Perguntas de Verdadeiro e Falso \(mini testes até 19\)
Propaganda
INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística I - Licenciatura em MAEG – 2º Ano PADEF – Junho 2005 Parte teórica – Prova 7532519 Nome: _____________________________________________________ Nº ________ 1. Perguntas de resposta fechada (2 valores) Para cada afirmação, assinale se esta é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Uma resposta certa vale 0.25 e uma resposta errada penaliza em idêntico valor. A precisão de um estimador pode ser avaliada pelo inverso da sua variância Um intervalo de confiança a 90% para µ é um intervalo que contém o verdadeiro valor de µ com probabilidade 0.90 O conceito de estimativa, na estimação pontual, tem paralelo no conceito de intervalo de confiança na estimação por intervalos Num universo normal de média µ conhecida e variância σ 2 desconhecida a expressão n S 2 / σ 2 define uma estatística Num universo de Poisson a conjectura Pr( X = 2) = 0.3 constitui uma hipótese estatística. A dimensão de um teste é o supremo da probabilidade de um erro de 1ª espécie Num teste em que o valor-p=0.025, não se rejeita H 0 ao nível de 1% mas rejeita-se ao nível de 5% O estimador de máxima verosimilhança goza da propriedade de ser o mais eficiente 2. Perguntas de resposta aberta (4 valores) As duas primeiras respostas têm a cotação máxima de 1 valor cada uma, e a terceira de 2 valores. As respostas devem ser dadas nos espaços previstos para o efeito. a. Defina o conceito de variável fulcral: ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ b. Prove que S 2 é um estimador enviesado de σ 2 e calcule o seu grau de enviesamento, sendo S 2 a variância de uma amostra casual simples de dimensão n e σ 2 a variância do universo que se admite existir ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ c. Sejam T1 e T2 dois estimadores independentes do parâmetro θ de uma população X . Considere que os dois estimadores são centrados e têm variâncias conhecidas, σ 12 e σ 22 respectivamente. Mostre que o estimador T = α T1 + (1 − α ) T2 , α constante, é centrado e determine o valor de α por forma a minimizar o erro quadrático médio ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística I - Licenciatura em MAEG – 2º Ano PADEF – Junho 2005 Parte teórica – Prova 5376628 Nome: _____________________________________________________ Nº ________ Perguntas de resposta fechada (2 valores) 1. Para cada afirmação, assinale se esta é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Uma resposta certa vale 0.25 e uma resposta errada penaliza em idêntico valor. Num universo normal de média µ conhecida e variância σ 2 desconhecida a expressão n S 2 / σ 2 define uma estatística O estimador de máxima verosimilhança goza da propriedade de ser o mais eficiente Num universo de Poisson a conjectura Pr( X > 2) = 0.3 constitui uma hipótese estatística A precisão de um estimador pode ser avaliada pelo inverso da sua variância A dimensão de um teste é o supremo da probabilidade de um erro de 1ª espécie Um intervalo de confiança a 90% para µ é um intervalo que contém o verdadeiro valor de µ com probabilidade 0.90 Num teste em que o valor-p=0.005, não se rejeita H 0 ao nível de 1% mas rejeita-se ao nível de 5% O conceito de estimativa, na estimação pontual, tem paralelo no conceito de intervalo aleatório na estimação por intervalos 2. Perguntas de resposta aberta (4 valores) As duas primeiras respostas têm a cotação máxima de 1 valor cada uma, e a terceira de 2 valores. As respostas devem ser dadas nos espaços previstos para o efeito. a. Defina o conceito de variável fulcral: ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ b. Prove que S 2 é um estimador enviesado de σ 2 e calcule o seu grau de enviesamento, sendo S 2 a variância de uma amostra casual simples de dimensão n e σ 2 a variância do universo que se admite existir ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ c. Sejam T1 e T2 dois estimadores independentes do parâmetro θ de uma população X . Considere que os dois estimadores são centrados e têm variâncias conhecidas, σ 12 e σ 22 respectivamente. Mostre que o estimador T = α T1 + (1 − α ) T2 , α constante, é centrado e determine o valor de α por forma a minimizar o erro quadrático médio ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística I - Licenciatura em MAEG – 2º Ano PADEF – Junho 2005 Parte teórica – Prova 8965731 Nome: _____________________________________________________ Nº ________ Perguntas de resposta fechada (2 valores) 1. Para cada afirmação, assinale se esta é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Uma resposta certa vale 0.25 e uma resposta errada penaliza em idêntico valor. O conceito de estimativa, na estimação pontual, tem paralelo no conceito de intervalo de confiança na estimação por intervalos A dimensão de um teste é o supremo da probabilidade de um erro de 1ª espécie A precisão de um estimador pode ser avaliada pelo inverso da sua variância Num universo normal de média µ e variância σ 2 desconhecidas a expressão n S 2 / σ 2 define uma estatística Num teste em que o valor-p=0.015, não se rejeita H 0 ao nível de 1% mas rejeita-se ao nível de 5% Um intervalo