PPT 6 TRIANGULOPASCALBINOMIONEWTON Ficheiro

Triângulo de Pascal
Antes de Pascal:
. Indianos ( 2000 anos antes)
. Chineses (1700 anos antes)
. Islamitas (500 anos antes)
. Outros europeus (100 anos antes)
(Nomeadamente, Tartaglia)
Blaise Pascal (1623 – 1662)
Fez um estudo sistemático
das suas propriedades.
O triângulo utilizado pelo matemático chinês Yang Hui (Matemático Chinês, 1238-1298)
Triângulo de Pascal – Triângulo aritmético
Linhas
Propriedades do Triângulo de Pascal
Propriedade 1: A linha n, tem n + 1 elementos.
Propriedade 2: O valor do segundo elemento (ou penúltimo) indica-nos a linha.
Propriedade 3: Todos os elementos da linha n, são da forma:
C p , com 0  p  n.
n
Propriedade 4: O primeiro e último elementos, são sempre iguais a 1,
C p  nC p1  n1C p1
Propriedade 5:
n
Propriedade 6:
n
C p  Cn p
n
Propriedade 7: A soma de todos os elementos da linha n é
Propriedade 8: O elemento máximo na linha n é:
n
Se n é par:
Cn
2
Se n é ímpar:
n
2
n
C n1 ou nC n1
2
2
n
C0  nCn  1
Mais exercícios:
1) Resolve as seguintes equações:
a)
C2 x 1 
40
40
C2 x  3
b) 21C2 x  20Cx 12  20Cx 11
2) Uma certa linha do Triângulo de Pascal é constituída por todos os números da forma 24C p
Escolhendo ao acaso um número dessa linha, qual é a probabilidade de ele ser 1?
3) Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35.
Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha.
Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais?
Binómio de Newton
«O Binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é pouca
gente para dar por isso.» Fernando Pessoa, Álvaro de Campos
Generalizando:
Propriedades:
1. O desenvolvimento (a  b)n tem n+1 termos.
2. A soma dos expoentes em cada termo é sempre n.
3. O termo de ordem (p+1) é:
Tp1  nC p  an p  b p
10
 2 2
1. Considera  x   , com x  0
x

Determina:
a) o termo médio;
b) o termo x 2 , caso exista;
c) o termo independente, caso exista.
2. Sabendo que o 3.º termo de (1  x2 )n é 15x4 ,determina n.
8
 2 2
3. Determina o termo do desenvolvimento de  x  
x

7
cuja parte literal é x .