacional. De maneira análoga o desvio
padrão amostral constitui uma estimativa do
parâmetro .
Estimativa por Intervalo
Uma estimativa por intervalo para um parâmetro
populacional é um intervalo determinado por dois
números, obtidos à partir de elementos amostrais
que se espera contenham o valor do parâmetro
com dado nível de confiança ou probabilidade de
(1-)%. Geralmente (1-)% = 90%.
Se o comprimento do intervalo é pequeno, tem-se
um elevado grau de precisão da inferência
realizada. As estimativas dessa natureza são
denominadas intervalos de confiança.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A
MÉDIA POPULACIONAL
1. Quando a variância é conhecida. Fixando um nível de
confiança (1-) tem-se:
Determinar dois pontos, a=Z1 e b=Z2, tais que:


x
P  Z  
 Z


2
2

n



  1







  1
P x  Z 
   x  Z

n
n
2
2


1. Quando a variância é desconhecida.
Quando se tem pequenas amostras e não se
conhece o valor do desvio padrão populacional,
pode construir intervalos de confiança para a
média a partir da fórmula expressa a seguir. Para
tanto é necessário que a população de onde foi
extraída a amostra tenha distribuição normal.
Não se pode usar Z, porque  é desconhecido. Um
procedimento lógico consiste em substituir  por
S (desvio padrão amostral).
Mas qual o efeito de se fazer isso?
Se n for grande (n>30, em geral)
pode-se
mostrar que o efeito é pequeno e tem-se:
x
Z
S
n
Ou seja o intervalo de confiança é calculados
exatamente
como
no
exemplo
anterior
substituindo-se  por S.
2 Se n<30 o problema não é solúvel no caso geral. Se
X~N(µ, 2) o seguinte teorema fornece o resultado
pretendido:
Seja (X1,...Xn) uma variável aleatória duma população
X~N(µ, 2). A variável aleatória
X 
T
S
n
tem distribuição t com n-1 graus de liberdade
O intervalo para a média, quando a variância é
desconhecida é

S
S 
  1
P X  t  
   X  t 

n
n
2
2

