(EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES) Ficheiro

. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
. INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Equações trigonométricas
sen 𝑥 = sen 𝛼
⟺ 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Casos particulares:
𝜋
sen 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 2 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
𝜋
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
2
𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
sen 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
sen 𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 =
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
3𝜋
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
2
Exemplo 2
1
Resolve, em ℝ, a equação sen 𝑥 = − 2.
Sugestão de resolução:
sen 𝑥 = −
1
2
𝜋
⟺ sen 𝑥 = sen −
6
𝜋
𝜋
⟺ 𝑥 = − + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = 𝜋 − − + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
6
6
𝜋
7𝜋
⟺ 𝑥 = − + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
6
6
Equações trigonométricas
cos 𝑥 = cos 𝛼
⟺ 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = −𝛼 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Casos particulares:
𝜋
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
2
cos 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
𝜋
2
cos 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
cos 𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Exemplo 3
Resolve, em ℝ, a equação 2cos 𝑥 = −1.
Sugestão de resolução:
2cos 𝑥 = −1
⟺ cos 𝑥 = −
1
2
⟺ cos 𝑥 = cos
⟺𝑥=
2𝜋
3
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = −
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Equações trigonométricas
tg 𝑥 = tg 𝛼
⟺ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Caso particular:
tg 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Exemplo 4
Resolve a equação 2 + tg
𝑥
5
= 3, para 𝑥 ∈ 0, 2𝜋 .
Sugestão de resolução:
2 + tg
𝑥
5
= 3 ⟺ tg
𝑥
5
= 1 ⟺ tg
𝑥
5
= tg
𝜋
4
𝑥
𝜋
⟺ 5 = 4 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
⟺𝑥 =5×
⟺𝑥=
Para 𝑥 ∈ 0, 2𝜋 :
𝑘 = −1: 𝑥 =
5𝜋
4
− 5𝜋 = −
𝑘 = 0: 𝑥 =
5𝜋
4
∈ [𝟎, 𝟐𝝅]
𝑘 = 1: 𝑥 =
5𝜋
4
+ 5𝜋 =
25𝜋
4
15𝜋
4
∉ [0, 2𝜋]
∉ [0, 2𝜋]
Em [0, 2𝜋], a solução da equação é
5𝜋
.
4
5𝜋
4
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ
+ 5𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Inequações trigonométricas
Para resolver uma inequação trigonométrica podemos também
recorrer à circunferência trigonométrica.
Exemplo:
1
Resolve a inequação sen 𝑥 > 2 em 𝑥 ∈ 0, 2𝜋 .
Sugestão de resolução:
Sabemos que
sen
𝜋
6
1
= 2 e sen
5𝜋
6
1
=2
Atendendo à variação do seno temos que
1
sen 𝑥 > 2 ⟺ 𝑥 ∈
𝜋 5𝜋
,
6 6