A+B - ISEC

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE COIMBRA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
Análise Matemática II
00-28-06
Duração 2:30h
TESTE A+B
Nota: A resolução completa dos exercícios inclui a justificação do raciocínio utilizado.
1. Considere a função real f ( x, y ) definida em D ⊂ IR 2 , dada pela expressão seguinte
f ( x, y ) = 9 − x 2 − y 2
a) Determine o domínio de f e represente-o geometricamente.
b) Mostre, para z = f ( x, y ) se x = ρ cosθ e y = ρ sen θ , então verifica-se a seguinte identidade:
∂z 2
∂z
∂z
) = ( )2 + ( )2
∂ρ
∂x
∂y
c) O potencial eléctrico em qualquer ponto do plano XY á dado for V = ( f ( x, y )) 2 .
Determine:
i) A taxa de variação do potencial no ponto P = (1,1), na direcção do vector u =< 1, 0 > .
ii) A direcção, em que a variação do potencial é máxima no ponto P = (1, 1).
d) Determine, os pontos para os quais f(x,y) tem extremos.
(
2. No Euro 2000, são usadas bolas esféricas de diâmetro d.
a) Prove, usando coordenadas esféricas, que o volume de uma bola
é igual a 1 πd 3 .
6
b) Mostre, que a área de superfície de uma bola é πd 2 .
Sugestão:
• A área A(S) de uma superfície de equação z = f ( x, y ) é dada por
A( S ) = ∫∫
D
( f x ( x, y )) 2 + ( f y ( x, y )) 2 + 1 dydx , com f x e f y funções
contínuas em D.
3. Considere as seguintes figuras:
fig. 1
fig. 2
a) Prove, analiticamente, que a equação f ( x) = 0 ⇔ e
fig. 3
sin( x )
− x = 0 tem uma única raiz real x ∗ no
intervalo [2, 2.5] .
b) Recorrendo ao gráfico da fig. 3, verifique se as funções de iteração g ( x) = arcsin(ln( x)) e
h( x) = esin( x ) , satisfazem as condições de convergência do método do ponto fixo.
2ª FREQUÊNCIA
CURSO: ENG. INFORMÁTICA E DE SISTEMAS
V.P
4. A figura seguinte representa um protótipo de
uma taça, para o Euro 2000, cujos contornos
são definidos por:
• Segmentos de recta;
• arco de elipse de semi-eixos a = 1 e
b = 0.5;
• arco de parábola de eixo vertical com vértice
(0, 2);
a) Defina Polinómio Interpolador de uma
função f em x 0 , x1 , x 2 ,..., x n .
b) Usando a teoria da Interpolação Polinomial,
determine a equação f(x) da parábola que passa pelos pontos (0, b), (-a, 0) e (a, 0) com a, b ∈ IR \ {0} .
c) Prove, utilizando a teoria da Integração Numérica que:
i) A área de região limitada por uma parábola de largura 2a e com vértice a uma altura b é 4 3 ab .
a+b
ii) A área de um trapézio de altura h e bases a e b é:
h
2
d) Determine o volume do sólido recto limitados por planos de cota z = -1 e z = 1 que se projecta no
plano XY segundo a região a sombreado.
5. Considere a tabela de diferenças divididas de uma função f(x):
xi
1
f
0
f [,]
f [,,]
32
-1
-2
-4
a) Complete a tabela.
b) Determine uma aproximação para f(0), usando interpolação linear. Obtenha uma estimativa para o erro
da aproximação.
c) Determine a expressão analítica do polinómio interpolador de f(x), do 2º grau, e escreva-o usando o
método de Horner para polinómios.
d) Sobre as diferenças divididas, resolva em alternativa uma das seguintes alíneas:
i) Mostre que: f [xi , xi +1 ] = f [xi +1 , xi ] .
ii) Escreva o pseudo-código, correspondente à implementação do algoritmo que permite obter a tabela
de diferenças divididas, numa linguagem estruturada.
2ª FREQUÊNCIA
CURSO: ENG. INFORMÁTICA E DE SISTEMAS
TESTE A+B