Lista 05 - ClicMates

Centro Federal de Educação Tecnológica
Unidade de Nova Iguaçu
Ensino de Graduação
Matemática
Exercícios de Cálculo 1
Aplicações das Derivadas
Lista 5
1) Para cada item abaixo, primeiro verique se é possível aplicar a regra de L'Hospital, em caso
positivo calcule o limite.
x−2
x→2 x2 − 4
a) lim
b) lim
x→0
k) lim
θ→0
sen(5x)
x
5x2 − 3x
c) lim
x→∞ 7x2 + 1
x3 − 1
x→1 4x3 − x − 3
x→ 2
m) limπ
ln(cossec(θ))
θ − π2
n) lim
ln(x2 + 2x)
ln(x)
θ→ 2
1 − cos(x)
x→0
x2
e) lim
x→0+
o) lim (ln(2x) − ln(x + 1))
x2 − 4
x→2 x2 − 1
x→∞
f) lim
x→∞
p)
2x2
x3
1 − sen(x)
1 + cos(2x)
l) limπ
d) lim
g) lim
sen(5θ)
2θ
+ 3x
+x+1
x2 − 25
h) lim
x→−5 x + 5
lim (x −
x→ π2 −
q) lim
x→0+
t3 − 4t + 15
t→−3 t2 − t − 12
π
)sec(x)
2
ln(ex − 1)
ln(x)
1
r) lim (ln(x)) x
i) lim
x→∞
5x3 − 2x
j) lim
x→∞ 7x3 − 3
q) lim
x→0+
1
1
1+
x
x
2) Esboce os grácos das funções abaixo seguindo o seguinte roteiro:
1 Determine o domínio da função;
2 Determine os seus pontos críticos;
3 Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4 Faça o estudo da derivada segunda;
5 Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
6 Verique se existem pontos de inexão;
7 Faça o estudo dos limites para +∞, −∞ e para uma vizinhança dos pontos de descontinuidades
conforme o caso;
8 Esboce o gráco da função.
2
a) f (x) = (x2 − 3)ex ;
h) f (x) = e x ;
l) g(x) =
x
x2 − 9
m) g(x) =
1 − x2
x2 − 4
1
b) f (t) = t 3 (t − 4);
i) f (x) =
c) f (t) = t(t + 1);
d) f (t) = 2t3 − 14t2 + 22t − 5;
e) f (x) =
x4
f) f (x) =
(x + 1)2
;
1 + x2
−
4x3
+ 10;
(x2 − 3)
;
x−2
ln(t)
j) f (t) = √ ;
t
k) f (x) =
ex
.
1 + ex
n) g(x) =
1
4
12 (x
+ 6x3 − 18x2 )
o) f (t) = te−t
3) Resolvas os problemas abaixo:
a) A companhia α Ltda. produz determinado produto e vende-o a um preço unitário de R$13,00.
Estima-se que o custo c para produzir e vender q unidades é dado por c = q 3 − 3q 2 + 4q + 2.
Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, que quantidade deverá
ser produzida para se ter lucro máximo?
b) Um fazendeiro quer cercar uma área ao longo de um rio reto dispondo de 600 metros de cerca.
A área total será composta pela soma de duas áreas retangulares idênticas que deverão possuir
um lado comum, não é necessário cercar ao longo do rio. Determine as medidas dos lados que
permitem obter a área máxima.
c) Uma caixa sem tampa será feita recortando-se pequenos quadrados iguais nos quatro cantos de
uma folha de estanho medindo 12X12cm2 e dobrando-se os lados para cima. Qual deve ser a
medida do lado do quadrado recortado para que tenhamos capacidade máxima?
d) Um jardim retangular de 50m2 de área deve ser protegido contra animais. Se um lado do jardim
já está protegido por uma parede do celeiro, quais as dimensões da cerca de menor comprimento
que cerca a área?
e) Encontre dois números cuja a soma é 16 e cujo produto seja máximo.
f) As margens superior e inferior de uma página são 3 cm cada uma e as margens laterais de 2,5
cm cada uma. Se a área do material impresso deve ser xa e igual a 623,7 cm2 . Quais são as
dimensões da página com área mínima?.
g) A taxa de operação (expressa em porcentagem) de fábricas, minas e empresas de serviços em
uma certa região do país no t-ésimo dia do ano de 2000 é dada pela função.
f (t) = 80 +
t2
1200t
+ 40.000
(0 ≤ t ≤ 250)
Em que dia dos primeiros 250 dias de 2000 a taxa de operação da capacidade de produção foi
máxima?
2