Matriz Simétrica

CEFETBAHIA
Disciplina : Matemática- Segundo Ano do Ensino Integrado/Médio
Matriz Involutiva _________________________________________________________ 1
Exercício ____________________________________________________________________ 1
Matriz Simétrica _________________________________________________________ 1
Exercício ____________________________________________________________________ 1
Matriz anti-simétrica: _____________________________________________________ 1
Exercício ____________________________________________________________________ 2
Determinante de uma matriz de ordem 2 ______________________________________ 2
Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus _____________________ 2
Definição ____________________________________________________________________ 3
Exercício: ____________________________________________________________________ 3
Respostas:_______________________________________________________________ 3
Matriz Involutiva
Definição: Uma matriz A quadrada é involutiva quando
A2  I .
Exercício
1.
Uma matriz diagonal A, de ordem 2, é involutiva. Determine-a.
Matriz Simétrica
 
A  aij
— É uma matriz quadrada
nxn
 a 0
 .
Sugestão: faça A  
 0 b
, diz-se simétrica quando aij  a ji para todo i, 1  i
 n , para todo j,
1 j  n.
A  At .
Obs: Se A é simétrica então
Exercício
2.
3.
3
Determine o número b  R, para que a matriz A   2
b
Seja a matriz
2b 
 , seja simétrica.
b 
a  0
 ii
, para a qual aij  a ji
. Determine A e At. A é simétrica?
4x 4

aij  i  j , se1  i  j  4
 
A  aij
Matriz anti-simétrica:
— é uma matriz quadrada A  aij
, diz-se anti-simétrica quando aij   a ji para todo i, 1  i  n , para todo
nxn
 
j, 1  j  n .
Arquivo: aula2matriz.doc
Obs: Se A é anti-simétrica então
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A   At ; os elementos da diagonal principal são todos nulos.
Exercício
 0

a b

0 c  é anti-simétrica? Justifique.
  b  c 0


4.
A matriz A    a
5.
2
3 
 a


Determine os números reais a, b, c, x, y e z para que a matriz A   x  1 b 2 y  4  seja anti-simétrica.
 z
4
c 

Determinante de uma matriz de ordem 2
A toda matriz quadrada está associado um número real chamado determinante.
Exemplos: Calcular os determinantes das matrizes:
 4 2 
 o determinante dessa matriz é: detA= 4.7 – 6(-2) = 28 + 12 =40
6 7 
5 3
b) B  
 o determinante dessa matriz é: detB= 5.2 – 3. 4 = 10 – 12 = -2
 4 2
a) A  
c)
Calcule o polinômio característico det(A – x.I)=0, onde
xR;
Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus
6.
Calcular os determinantes das matrizes pela regra de Sarrus:
2 3 1
a) 4 1 2
3 2 1
7.
2 1 1
b) 1 0 0
0 1 0
2 3 0
c) 0 1 2
1 3 2
Calcule os determinantes
3
a) 2
 12
1 1
0
1
ln e 1
1
 12
b) log 1 0
1
1
2 1
30
0
log 2 8
8. Calcule o determinante
1
42
 12
sen

2
9. Calcule o determinante log 1
3
cos
2
Matriz Inversa
tg

4
sen 8
ln e
 12
0
2 1
1
30 .
1
1
1 .
30
Arquivo: aula2matriz.doc
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Definição
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma inversa de A, se e somente
se: A.B  B. A  I n , ( A.A- 1=A- 1.A=In).
Propriedade:
A inversa de uma matriz A existe se o
det A  0 .
Exercício:
1 2
 , pede-se:
10. Seja a matriz A  
3 0
a) verificar se existe a inversa A-1 da matriz A,
det A  0 ?.
b) A inversa da A-1 usando a definição.
Resolução:
1 2  a b   1 0
.
  

A. A1  I  
3 0  c d   0 1
11. Seja a matriz
1 1
 . Determine A-1, se existir.
A  
0
0


2 1

3 0 
12. Encontrar a matriz inversa B-1 da matriz B  
a)
usando a definição.
b) usando o “artifício”.
c)
usando escalonamento
d)
a partir da equação B2=2.B-3.I, determine a matriz inversa B-1, (obs: 2=2+0 e 3=det B).
13. Encontre a matriz inversa C
-1
1 0 1 
da matriz C  0  1 2 , usando o escalonamento.
2 0 1 
 1 1 2


14. Seja a matriz A   1 3 1  , determine
4 1 1


a) polinômio característico det(A-x.I)=0.
b) A matriz inversa A-1 usando a fórmula A 1  
1 2 5
3
A 
A  .I .
17
17
17
Respostas:
1)
 1 0 1 0 

 , 
 ,
 0 1   0 1
 1 0   1 0 

 , 

 0 1   0  1
2) 0 ou 2
3)
0

3
A
4

5

3
0
5
6
4
5
0
7
5

6
, A é uma matriz simétrica.
7

0 
4)
Resolução:
a b
 0


A   a 0 c e
  b  c 0


a b
 0


 At    a 0 c 
  b  c 0


 0  a  b


A  a 0  c 
b c
0 

t
Arquivo: aula2matriz.doc
5) Quaisquer que sejam a, b e c pertenceste a
R.
6) a=b=c=0; x=-1 e y=0; z=3
7) a) -47
b) 1
8) a) -8
12)
0 1 / 3
B 1  

1 2 / 3 
12d. Resolução: B2=2.B-3.I 
c)-2
3.I  B2  2.B  3.I .B1  B1.B2  2.B  B1  B  2.I
b) 1/2
9) ?
 0
10) 
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
3 

1

6
 2
1
1
11) Não existe, pois a matriz é singular.
13)
1 0 1 1 0 0
0 1 2 0 1 0
2 0 1 0 0 1

14) a)  x3  5x2  3x  17  0
1 
 1 0


B 1   4  1  2
 2
0  1