triângulo de pascal e cálculo de probabilidades

TRIÂNGULO DE PASCAL E
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Professor: Ilydio Pereira de Sá
www.magiadamatematica.com
O TRIÂNGULO DE PASCAL/TARTAGLIA
Esse importante triângulo numérico, conhecido dos
Chineses muitos séculos antes de Cristo, permite
interessantes atividades de investigação.
Diversas propriedades aritméticas, envolvendo esse
interessante triângulo numérico, já eram conhecidas
cerca de 2000 anos antes de Pascal. Ele já era usado,
por exemplo, para o cálculo aproximado de raízes
quadradas, cúbicas, etc.
Tartaglia, cerca de 100 anos antes de Pascal,
descobriu que esse triângulo aritmético seria
também muito útil no cálculo de probabilidades.
Os números que formam esse curioso triângulo
estão diretamente relacionados à Matemática
Combinatória, Binômio de Newton e Probabilidades.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o
Ensino Fundamental esses conteúdos já são listados
no eixo denominado “Tratamento da Informação”.
Vejamos como se constrói esse triângulo numérico e
sua aplicação no cálculo de determinado tipo de
problema de probabilidades.
Observando a “Lei de Formação” do triângulo, você
saberia completar a próxima linha?
2) Verifique agora que tal triângulo está
relacionado diretamente ao número dois. Que tal
somar todos os números de uma mesma linha? O
que você constatou?
3) Problemas de contagem ou de probabilidade,
em que cada experimento tenha apenas duas
opções de escolha (masculino ou feminino, cara
ou coroa, verdadeiro ou falso, etc.) podem ter
nesse triângulo um poderoso auxílio.
Vejamos, por exemplo, um caso de uma mulher
que pretende ter quatro filhos (ou filhas). As
possibilidades de resultado dessa experiência,
caso tenha se realizado com sucesso, são:
Quantas são as possibilidades de que essa mulher
tenha 4 filhos do sexo masculino?
Resposta: 1 possibilidade
Quantas são as possibilidades de que essa mulher 3
filhos e 1 filha?
Resposta: 4 possibilidades
Quantas são as possibilidades de que essa mulher
tenha 2 filhos e 2 filhas?
Resposta: 6 possibilidades
Quantas são as possibilidades de que essa mulher 1
filhos e 3 filhas?
Resposta: 4 possibilidades
Quantas são as possibilidades de que essa mulher
tenha 4 filhas?
Resposta: 1 possibilidade
Se essa mulher teve, realmente, 4 filhos, qual a
probabilidade de que seus filhos sejam 2 de cada
sexo?
Resposta: 6 / 16 = 37,5%
Vamos relacionar nossas “descobertas” com o
Triângulo de Pascal e com fatos que já conhecíamos.
Nossa experiência está relacionada a um fato que se
repetiu 4 vezes e, em cada uma delas, com duas
possibilidades de ocorrência. Os resultados que
obtivemos foram:
1
4
6
4
1
Esses resultados têm alguma relação com o triângulo
de Pascal?
Os números obtidos que, nesse caso, estão ligados ao
número 4 (filhos) são denominados combinações ou
números binomiais.
Para alunos do Ensino Fundamental, você poderia
agora relembrar os famosos “Produtos Notáveis”,
veja:
x  y
4
 1x  4x y  6x y  4xy  1y
4
3
2
2
3
4
Considerando que “x” represente o nascimento de
homem e “y” o de mulher, você consegue relacionar
essa expressão algébrica com o resultado das
possibilidades
de
nascimento
que
vimos
anteriormente?
Como ajuda, vamos apenas observar a terceira parcela
2 2
6x y
2 filhos do sexo masculino e 2 do sexo
feminino, obtivemos um total de 6
possibilidades, não?
Para calcular a probabilidade de ocorrência de algum
evento relacionado a esse caso, podemos obter o número
total de possibilidades através da potência 2n . No exemplo
que fizemos, esse número (que é o denominador da
probabilidade) foi igual a 24 , que é igual a 16.
APLICAÇÃO:
No lançamento de cinco moedas distintas e não
viciadas, qual a probabilidade de se obter 3 caras e
duas coroas?
Como ajuda, repetir a linha correspondente do
triângulo de Pascal.
1
5
10
10
5
1
0
1
2
3
4
5 caras
O coeficiente correspondente á opção 3 caras e duas
coroas é igual a 10.
Como o número de elementos do espaço amostral é igual
a 25 = 32, a probabilidade procurada é de 10/32 ou 0,3125
ou ainda 31,25%
Esse tipo de relação entre o triângulo de Pascal e o cálculo
de probabilidades originou um importante teorema,
denominado Teorema Binomial em Probabilidades, que
pode ser enunciado como:
A probabilidade de ocorrerem exatamente k
sucessos em uma seqüência de n provas
independentes, na qual a probabilidade de sucesso
em cada prova é s e a de fracasso é f = 1 - s, é igual
a:
p  Cn,k .sk .f (nk)
Vamos aplicar esse teorema na questão que resolvemos
anteriormente. No lançamento de cinco moedas distintas e
não viciadas, qual a probabilidade de se obter 3 caras e
duas coroas?
Solução: n = 5 (5 lançamentos); k = 3 (3 caras); s = 0,5 e f
= 0,5 (temos 50% de chance de obtenção de cara e
também de coroa).
p  Cn,k .s .f
k
(nk)
p  C5,3 .0,53.0,52  10 . 0,55
 0,3125 ou 31,25%
Questões propostas
1) Risco do efeito fatal – Admitamos que a probabilidade
de que uma pessoa não morra, no prazo de um mês
após uma determinada operação de câncer é 82%.
Qual a probabilidade de que três pessoas que fizeram
tal operação, sobrevivam, ou seja, não morram em até
um mês da cirurgia?
Resposta: 55,14%
SOLUÇÃO:
s = 0,82; f = 0,18; n = 3, k = 3
 3
3
0
 (0,82) .(0,18)  0,5514
 3
2) Um atirador Olímpico, normalmente, tem uma taxa de
acertos no alvo de 90% para cada tiro dado. Obtenha a
probabilidade de que esse atirador acerto no alvo
exatamente 3 de 5 tiros dados.
Resposta: 7,3%
SOLUÇÃO:
s = 0,9; f = 0,1; n = 5, k = 3
 5
3
2
 (0,9) .(0,1)  0,073 ou 7,3%
 3