gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III
SEGUNDA ETAPA LETIVA / 2010 – REGULAR
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
PROFESSOR: WALTER TADEU
DATA: ____________
NOME: GABARITO
NOTA:
Nº: ______ TURMA: _______
TESTE DE MATEMÁTICA II – 1ª SÉRIE (Vale 1,5 pontos)
 29
1) (CESGRANRIO) Calcule o valor de M   cos
 4
Solução. Encontrando as 1ª determinações, temos:

 16 
  tg


 3 
 29 26 3
 4  4  4
2
 29 
 16 
 3 
 4  

 M   cos
  tg
   cos   tg    

 4 
 3 
 4 
 3   2 
16  12  4
 3
3
3
 3
22 3
2
2) (UERJ) Uma área agrícola, próxima a um lago, precisa ser adubada antes do início do plantio de hortaliças. O
esquema abaixo indica as medidas do terreno a ser
plantado. Os dois lados paralelos distam 10km e os
três ângulos obtusos indicados são congruentes.
Calcule a área em km2 do terreno a ser plantada.
Solução. Encontrando o ângulo externo de 45º,
temos que os ângulos obtusos serão de 135º.
Calculando as áreas A1, A2 e A3, temos:
i) A1 
(10).(10)
 50km2
2
ii) A2  (10).(10)  100km2
10 2  x 2  x 2  2 x 2  100  x 2  50
iii)
( x).( x) 50
A3 

 25km2
2
2
Logo, a área total será A1 + A2 + A3 = (50 + 100 + 25) = 175km2.
3) (ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno desse triângulo,
oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as relações: 3a = 7c e 3b = 8c?
Solução. Escrevendo todos os lados em função de a e aplicando a Lei dos Cossenos, vem:
 3a
2
2
c  7

 8a   3a 
 8a  3a 
2
2
2
2
ˆ
 a  b  c  2(b)(c) cos A  a        2   cos Aˆ 

3
a
 7   7 
 7  7 
 8c 8 7 24a 8a
b





3
3
21
7
 
64a 2 9a 2  48a 2 
 cos Aˆ  49a 2  64a 2  9a 2  48a 2 . cos Aˆ  49a 2  73a 2  48a 2 . cos Aˆ 


49
49  49 
 24a 2 1
 49a 2  73a 2  48a 2 . cos Aˆ  cos Aˆ 
  Aˆ  60.
 48a 2 2
 a2 
4) Um círculo circunscreve um triângulo em que um lado, oposto a um ângulo de 135º, mede 6 2cm . Determine a
área deste círculo.
Solução. Segundo a Lei dos Senos cada lado de um triângulo está para o seno de seu ângulo oposto na razão
do diâmetro da circunferência circunscrita. Logo, temos:
6 2
6 2
2
12
 2R 
 2 R  6 2.
R 6
sen135º
2
2
2
2
2
Área(círculo )  R 2   6  36 .cm 2
2R 
sen 2460º. cos1110º
tg 2205º
Solução. Encontrando as 1ª determinações, temos:
5) (UNIFICADO) Calcule o valor de M 

3  3 



2460º 360º  6  r  300º
 2 . 2 
sen 2460º. cos 1110º sen300º. cos 30º 



 3


1110º 360º  3  r  30º  M 
tg 2205º
tg 45º
1
4
2205º 360º  6  r  45º

6) Um triângulo isósceles ABC tem área A = 36m² e dois ângulos de medida
3
5
 para os quais cos   . Calcule:
a) o comprimento da base BC;
b) o comprimento h da altura relativa a esta base.
Solução. A área do triângulo é calculada em função do ângulo da base da seguinte forma:
base  altura

A 
2

a  c.sen
.
 A
base  a
2
h
  sen  h  c.sen
c
Observando um dos triângulos retângulos determinados pela altura, temos:
a/2
a
 cos  
 cos   a  2c. cos  .
c
2c
Aplicando a relação trigonométrica para calcular o seno, temos:
sen 2  cos 2   1
9
16 4

 sen  1 

 .

3
25
25 5
cos  
5

Calculando os valores pedidos, vem:
a  c.sen 2c. cos    c.sen 


36  25
A 
 3 4
 12 
 36   c. . c.   36   c 2 .   c 
 75  5 3
2
2

5 5
25 
12



a)  A  36
 
3
BC  a  2 5 3    6 3m
5
 
4
b) h  c.sen  5 3 .   4 3m
5
2
7) Na figura a seguir, no ponto B há um barco de pescadores atracado próximo à praia. Um observador, andando na
praia, percorre a distância AC = 260 m e mede os ângulos BÂC = α e BCA = β. Se tg 
5
3
e tg  , qual é a
2
4
distância do barco até a praia?
Solução. Aplicando a relação da tangente nos dois triângulos retângulos temos:
5x
d
 x  tg  d  x.tg  2
3260  x  5 x



3260  x 
4
2
 d
 tg  d 
 260  x
4
Resolvendo a equação, temos:
3260  x  5 x
1460

 20 x  6.260  x   20 x  1460  6 x  26 x  1460  x 
 60m
4
2
26
5 x 5(60)
Logo : d 

 150m
2
2
8) (FUVEST) O triângulo ABC da figura eqüilátero de lado 4. Sabendo que AM = MC = 2e PB = 1, calcule o
perímetro do triângulo APM:
Solução. O triângulo é eqüilátero e se PB = 1, então AP = 3. Calculando PM pela
2
2
2
  
PM  AM  AP  2. AM . AP . cos 60º
2
1
Lei dos Cossenos, temos: PM  2 2  3 2  2.2 
. 3.  4  9  6  7
2
PM  7
O perímetro será: 2 p  2  3  7  5  7
9) (UFF) O círculo da figura tem centro O e raio R. Sabendo-se que MP equivale a 5R e é tangente ao círculo
12
no ponto P, calcule o valor de sen .
Solução. O segmento MP é perpendicular ao raio, pois é tangente. Logo o triângulo
OMP é retângulo. Calculando a hipotenusa OM e o seno pedido, temos:
2
2
2
25R 2  144 R 2
169 R 2 13R
 5R 
2
OM  MP  OP     R  
 OM 

144
144
12
 12 
5R
MP
5R 12
5
Logo : sen 
 12 
.

OM 13R 12 13R 13
12
2
10) (UNICAMP) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo
plano, conforme mostra a figura.
a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N.
b) Calcule o comprimento do segmento BN.
Solução. A soma dos ângulo dos vértices B e N é 270º. Logo os
ângulos dos vértices A e C são complementares.
a) Pela Lei dos Senos, cada lado de um triângulo é proporcional
3
ao seno do ângulo oposto a este lado na razão do diâmetro da circunferência circunscrita. Isto é:
a
b
c


 2 R . Aplicando esta lei no triângulo ABN com relação ao ângulo de 30º e seu lado
senA senB senC
oposto de 1km, temos:
2R 
1
1
 2R 
 2 R  2  R  1km
1
sen30º
2
b) Aplicando a Lei dos Senos aos triângulos ABN e CBN com relação aos ângulos complementares:
1
1
BN
 BN
 senx  sen30  senx  BN .sen30º  BN . 2  senx  2

BN
2
BN .1


 2.sen(90  x)  BN .sen90º  sen(90  x) 
BN
 sen(90  x) sen90
2  cos x 

2
sen(90  x)  cos x

sen 2 x  cos 2 x  1
2
2

BN 2  BN 2  1  2BN 2  4  BN  2km
BN

 BN   BN 

 
 1
senx 
2
4
4
 2   2 

BN

cos x  2
4