COMPLEXOS: FORMA TRIGONOMÉTRICA

MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 63
COMPLEXOS: FORMA
TRIGONOMÉTRICA
b
C
P
a
3
p
=
5
0
|
z
|
4
p
12
13
5
=
|z|
0
b
P
P
b
z
z
0
0
0
a
a
a
0
z
P
b
0
0
a
b
P
b
P
b
|
z
|
θ
a
4 . z = -4
5 . z = -3
0
3
-4
θ = 180º
θ = 0º
θ
4i
Fixação
1) (UERJ) Considere o seguinte número complexo:
z= 1-i
1 +√3
Ao escrever z na forma trigonométrica, os valores do módulo e do argumento serão, respectivamente, de:
a) √2 e 25π
––––
12
b) √2 e 17π
––––
12
√2 25π
c) –– e ––––
2
12
√2 17π
d) –– e ––––
2
12
Fixação
2) (CESGRANRIO) Um complexo z possui módulo igual a 2 e argumento π .
3
Sendo z o conjugado de z, a forma algébrica do complexo z é:
a) 1 - i√3
b) √3 - i
c) √3 + √3i
d) 1 + i
e) 2 (√3 - i)
Fixação
3) (PUC) Se i for um dos vértices de um hexágono regular centrado na origem, então, quais
são os outros vértices?
Fixação
F
4) (PUC) O ponto P é o afixo do número complexo z = 1 - √3 . i
Das figuras abaixo, aquela que representa P é:
5
d
a
b
c
d
a) b)
Im(z)
Im(z)
P
2
30º
Re(z)
2
c) d)
Im(z)
60º Re(z)
P
P
1
Im(z)
60º
1
30º Re(z)
Re(z)
P
e)
Im(z)
60º
P
Re(z)
2
Fixação
^
5) (UERJ) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são  e B.^Se i é a unidade
imaginária
^
dos números complexos, então o produto (cos  + i sen Â) . (cos B + i sen B) é igual a:
a) -1 + i
b) i
c) 0
d) 1
Fixação
F
6) Determine o menor inteiro n > 1 para o qual (√3 + i)n é um número real positivo.
7
a
b
c
d
e
Fixação
7) O módulo do número complexo 2 + 3i é:
-5 - i
a) √2
b) √2
2
5
c)
6
d) √13
e) 17
5
Proposto
1) (CESGRANRIO) Se Z = 1 + i, o argumento principal do complexo 1 é:
z²
a) zero
b) π/4
c) π/2
d) π
e) 3π/2
Proposto
2) Dados os números complexos z = 1 + 2i e w = 4 - 3i, o valor da expressão z² + |w| é igual a:
a) 1 + 7i
b) 6 - 4i
c) 10 + 4i
d) 2 + 4i
e) 2 - 4i
Proposto
3) Sabendo que um quadrado, inscrito numa circunferência de centro na origem, tem como
um de seus vértices o afixo de Z1 = 3i, calcule os números complexos que são representados
pelos outros três vértices.
Proposto
4) (UNICAMP) Um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência de centro na origem tem
como um de seus vértices o ponto do plano associado ao número complexo √3 + i.
a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo?
b) Qual a medida do lado desse triângulo?
Proposto
5) Na figura abaixo, os números complexos z1, z2, ..., z8 estão sobre os vértices de um octógono
regular. Com isso, pode-se afirmar que o produto z8 . z2 . z6 é:
Im
Z2
Z1 = i
Z8
Z7 = 1
Z3 = -1
a) Z1
b) Z4
c) Z5
d) Z6
e) Z8
Z4
Z6
Z5 = -i
Re
Proposto
6) O número complexo:
[ [
π
1 - cos a
+ i 1 - 2cos a + 2sen a , a ∈ ,0
sen a cos a
sen2 a
2
π
tem argumento . Neste caso, a é igual a:
4
π
a)
6
b) π
3
c) π
4
d) π
5
e) π
9
z=
Proposto
7) Considere os números complexos z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), em que i é a unidade imaginária
e x é um número real. Determine:
a) o número complexo z1 . z2 em função de x;
b) os valores de x tais que Re (z1 . z2) = Im (z1 . z2), onde Re denota a parte real e Im denota
a parte imaginária do número complexo.
Proposto
8) O módulo do complexo 3 + 4i é igual a:
a) 4
b) 5
c) 7
d) 9
e) 12
Proposto
9) Na figura abaixo, o ponto P é a imagem de um número complexo z, representado no plano
de Gauss.
Im(z)
P
3
-4
0
Re(z)
Nestas condições, o módulo de z é igual a:
a) √5
b) 2√5
c) 5
d) 3√5
e) 10
Proposto
10) Das afirmativas:
I) Dois números complexos conjugados possuem o mesmo módulo.
II) O quadrado da unidade imaginária é igual a um.
III) O módulo da unidade imaginária é igual a um.
a) Todas são verdadeiras.
b) Todas são falsas.
c) Somente a segunda é verdadeira.
d) Apenas uma delas é falsa.
e) Nenhuma resposta.
Proposto
11) Sendo z1 = 4 + 2i e z2 = 1 - 2i, então |z1 - z2| é igual a:
a) 5
b) √5
c) 3√5
d) 10
e) 3√15
Proposto
12) O módulo do número complexo z tal que 3z - iz - 2 - 2i = 0 é:
a) √6
b) √5
c) √4
d) √3
e) √2
Proposto
13) (ITA) O produto dos números complexos z = x + yi, que tem módulo igual a √2 e se encontram sobre a reta y = 2x - 1 contida no plano complexo, é igual a:
a) 6 - 8 i
5 5
b) 4 - 2 i
5 5
c) - 8 - 8 i
5 5
d) 2 + 2i
e) não existe nenhum número complexo que pertença à reta y = 2x - 1 - 1 e cujo módulo seja √2.
Proposto
-14) A forma trigonométrica do número complexo y = 4√3 + 4i é:
a) 8 (cos 30° + i sen 30°)
b) 8 (cos 45° + i sen 45°)
c) 8 (cos 60° + i sen 60°)
d) 8 (cos 120° + i sen 120°)
e) 8 (cos 150° + i sen 150°)
.
Proposto
11π
11π
15) Colocando-se na forma algébrica cos –– + isen ––
6
6
obtém-se
a) 2√3 + 2i
b) 2 + 2√3 i
c) 3-2i
d) 2√3 - 2i
e) √3 + 2i
Proposto
16) (PUC) Na forma trigonométrica, o número complexo
(1 + i)2
z = ––––– fica:
1-i
3π
3π
a) √2 cos –– + isen ––
4
4
1
3π
3π
b) –– cos –– + isen ––
√2
4
4
3π
3π
c) √2 cos –– - isen ––
4
4
3π
3π
d) √2 - cos –– + isen ––
4
4
1
3π
3π
e) –– cos –– - isen ––
√2
4
4
Proposto
17) (UNIRIO) Seja o complexo z = ρ. (cos θ + i sen θ) escrito na forma trigonométrica. Então z.z é:
a) 2ρ
b) 2ρ (cos 2θ - i sen 2θ)
c) ρ²
d) ρ² (cos θ² + i sen θ²)
e) cos²θ + i sen²θ
Proposto
:18) (UFRJ) O número complexo z é representado por um ponto que pertence à reta de equação
x - 2y = 5 e possui módulo igual a √5.
Determine z.