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MAIS EXERCÍCIOS 2
1. Encontre os extremos absolutos da função f nos intervalos indicados:
a) f ( x ) = x 3 + x 2 − x ;
b) f ( x ) = 3 2 x − 2 ;
[ −2,1]
d) f ( x ) =
c) f ( x ) = 2 − 3 ( x − 3)2 ; [ −5, 4]
π π
e) f ( x ) = cos 2x ;
g) f ( x ) =
x2
;
x −3
2x
;
x +2
f) f ( x ) = sen 2 (π x ) ;
[− , ]
3 3
[ −3,5]
[0, 2]
1
[ − ,1]
4
[ −1, 2] e em [4,7]
2. Determine dois números não negativos cuja soma seja 10 e o produto seja máximo.
3. Exprimir o número 8 como a soma de dois números não negativos de modo que a soma do quadrado do
primeiro com o cubo do segundo seja a menor possível.
1
4. Encontre o número em [ , 2] , tal que a soma do número com seu recíproco (inverso multiplicativo) seja a
3
maior possível e determine essa soma.
5. Uma ilha está num ponto A, a 6 km do ponto B mais próximo em uma praia (reta) e um armazém em um ponto
C a 9 km de B na praia.
a) Para Ana ir da ilha ao armazém, ela pode alugar um barco por R$ 15,00 o quilômetro e navegar até um ponto P
entre B e C e então alugar um carro a um custo de R$ 12,00 por quilômetro e chegar a C por uma estrada reta.
Encontre o percurso mais barato para Ana sair da ilha e chegar ao armazém.
b) Se um homem rema à razão de 4 km/h e caminha à 5 km/h, onde ele deve desembarcar para ir da ilha ao
armazém no menor tempo possível?
6. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaz todas as condições abaixo:
a) f é contínua em [ −2, 4] ; f admite valor máximo absoluto em 0, mínimo absoluto em 4, mínimo relativo em 1
e máximo relativo em 3; f '(0) não existe, mas existe f '(3) .
b) f é contínua em [ −2, 4] ; f '( x ) = 0, ∀x ∈ ( −2, 0) ; f '( x ) < 0 , ∀x ∈ (0, 2) ; f '( x ) = −2, ∀x ∈ (2, 4) ; f '(0) e
f '(2) não existem.
c) f é contínua em [ −2, 4] ; f '( x ) = 0, ∀x ∈ ( −2, 0) ; f '( x ) < 0 , ∀x ∈ (0, 2) ; f '( x ) = −2, ∀x ∈ (2, 4) ; f '(0)
existe e f '(2) não existe.
7. Esboce, se possível, o gráfico de uma função f tal que:
a)
b)
f é contínua em [ a , b ] ; f admite valor máximo absoluto e não admite valor mínimo absoluto.
f admite valor máximo absoluto e não admite valor mínimo absoluto.
c)
f é descontínua em [ a , b ] ; f admite valor máximo absoluto e não admite valor mínimo absoluto.
f é descontínua em [ a , b ] ; f admite valor máximo absoluto e mínimo absoluto.
d)
8. Calcule os limites:
2 x 3 − 3x 2 + 1
;
x →−∞
4x + 3
a) lim
x 2 − 3x + 7
;
x →+∞ 3x 2 + 5x
b) lim
sen x 2
;
x → 0 3x 2
c) lim
1 − cos x 2
;
x →0
x2
d) lim
e) lim
x →+∞
sen(1 x )
;
arc tg(1 x )
x 2 − x − 12
;
x → 4 x 2 − 3x − 4
i) lim
m) lim
x →0
3x 3 + x 2 − 3 x
;
9x 5 + 5x 3
1 
1
f) lim  −
;
x →0  x
sen x 
g) lim
x3 +1
;
x2 −1
h) lim
1− 1+ x
;
x →0
x
k) lim
x −8
;
3
x −2
l) lim
x −1
;
x −1
p) lim
j) lim
n) lim
t→0
2sen(3t )cos t
;
t
x →−1
x →8
o) lim
x →1
4
x →5
x →−∞
x →2
5− x
;
x −5
4x + 9
9x 2 + 4
;
( x − 2)10
.
2−x
9. Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função polinomial f , existe pelo menos uma raiz da função
f '.
10. Prove que: “ Se a 0 +
a
a1 a 2
+ + ... + n = 0 , então a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a n x n = 0 tem pelo menos uma raiz em
n +1
2 3
(0, 1) .”
11. Diga em quais intervalos as funções f a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
x
;
4 − x2
a) f ( x ) = − x 3 + 3x − 5 ;
b) f ( x ) =
d) f ( x ) = x 4 − 4 x 3 + 2 ;
e) f ( x ) = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 ;
c) f ( x ) = x +
f) f ( x ) =
1
;
x
x
.
2x + 1