Lista 3: Limites notáveis e continuidade

Lista 3: Limites notáveis e continuidade - Cálculo Diferencial e Integral I
Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
1. Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
√
1. lim [x ( x e − 1)]
x→∞
x
x→0 1 − cos x
sin2 x.cotg (x)
5. lim
x→0
x
sen (a + x) − sen (a − x)
7. lim
x→0
x
ln (1 + ax)
9. lim
x→0
x
ln x − ln 3
11. lim
x→3
x−3
ex − e3
13. lim
x→3 x (
−3
)x
x
15. lim
x→−∞
1+x
x+2
7
3
−1
17. lim
x→−2 x + 2
√
19. lim x 1 − 2x
x→0
)x ]2
[
(
1
21. lim 5 + 1 +
x→+∞
x
e(2x−2) − 1
23. lim (5x−5)
x→1 e
−1
)
(
2
1
25. lim
−
2
x→0
sen
1 − cos x)
(√ x √
√
27. lim
x+ x− x
x→+∞
[
(
)x+5 ]
1
29. lim 10 + 1 +
x→∞
x
1 − 2 cos x + cos (2x)
31. lim
x→0
x2
sen x
e
−1
33. lim
x→0 sin (2x)
x−1
3 4 −1
35. lim
x→1 sin [5 (x − 1)]
( 2
)x2
x +1
37. lim
x→∞
x2 − 3
3. lim √
sin x − sin 2
x→2
x−2
1 − 2 cos x
)
(
4. limπ
x→ 3 sen x − π
3
[
( )]
6. lim (1 − x) tg πx
2
x→1
tg (x) − sen x
8. lim
x→0
x3 bx
ax
e −e
10. lim
x→0
x
2
12. lim (1 + 3tg2 (x))cotg (x)
2. lim
x→0
ln (2 − x)
x→1 x − 1
sen (x2 − 1)
16. lim 3
x→1 x − 3x2 − x + 3
[
( )]
1
18. lim xtg
x→∞
√ x
14. lim
20. lim
22.
24.
26.
28.
(x + 5)2
x→−4
( x−1
)
e
− ax−1
lim
x→1
x2 − 1
sen x
lim
x→π x − π
2x − 5x
lim
x→0 sen(2x) − senx
lim [x (ln (x − 1) − ln x)]
x+4
x→+∞
2
x − 3sen x
x→0
x
ln x
32. lim+ √
x→1
x−1
e2x − ex
34. lim
x→0 sen (2x) − senx
1 − tg (x)
36. limπ
x→ 4 cos x − sin x
30. lim
38. limπ (sen2 x + 2 cos2 x)sec
2
x
x→ 2
(x − 4)2
2. Sejam f e g duas funções denidas por g (x) = x − 2 e f (x) = x
cosec (x − 4) . Determine
e − e4
lim h (x) ., sendo h (x) = (f ◦ g) (x) .
x→6
1
(
√
3. Sejam f (x) = ln 2 − 2x, para todo x < 1, e k = lim
x→+∞
valor da constante c para que f −1 (0) = k.
x+c
x−c
)x
. Encontre, se possível, o
{ a
sin (2x) + (x + 1) b, se x < 0
4. Considere a função f (x) denida por f (x) =
. Encontre, se
x
a (x2 + 1) + 3b, se x ≥ 0
possível, uma relação entre as constantes a e b de tal forma que a função f (x) seja contínua em
0.
5. Obtenha lim F (x), sabendo que F (x) = h (f (g −1 (x))) com f (x) = ex , g (x) = ex − 2 e
x→−1
1 − cos (x − 1)
h (x) =
x−1
√
3
6. Sejam f (x) = 3 ln (2x − 1 + |1 − x|) e g (x) = ex .
(a) Determine o domínio da função f.
(b) Estude a continuidade da função h (x), sabendo que

g (f (x)) , se x ∈ Df


0, se x = 0
h (x) =
.

 sin (2x) − 2, se x ∈ R∗ − {Df }
x
Caso a função h não seja contínua em todos os pontos, classique a(s) descontinuidade(s).
7. Use a denição de continuidade para decidir se a função

1 − e3 sin x


se x ≤ 0

 sin (2x) ,
f (x) =
(√
)


√
√

 x − lim
x + x − x + 1 , se x > 0
x→+∞
é contínua em x = 0. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classique essa descontinuidade.
8. Sejam f (x) = sin(5x), g (x) = x2 − 1 e h (x) = ln (x − 1) . Determine lim F (x), sabendo que
x→1
f (g (x))
F (x) =
.
g (x) .h (h−1 (x − 3))
9. Considere a função f , denida por f (x) =
)
 ( 2
bx

2 e −1




, se x < 0


 5 − 5 cos2 x

a,
se x = 0







(x + 1)(ln 5)/x , se x > 0
.
Encontre, se possível, o valor das constante a e b para que a função f (x) seja contínua em 0.
10. Determine o valor dos seguintes limites, justicando sua resposta.
1 + cos(x)
x→+∞
x
(a) lim
2
{
(b) lim xq(x), sendo q(x) =
x→0
1, se x ∈ Q
−1, se x ∈ R − Q
(c) lim ex sin(x)
x→−∞
11. Temos que
[ π)
ˆ sin(x) ≤ x ≤ tan(x) para todo x ∈ 0,
2
( π ]
ˆ tan(x) ≤ x ≤ sin(x) para todo x ∈ − , 0
2
x
= 1.
x→0 sin(x)
Use o Teorema do confronto para provar que lim
12. Seja f denida em R tal que para todo x ̸= 1 tem-se que
−x2 + 3x ≤ f (x) ≤
Calcule lim f (x) justicando sua resposta.
x→1
Respostas:
1. .
1. 1√
√
3. 2, se x → 0+ ; − 2, se x → 0−
5. 1
7. 2 cos a
9. a
11. 31
13. e3
15. e−1
17. 71 ln 3
19. e−2
21. (e + 5)2
23. 25
25. 12
27. 12
29. e + 10
31. −1
33. 21
35. 201 ln 3
37. e4
2. e−4
2. cos
√ 2
4. 3
6. π2
8. 12 ;
10. a − b
12. e3
14. −1
16. − 12
18. 1
20. e2
22. 12 − 12 ln a
24. −1( )
26. ln 25
28. −1
30. −3
32. 0
34. 1√
36. 2
38. e
√
3. c = − ln( 2)
4. a = 2b
5. 0
6. (a) (0, +∞)
(b) h(x) é contínua para todo x ∈ R∗
3
x2 − 1
.
x−1
7. lim+ f (x) = − 32 ; lim+ f (x) = − 12 ; descontinuidade essencial em x = 0.
x→0
x→0
8. − 52
9. a = 5 e b =
25
2
10. Todos os limites dão zero.
11.
12. lim f (x) = 2
x→1
4