Cargas Trifásicas

CIRCUITOS ELÉTRICOS
CONCEITOS BÁSICOS
Prof. Marcos Fergütz
Mar/2014
- Carga Elétrica (Q, q) [ Unidade: Coulomb C ]
Quando se fornece ou retira energia do elétron (e-), pode-se
movimentá-lo por entre as camadas (K, L, M, N...). No limite,
pode-se fornecer energia suficiente para que o elétron se
desprenda do átomo, gerando uma carga negativa, o elétron,
e uma carga positiva, representado pelo íon composto pelo
átomo desequilibrado em sua composição.
e-
• Experiência de Coulomb
+Q
-Q
F
F
F = 10-7xc2 => |Q| = 1C
Onde c é a velocidade da luz
1C = 6,24x1018 e-
e = 1,602x10-19 C
Eletrostática  Cargas em equilíbrio.
Eletrodinâmica  Cargas em movimento
• Transferência de energia;
•Transferência de informação.
- Corrente Elétrica (I, i) [ Unidade: Ampere A ]
Corrente será a definida
pelo movimento de cargas
em um meio físico.
Área da secção transversal
i
Q+
Q-
Meio Físico
A corrente elétrica será definida
como a taxa entre a variação
líquida de carga que atravessa
uma secção transversal do meio
físico em um determinado período
de tempo, ou seja:
Q 
C
Q
dq
, assim  i 
I
ou q   i.dt
 A   , no limite  i  lim
dt
t 
s
t 0 t
- Tipos de Correntes
Alternada
Contínua
Contínua pulsante
Fonte: www.google.com/imagens
- Diferença de Potencial (U, u) [Unidade: Volt V]
O movimento de cargas acarreta em realização de trabalho, ou seja, em
dispêndio de energia. Assim, para uma carga se deslocar de um
determinado ponto a outro, deverá receber ou perder energia, tal qual a
ideia para deslocamento do elétron dentro de um átomo.
i
+
Elemento
de
Circuito
u
Uma vez que a energia é
despendida pela carga, então:
-
i
+
i
Elemento
u
-
Passivo
Seta da corrente entra no
terminal positivo da tensão,
diz-se que o elemento tem
polarização de elemento
passivo.
Elemento Passivo  Absorve Energia
J
V 
C
-
u
+
Elemento
Ativo
Seta da corrente entra no
terminal negativo da tensão,
diz-se que o elemento tem
polarização de elemento
ativo.
Elemento Ativo  Fornece Energia
- Potência ( P, p ) [ Unidade: Watt W ]
• Capacidade de transferir energia ao longo do tempo.
C
J J
x
  W, então, P  UxI
s
C s
- Energia ( E, e ) [ Unidade: Joule J ]
E  Pxt
- Exemplos
5A
5A
+
10V
Elemento
De
-
Circuito
P  10 x5  50W (abs)
10V
- 5A
De
+
-
Elemento
Circuito
P  10 x5  50W ( forn)
10V
Elemento
De
+
Circuito
P  10 x(5)  50W ( forn)  50W (abs)
- Lei de OHM
A experiência levou OHM a
concluir que:
Menos Condutor
u (V)
U I
Mais Resistente
U3
Portanto, haveria uma constante
de proporcionalidade para definir:
Mais Condutor
U2
Menos Resistente
U1
U  RI
i (A)
I
RESISTÊNCIA
- Elementos de Circuitos
• Resistor [R] Unidade: OHM (Ω) 
U RI
u  L
• Indutor [L] Unidade HENRY (H) 
• Capacitor [C] Unidade FARAD (F) 
• Fontes de Tensão:
Alternada
Contínua
V2
P U  I  R I 
R
2
i C
di
dt
du
dt
• Fontes de Corrente:
Alternada
Contínua
- Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT)
n
LKT 
I
I
V
i 1
i
0
V1  R1  I
 V1  V2  V3  V  0 
então,
 V1  V2  V3  V
, Sabendo que:
V2  R2  I
V3  R3  I
R1  I  R2  I  R3  I  V  ( R1  R2  R3 )  I  V 
Req  R1  R2  R3
Portanto, Req  I  V  I 
V
Req
• Associação Série de Resistores implica em todos os elementos estarem
sendo percorridos pela mesma corrente, portanto:
Req  R1  R2  R3  ...  Rn  i 1 Ri
n
- Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC)
n
LKC 
I
j 1
j
0
I1  V
 I1  I 2  I 3  I  0 
então,
V
R1
V
R2
V
I1  I 2  I 3  I
, Sabendo que:
I2  V
I3  V
 I  ( 1 R  1 R  1 R ) V  I 
R3
1
2
3
1
1
1
1



