Segunda Prova de Estatística I

Segunda Prova de Estatística I
Mestrado/Doutorado em Economia - EPGE/FGV
Professor: Caio Almeida
Monitor: Marinho Bertanha
Data: 27/06/2008
Duração: 4 horas
Exercício 1 (1,5 ponto) Seja Xi
iid
P oisson (1), i = 1; : : : ; n, e Yn =
n
P
Xi .
i=1
(a) (0,75 ponto) De…na os três conceitos de convergência: quase-certa; em probabilidade; e em distribuição.
1
(b) (0,75 ponto) Encontre um valor para v e uma seqüência de reais fan gn=1
tal que nv (Yn an ) convirja em distribuição.
Exercício 2 (1,25 ponto) Suponha que você observa uma amostra aleatória a
iid
partir de Xi
P oisson ( ), i = 1; : : : ; n. Antes de olhar para seus dados, você
imagina que a distribuição para o parâmetro da Poisson seja
Gama ( ; ).
Dados os valores amostrais observados X = (X1 ; : : : ; Xn ) responda:
(a) (0,75 ponto) Qual é a nova distribuição para lambda? Calcule f
jX .
(b) (0,5 ponto) Calcule sua nova esperança e variância. Deixe sua resposta em
termos de E ( ) e V AR ( ).
Exercício 3 (1,75 pontos) Considere um aero-clube cujo terreno para aterrisagem de pára-quedistas seja quadrado de lado r , e que a densidade de probabilidade das quedas seja r12 sobre toda a propriedade. Suponha que as localizações
das quedas sejam independentes e que você possua registros delas para os últimos n saltos. Cada observação dessa amostra é um par (x; y), 0
x
r,
0 y r. Seu objetivo é estimar a medida do lado r do campo do aero-clube,
utilizando dois estimadores: (1) média simples entre os máximos de cada uma
das duas coordenadas; (2) maior valor entre os máximos de cada uma das duas
coordenadas.
(a) (1,0 ponto) Esses estimadores são viesados? Caso a…rmativo, como você
alteraria a fórmula de cada um deles para eliminar o viés?
(b) (0,75 ponto) Os novos estimadores não-viesados são consistentes? Destes
dois, qual é o estimador mais e…ciente?
1
Exercício 4 (2,0 pontos) Sejam X, Y variáveis aleatórias iid U [ 1; 1]. De…na
W = jY Xj e Z = Y + X.
(a) (1,0 ponto) Encontre a função densidade conjunta de (W; Z).
(b) (0,5 ponto) Encontre as funções densidade marginais de W e Z.
(c) (0,5 ponto) Utilizando seus resultados dos itens (a) e (b), calcule COV (W ; Z).
As variáveis W e Z são independentes?
1
1
Exercício 5 (1,75 ponto) Sejam fXn gn=1 , X, fYn gn=1 , Y variáveis aleatórias
de…nidas em um mesmo espaço de probabilidades ( ; F; P ).
Atenção: Não vale utilizar o Teorema de convergência da função contínua,
nem o Teorema de Slutsky!
QC
QC
QC
(a) (0,5 ponto) Sabendo que Xn ! X e Yn ! Y prove que Xn +Yn ! X +Y .
P
P
Agora, sabendo que Xn ! X e Yn ! Y prove que:
P
(b) (0,5 ponto) Xn + Yn ! X + Y .
P
(c) (0,75 ponto) Xn Yn ! XY .
Exercício 6 (1,75 ponto) Seja X1 ; :::; Xn uma amostra iid de uma população
1
com distribuição P (Xi = x) = x (1
)(1 x) , com x 2 f0; 1g; 0
2.
(a) (1,0 ponto) Encontre o estimador de Método dos Momentos e o estimador
de máxima verossimilhança.
(b) (0,75 ponto) Calcule o Erro Médio Quadrático de cada um destes estimadores. Baseado neste critério, qual estimador você escolheria?
2
INFORMAÇÕES
1. N ormal
;
2
: f (x) =
E (X) = ; V AR (X) =
p1
2
2
Onde B( ; ) =
E (X) =
2
; V AR (X) =
3. Beta ( ; ): f (x) =
+
2
(x
) para x 2 ( 1; 1).
.
2. Gama ( ; ): f (x) = ( 1) x
R1
Onde ( ) = 0 t 1 e t dt.
E (X) =
1
2
e
1
e
x
para x 2 (0; 1),
> 0,
> 0.
.
1
B( ; ) x
1
(1
x)
1
para x 2 (0; 1),
> 0,
> 0.
( ) ( )
( + ) .
; V AR (X) =
4. Cauchy ( ): f (x) =
5. Exp ( ): f (x) = 1 e
1
( + )2 ( + +1)
1
1+(x
x
E (X) = ; V AR (X) =
)2
.
para x 2 ( 1; 1),
para x 2 (0; 1),
2
> 0.
.
6. Bernoulli (p): P (X = x) =
1
x
e
x!
p, x = 1
, p 2 [0; 1].
p, x = 0
n
x
7. Binomial (n; p): P (X = x) =
[0; 1].
8. P oisson ( ): P (X = x) =
2 ( 1; 1).
px (1
n x
p)
, x 2 f0; 1; : : :g,
9. Geometrica (p): P (X = x) = p (1
3
x 1
p)
, x 2 f0; 1; : : : ; ng, p 2
> 0.
, x 2 f1; 2; : : :g, p 2 [0; 1].