de confiança a 90% para µ é um intervalo que contém o verdadeiro valor de µ com probabilidade 0.90 Num universo de Poisson a conjectura Pr( X = 3) = 0.3 constitui uma hipótese estatística O estimador de máxima verosimilhança goza da propriedade de ser o mais eficiente 2. Perguntas de resposta aberta (4 valores) As duas primeiras respostas têm a cotação máxima de 1 valor cada uma, e a terceira de 2 valores. As respostas devem ser dadas nos espaços previstos para o efeito. a. Defina o conceito de variável fulcral: ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ b. Prove que S 2 é um estimador enviesado de σ 2 e calcule o seu grau de enviesamento, sendo S 2 a variância de uma amostra casual simples de dimensão n e σ 2 a variância do universo que se admite existir ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ c. Sejam T1 e T2 dois estimadores independentes do parâmetro θ de uma população X . Considere que os dois estimadores são centrados e têm variâncias conhecidas, σ 12 e σ 22 respectivamente. Mostre que o estimador T = α T1 + (1 − α ) T2 , α constante, é centrado e determine o valor de α por forma a minimizar o erro quadrático médio ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística I - Licenciatura em MAEG – 2º Ano PADEF – Junho 2005 Parte teórica – Prova 6457842 Nome: _____________________________________________________ Nº ________ 1. Perguntas de resposta fechada (2 valores) Para cada afirmação, assinale se esta é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Uma resposta certa vale 0.25 e uma resposta errada penaliza em idêntico valor. O estimador de máxima verosimilhança goza da propriedade de ser o mais eficiente Num universo de Poisson a conjectura Pr( X > 2) = 0.3 constitui uma hipótese estatística Um intervalo de confiança a 90% para µ é um intervalo que contém o verdadeiro valor de µ com probabilidade 0.90 Num teste em que o valor-p=0.015, não se rejeita H 0 ao nível de 1% mas rejeita-se ao nível de 5% Num universo normal de média µ e variância σ 2 desconhecidas a expressão n S 2 / σ 2 define uma estatística A precisão de um estimador pode ser avaliada pelo inverso da sua variância A dimensão de um teste é o supremo da probabilidade de um erro de 1ª espécie O conceito de estimativa, na estimação pontual, tem paralelo no conceito de intervalo aleatório na estimação por intervalos 2. Perguntas de resposta aberta (4 valores) As duas primeiras respostas têm a cotação máxima de 1 valor cada uma, e a terceira de 2 valores. As respostas devem ser dadas nos espaços previstos para o efeito. a. Defina o conceito de variável fulcral: ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ b. Prove que S 2 é um estimador enviesado de σ 2 e calcule o seu grau de enviesamento, sendo S 2 a variância de uma amostra casual simples de dimensão n e σ 2 a variância do universo que se admite existir ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ c. Sejam T1 e T2 dois estimadores independentes do parâmetro θ de uma população X . Considere que os dois estimadores são centrados e têm variâncias conhecidas, σ 12 e σ 22 respectivamente. Mostre que o estimador T = α T1 + (1 − α ) T2 , α constante, é centrado e determine o valor de α por forma a minimizar o erro quadrático médio ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística I - Licenciatura em MAEG– 2º Ano PADEF – Junho 2005 - Parte prática 1. Seja X um universo de Pareto, isto é, com função de distribuição dada por 1 F (x | θ ) = 1 − , x > 0 , θ > 0 , do qual se recolheu a amostra casual simples (0.23; 0.59; ( x + 1)θ 1 θ , θ > 1 , var( X ) = ,θ > 2 , e 1.07; 0.73; 0.21). Sabe-se também que E ( X ) = (θ − 1) 2 (θ − 2) θ −1 Y = ln( X + 1) ~ Ex(θ ) , resultados que poderá utilizar se deles precisar. a. Obtenha, se existir, uma estatística suficiente mínima para θ . b. Mostre que o estimador de máxima verosimilhança de θ é dado por θˆ = n ∑ n ln( X i + 1) i =1 e obtenha uma estimativa de máxima verosimilhança para Pr( X < 2) . c. Estude a eficiência do estimador de máxima verosimilhança para τ (θ ) = 1 / θ . d. Construa um intervalo de confiança a 90% para θ . e. Obtenha uma estimativa de θ recorrendo ao método dos momentos. f. Obtenha a região crítica uniformemente mais potente para testar ( α = 0.05 ) H 0 : θ ≥ 2 contra H 1 : θ < 2 . Com base na amostra observada, qual seria a sua decisão? g. Para efectuar o teste proposto na alínea anterior, definiu-se a seguinte regra de rejeição: “ Rejeitar H 0 quando 3 ou mais das 5 observações que compõem a amostra assumem valores superiores a 1”. Qual a dimensão do teste assim definido? h. Teste ( α = 0.05 ) se é de rejeitar ou não a distribuição proposta com θ = 2.5 . 2. Um novo medicamento que é suposto prevenir constipações foi testado em 1000 indivíduos escolhidos aleatoriamente, 500 dentro dos que tomaram o medicamento e 500 dentro dos que o não tomaram. Os resultados observados foram: Nenhuma Uma constipação Duas ou mais constipação constipações Tomaram 252 145 103 Não tomaram 224 136 140 Qual a sua opinião sobre a eficácia do medicamento ( α = 0.05 ) . Não se esqueça de formalizar a hipótese que vai testar. Pergunta 1a Cotação 10 1b 20 1c 15 1d 15 1e 10 1f 20 1g 15 1h 15 2 20