Req R1
R2 R3
Portanto, I 
V
 V  Req  I
Req
• Associação Paralela de Resistores implica em todos os elementos
estarem sujeitos a uma mesma diferença de potencial (tensão), portanto:
1
1
1
1
n 1



 i 1
Req R1
R2 R3
Ri
Obs.: para 2 resistores
em paralelo, temos:
Req 
R1  R2
R1  R2
R1
R2
R3
A aplicação de circuitos em instalações elétricas, em geral, está
relacionado ao seguinte esquema de ligação:
Onde, a fonte representa a alimentação em corrente alternada disponibilizada
pela concessionária de energia e as resistências representam as cargas
instaladas, tais como, iluminação, chuveiro, torneira elétrica, forno elétrico,
microondas e outros equipamentos.
Como se pode observar, os equipamentos estão ligados em paralelo entre
si e com a fonte de tensão. Assim, garante-se que todos os equipamentos
estarão sendo alimentados pela mesma tensão, que deve ser a tensão
nominal do equipamento. Por isto, deve se ter o cuidado quando da
utilização de equipamentos denominados de bi-volt(110V/220V), pois, se
for selecionada a tensão inferior à da fonte(concessionária), em geral o
equipamento queima. Se for selecionada a tensão superior à da fonte, o
equipamento não funciona ou, se funcionar, não terá o desempenho
adequado.
- Corrente Alternada Senoidal
A energia elétrica é gerada e distribuída na forma de uma senóide
que oscila em 60Hz, conforme o gráfico abaixo:
Como é característica da forma senoidal, a onda apresenta um valor
máximo (Vm) e um mínimo (-Vm) e, oscilando em 60Hz, apresenta um
período de 16,67ms.
No Brasil, há dois padrões de valores máximos gerados, 155V ou
311V. Esta diferença é diversificada entre os estados brasileiros. Por
exemplo, no Paraná se usa 155V, já em Santa Catarina prevalece o
311V. Estas diferenças nos valores são históricas e envolve o
desenvolvimento e domínio de tecnologia, além do custo benefício
da instalação.
- Circuitos com Excitação Senoidal
Aplicando LKT, tem-se:
di
R  i  L   Vm cos .t
dt
Resolvendo a equação diferencial de 1ª ordem, para o regime permanente, tem-se:
i
Vm
R 2  (L) 2
cos[.t  tan 1 (L R )] (A)
Defasagem
   tan 1 ( RL )
Pode-se observar que tanto a amplitude, quanto a defasagem, dependem da
frequência. O tempo, agora, apenas denota a existência de uma senóide, ou seja,
quando a excitação é senoidal, a variável de interesse passa a ser a frequência e
não mais o tempo.
Assim, no tocante a circuitos elétricos é desenvolvida uma teoria denominada
de FASORIAL, baseada em um elemento matemático denominado FASOR, e
que passa a ter como domínio o conjunto dos números complexos.
A teoria de Fasores pode ser estudada em detalhes no capítulo 9, do livro do
Irwin, que está especificado no plano de ensino da disciplina.
Para facilitar o entendimento, aqui se desenvolverão alguns conceitos visando
dar um mínimo de base sobre o que se vai estudar.
A idéia do fasor está baseada na teoria dos números complexos, conforme
segue:
Im
b
ω
Z  a  j.b (retangula r) ou Z | Z |  (polar)
Z
onde,
Φ
a
Re
Z  a 2  b 2 e   tan 1 b a 
a  Z  cos  e b  Z  sen
Se o número complexo, com sua representação polar (módulo e fase) assume
uma velocidade angular (ω), então, a este conjunto, denomina-se de Fasor.
A ideia de haver um módulo que se desloca com velocidade angular, é muito
próxima da teoria da geração de senos e cosenos, com se verá adiante.
A figura abaixo, indica a geração do seno. Observa-se o deslocamento de um
ponto M, com fase x e com uma velocidade angular.
Fonte: www.google.com.br/imagens
Assim, vamos intuir que um sinal senoidal tem três informações importantes:
a amplitude, a fase e a velocidade angular.
Portanto, se assumirmos conhecida uma dada frequência angular (Domínio
da Frequência), o que nos sobra para caracterizar uma onda senoidal é
apenas a amplitude e a sua fase, ou seja, tal qual um número complexo e
tal qual um Fasor.
Com efeito, vamos poder representar as tensões e correntes, no domínio
da frequência, da seguinte forma:
v  VM cos(t   ) (V )
V  VM  (V )
i  I M cos(t   ) ( A)
I  I M  ( A)

