Binómio de Newton

ESCOLA SECUNDÁRIA DE S. LOURENÇO
Binómio de Newton
(a+b)0
1
(a+b)1
1
a
+1
b
1
a2
+2
ab
+1
b2
1
a3
+3
a2b
+3
ab2
+1
b3
1
a4
+4
a3b
+6
a2b2
+4
ab3
+1
b4
…
5
…
10
…
10
…
5
…
1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
…
1
1
6
15
20
15
6
…
1
Notas:
- O grau do polinómio do desenvolvimento de (a+b)n é n
- Os coeficientes dos termos são os números do triângulo de Pascal
Fórmula do binómio de Newton
(a + b) n = n C 0 a n + n C1a n −1b + nC 2 a n − 2 b 2 + ...+ n C n −1ab n −1 + n C n b n
ou seja (a + b) n =
n
∑ nC p a n − p b p
p =0
Propriedades do binómio de Newton
- O desenvolvimento de (a+b)n tem n+1 termos
- No desenvolvimento de (a+b)n os coeficientes dos termos igualmente
afastados dos extremos são iguais.
- O termo de ordem p+1 é Tp+1= nC p a n − p b p , esta expressão permite
calcular qualquer termo, conhecida a sua ordem , sem que seja
necessário escrever todo o desenvolvimento.
Exemplos de aplicação
Escrever o 4º termo do desenvolvimento de (x-4y)8
Temos então Tp+1= nC p a n − p b p ou seja T4= 8C3 x10 − 3 (−4 y ) 3 = −960 x 7 y 3
A soma dos 2 primeiros elementos de uma linha do triângulo de Pascal é
21. Qual é o 4º elemento da linha seguinte?
R: O 1º elemento de uma linha é sempre 1 e o segundo é n logo n=20. Então o
4º elemento da linha seguinte é 21C3 = 1330 .
a b c d e f g h representa uma linha completa do triângulo de Pascal onde
os números estão substituídos por letras. Indique o valor de f e a soma
dos elementos dessa linha.
R: Como a linha tem 8 elementos então n=7, assim 7 C5 = 21 . A soma dos
elementos da linha é então 27 = 128.
A soma dos 3 últimos números de uma linha do triângulo de Pascal é 291.
Determine o 3º elemento da linha seguinte.
A linha será do tipo 1 x
seguinte é 290.
1
x
y
1 1+x x+y
y em que x+y = 290, assim o 3º elemento da linha