probabilidade -na é

l Experiência aleatória - experiência cujo resultado não é conhecido
antecipadamente;
l O espaço de resultados, S, é o conjunto de todos os resultados
possíveis de uma experiência aleatória:
¡ Lançamento de uma moeda, duas moedas;
¡ Lançamento de um dado, dois dados;
¡ Medição de temperatura atmosférica.
l Evento – sub-conjunto E do espaço de estados
l Probabilidade de um determinado evento ? E contido em S, E=S
l S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}, E = {(1, 1), (2, 2)} e F = {(1, 1), (2, 1)},
resulta P(EÈF) ?
l Uma variável aleatória (v.a.) é uma função que atribui um número
real (entre -¥ e + ¥) a cada ponto do espaço de resultados S.
l Função distribuição da v.a. X é F(x)=P(X £ x), - ¥ < x < + ¥
l Uma v.a. diz-se discreta se puder tomar, quando muito, um número
contável de valores x1, x2, ..., xn.
l Define-se função probabilidade da v.a. discreta X por
p(xi) = P(X = xi) para i = 1, 2, ...
l Função distribuição para v.a. discretas:
todo - ¥ < x < + ¥
F(x ) =
å p(x )
xi £x
i
para
l Variável aleatória de Bernoulli
¡ p(0) = P(X = 0) = 1 - p
¡ p(1) = P(X = 1) = p, onde p, 0 £ p £ 1, é a probabilidade de sucesso.
l Variável aleatória binomial: sequência de n experiências de
Bernoulli independentes, cada uma das quais resulta em sucesso
com probabilidade p ou em insucesso com probabilidade 1 - p; se
X representar o número de sucessos em n experiências a função
probabilidade é
æ nö i
n -i
¡ p( i ) = ç ÷ p (1 - p)
èiø
i = 0, 1, ..., n onde
æ nö
n!
ç ÷=
è i ø ( n - i ) !i !
l Variável aleatória geométrica: realizadas experiências de Bernoulli
independentes até que ocorra um sucesso; X representa número
de experiências até ao primeiro sucesso, função probabilidade é
¡ p( n )
= P{ X = n} = (1 - p)
n -1
p
,n = 1, 2, …
l f(x) é a função densidade da v.a. contínua X. X pode tomar um
número infinito não contável de valores.
b
¡ Interpretação para a função densidade:
P{ a £ X £ b} = ò f ( x ) dx
¡ Função distribuição para v.a. contínuas:
F ( x ) = P( X Î[ - ¥, x ]) =
a
x
ò f ( y )dy
-¥
l Distribuição uniforme: v.a. uniformemente distribuída no intervalo
(a,b) se a função densidade é dada por
ì1 /(b - a ), a < x < b
f (x ) = í
î0, otherwise
l Distribuição Normal ou Gaussiana: v.a. X tem uma distribuição
Normal ou Gaussiana com média m e variância s2 se a função
densidade é dada por
2
1
-( x - m )
f ( x) =
e
2ps
2s 2
Média, variância, covariância e
correlação
ì
ïïå x p ( x ) se X discreta
l Média
¥
¡ Variável aleatória
¡ Função
m=í
j =1
j
X
j
ï +¥ xf ( x ) dx se X continua
ïîò-¥ X
ìå g (x ) p(x ) se X discreta
ïï x
E[g ( X )] = í+ ¥
ï ò g (x ) f (x )dx seX contínua
ïî-¥
[
]
= E [( X - m )( X
l Variância
s 2 = E ( X - m) = E( X 2 ) - m 2
l Covariância entre Xi e Xj
Cij
l Correlação
rij =
2
i
C ij
si2s j2
i
j
- mj
)] = E [ X X ] - m m
i
j
i
j
ìle - lx ,
f ( x) = í
î0,
l Função densidade com parâmetro l:
ì1 - e - lx ,
F ( x) = í
î0,
l Função distribuição:
1
l Média
E[ X ] =
l Variância
Var ( X ) =
l
1
l2
l Distribuição exponencial não tem memória, s, t ³ 0
P{ X > s + t | X > t } = P{ X > s}
l Se X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes e
exponencialmente distribuídas com médias 1/l1 e 1/ l2
P{ X 1 < X 2 } =
l1
l1 + l2
x³0
x<0
x³0
x<0
l Função densidade de probabilidade: f (x ) =
bn b
x
b +1
, x ³n
¡ b é o parâmetro de forma e n o parâmetro de localização
l Distribuição de Pareto apresenta caudas mais longas
que a de exponencial, dependentes do parâmetro b.
¡ Quanto maior a cauda, maior a variância entre os valores
obtidos de uma distribuição de Pareto com a mesma média.
l
Processo de Poisson ocorre sempre que existe um grande
número de fontes que produzem eventos independentes com
probabilidade reduzida:
¡
l
l
Chegadas de pacotes numa rede IP.
O processo de Poisson pode obter-se a partir de um processo
binomial;
Função probabilidade de uma v.a. de Poisson com taxa l, em que
N(t) representa o número total de eventos que ocorreram até ao
instante t.
(
lt )i - lt
P[N (t ) = i ] =
e ,t ³ 0
¡ N(0)=0;
i!
¡
¡
Processo tem incrementos independentes;
Número de eventos num intervalo de duração t tem uma distribuição
de Poisson com média lt. Isto é, para todo s, t ³ 0
P{ N (t + s) - N ( s) = n} = e
n
(
)
l
t
- lt
n!