Assumindo, agora, que as grandezas elétricas TENSÃO e CORRENTE estão
representadas pelos fasores V e I, respectivamente, então pode-se desenvolver
o conceito de IMPEDÂNCIA (Z), com sendo:
V VM  VM
VM
Z 

    Z 
I
I M 
IM
IM
e
   
Com efeito, apresenta-se as relações fasoriais para os 3 elementos de
circuito passivos:
• Resistor
ZR  R
• Indutor
ZL  jL
• Capacitor
ZC  
j
C
Z R  R0
ou
ou
ou
o
Z L  L  90o
ZC 
1
  90o
C
  2. . f ( rd s )
Impedância se
associa tal qual
Resistência
Uma vez apresentados os conceitos relativos aos FASORES, pode-se voltar a
atenção para o desenvolvimento dos conceitos de potência, os quais são de
grande interesse e aplicação quando se trata de instalações elétricas.
- Conceito de Valor Eficaz (RMS – Root Mean Square)
As ondas periódicas tem aplicações diversas, porém, como a onda senoidal apresenta
um valor médio nulo, dentro de um período, se faz necessário desenvolver o conceito
de VALOR EFICAZ de uma onda periódica, em particular a senoidal. Somente assim, a
onda senoidal terá sentido de utilização na aplicação da transferência de energia
(potência), que é o objetivo das instalações elétricas.
Em termos de realização de trabalho, ou dispêndio de energia, ou potência
desenvolvida, não importa o tipo de fonte, contínua ou alternada, mas, o resultado em
si. Ou seja, a transferência de energia, que em geral, está relacionada com a variação
de temperatura, o que por sua vez, dá noção de potência desenvolvida.
A ideia de Valor Eficaz está baseada na comparação da transferência de energia, via
potência dissipada, entre dois elementos idênticos.
Para desenvolver o conceito, vamos supor duas resistências de mesmo valor, estando
uma sujeita a uma alimentação em corrente contínua (CC) e a outra em corrente
alternada (CA), conforme segue:
Onde, i  I M cos t ( A)
p  R  i2
CC
Pcc  R  I
2
CA
1
PM 
T

T
0
1 T
2
pdt  PM  0 R  i dt
T
Fazendo, Pcc  PM
Tem-se:
1
RI 
T
2
1 T 2
1 T 2
2
I
i
dt

I
cos
ωt dt 
M


0
0
T
T
I
I M2
T
0
T
I M2  T 1
  I
1
dt

cos
2
ωt
dt
2
2
0

T  0
IM
I ef 
2
Por analogia:
T

0

T
0
R  i 2 dt
( 1 2  1 2 cos 2ωt ) dt
I M2  T 1 

2 dt



0

T 
I M2 1
 T 
T 2
VM
Vef 
2
Exemplo:
Em Santa Catarina 
No Paraná 
311
Vef 
 220V
2
155
Vef 
 110V
2
VM  311V 
VM  155V 
Portanto, em termos práticos, pode-se afirmar que, do ponto de vista de
potência, um sinal senoidal com valor máximo de 311V e oscilando em 60Hz,
pode ser substituído por uma fonte de corrente contínua de 220V. O gráfico
abaixo, mostra a onda senoidal e o valor eficaz.
Em termos de potência, temos:
• Corrente Contínua 
2
U
Pcc  U  I  R  I 2 
R
• Corrente Alternada  i  I M cos(t   ) ( A)
2
v
Potência Instantânea  p  v  i  R  i 2 
R
Para ondas senoidais, tem-se:
v  VM cos(t   ) (V )
t2
1
pdt
Potência Média  PM 
t 2  t1 t1
1 T
PM   pdt
T 0
Substituindo
i  I M cos(t   ) ( A)
v  VM cos(t   ) (V )
Na fórmula da potência instantânea, tem-se:
p  v  i  VM .I M . cos(.t   ). cos(.t   )
, como
   
, então:
p  VM .I M . cos(.t   ). cos(.t     )  12 VM .I M . cos   12 VM .I M . cos(2..t  2   )
Para a potência média, tem-se:
1 T
1 T 1
PM   pdt   [ 2 VM .I M . cos   12 VM .I M . cos( 2..t  2   )]dt
T 0
T 0
0
Cos2ωt tem período de
1 T1
1 T1
T/2, estando sendo
PM   2 VM .I M . cos  .dt   2 VM .I M . cos( 2..t  2   )dt
integrado em T, ou seja,
T 0
T 0
1
T
1 T1
1
PM   2 VM .I M . cos  .dt  12 VM .I M . cos  .  dt
T 0
T 0
em dois períodos da
onda, portanto, valor
médio é ZERO.
PM  12 VM .I M . cos 
Usando a relação de valor eficaz:
PM  12 VM .I M . cos   12 . 2.Vef . 2.I ef . cos   PM  Vef .I ef . cos  (W)
Desenvolvendo os conceitos de potência complexa, ativa, reativa e aparente.
j
PM  Vef .I ef . cos   PM  Re[Vef .I ef .e ] , mas   α  θ , então :
PM  Re[Vef .I ef .e
j (  )
j
j (  )
P

Re[
V
.
e
.
I
.
e
]
] M
ef
ef
_
 
PM  Re V. I 
 
_
_
, onde
Na forma retangular, tem-se:
T  P  jQ  | T | 
FASOR
V
FASOR
I
T  V. I  Potência Complexa (VA)
P  Vef .I ef . cos  Pot. Ativa (W)
T  P  jQ
Q  Vef .I ef .sen Pot. Reativa (VAR)
1
| T | P 2  Q 2  (Vef .I ef . cos  ) 2  (Vef .I ef .sen ) 2  (Vef .I ef ) 2  (cos 2   sen 2 )
| T | Vef .I ef  S  Potência Aparente (VA)
 V .I .sen 
Q
1  ef ef
1  sen 

  tg 1.tg ( )  
  tg [Im( T ) / Re(T )]  tg    tg 
 tg 

P
 cos  
 Vef .I ef . cos  
1
1
T  P  jQ  | T |   S (VA)
Fator de
P
Potência
FP

P  Vef .I ef . cos   S . cos 
(FP)
S
Indutor FP atrasado
o
 0
Capacitor FP adiantado
o
 0
Sistemas Polifásicos
- Geração de um sinal senoidal
Fonte: http://macao.communications.museum
- Geração Trifásica
Fonte: http://macao.communications.museum
van  180.sen377.t (V)
vbn  180.sen( 377.t-120o ) (V)
vcn  180.sen( 377.t-240o ) (V)
Van  1270o (V)
Vbn  127  120o (V)
http://dc378.4shared.com/doc/5UNZGUtN/preview.html
Ligação em Estrela ou Y
Vcn  127  120o (V)
Cargas Trifásicas
As cargas trifásicas são compostas por 3 impedâncias cujos os terminais são
acessíveis, conforme mostra a figura abaixo. A impedâncias podem ser
exatamente iguais – Sistema equilibrado -, ou podem ser diferentes - Sistema
Desequilibrado.
Uma vez que se tem acesso aos 6 terminais, há a possibilidade de se fazer
dois tipos de ligações entre os mesmos:
Tensões e Correntes no Circuito em Y
Tensões de Fase (V f )  Van , Vbn e Vcn
Tensões de Linha (VL )  Vab , Vbc e Vca
Correntes de Linha ( I L )  I aA , I bB e I cC
• Na ligação em Y, as correntes de linha são iguais às
correntes de fase;
• Está se supondo que as fontes representam a ligação do
Transformador que alimenta a carga trifásica, desprezando-se
as impedâncias dos condutores de ligação fonte-carga;
S e Z1  Z 2  Z 3 ,
então o sistema é EQUILIBRAD O e
I aA  I bB  I cC  0, Portanto I Nn  0
S e Z1  Z 2  Z 3 ,
então o sistema é DESEQUILIB RADO e
I aA  I bB  I cC  0, Portanto I Nn  0
Exercícios
1) Para uma carga monofásica de 5.600W/FP=0,8at(ind) alimentada em
220V/60Hz, determinar a potência aparente, a potência reativa e a amplitude da
corrente.
P  5.600W
FP  0,8ind
FP  cos 
FP 
P
P 5600
S 

 7.000 VA
S
FP
0,8
Q  S.sen  7000.sen36,87o  7000  0,6  4.200 VAR
  cos 1 FP
  cos 1 0,8  36,87 o
S  Vef .I ef  I ef 
S
7000

 31.82 A
Vef
220
2) Para a carga 3,5kVA/Φ=+23,07º , alimentada em 127V/60Hz, pede-se:
a) FP
b) P
c) Q
d) Ief
3) Considerando:
Carga 1
3kW e   53,13o
Sendo a tensão 220V/60Hz, determinar:
a) A amplitude da corrente de linha do sistema?
b) O FP do sistema ?
Carga 2  5kVA e FP  0,8at
Carga 3  10kVA e
FP  0,78ad
Em termos de circuito simplificado, tem-se:
Pode-se determinar a
potência complexa total TT:
TT  PT  jQT
PT  P1  P2  P3 e QT  Q1  Q2  Q3
PT  3x103  4 x103  7,8x103  14,8kW
Carga 1  P1  3kW FP1  cos(53,13)  0,6at
TT  14,8 x103  j 0,75 x103
P1 3x10 3
S1 

 5kVA
FP1
0,6
TT  14,82  2,90o KVA
Q1  S1.sen  5x10 3.sen( 53,13)  4kVAR
Carga 2  S2  5kVA P2  S2.FP2  5x103 x0,8  4kW
  cos 0,8  36,87
-1
0
Carga 3  S3  10kVA
QT  4 x103  3x103  6,25 x103  750VARat
Q2  S2 .sen  3kVAR  3kVAR ind
P2  S 2 .FP2  10 x10 x0,78  7,8kW
3
  cos-1 0,78  38,740 Q2  S2 .sen  6,25kVAR  6,25kVAR ad
TT  ST T
ST  V .I Lsis  I Lsis
ST 14,82 x103


 67,4 A
V
220
FPT  cos T  cos( 2,90o )  0,99ind
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