Matrizes - folhas 1 a 5

Matrizes - ALGA - 2004/05
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Matrizes
Introdução
Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m
de…nida no conjunto f(i; j) : i 2 f1; 2; :::; mg
n a uma função A
e j 2 f1; 2; :::; ngg e com valores em R.
A matriz A é usualmente representada como um quadro, numa das formas:
2
a11
a12
a13
6
6 a21 a22 a23
6
6
A = 6 a31 a32 a33
6 .
..
..
6 ..
.
.
4
am1 am2 am3
a1n
3
7
a2n 7
7
a3n 7
7
.. 7
..
.
. 7
5
amn
A = [aij ]i=1;:::;m onde aij = A (i; j).
j=1;:::;n
Os elementos aij dizem-se as entradas da matriz; o elemento aij está posicionado na linha
i (denominado índice de linha) e na coluna j (denominado índice de coluna) da matriz A:
Os elementos com o mesmo índice de linha e coluna, isto é, os elementos aii ; i 2 f1; 2; :::; ng
dizem-se entradas principais da matriz;
Duas matrizes A e B são iguais se forem do mesmo tipo e as entradas correspondentes forem
iguais.
Se m = n a matriz diz-se quadrada, dizendo–se nesse caso que a matriz é de ordem n.
Matrizes particulares
Se m = 1 a matriz diz-se uma matriz linha.
Se n = 1 a matriz diz-se uma matriz coluna.
Se A = [aij ] i=1;:::;n é uma matriz quadrada, então:
j=1;:::;n
a diagonal principal de A é constituída pelas suas entradas principais.
a matriz diz-se triangular superior se aij = 0; sempre que i > j;
a matriz diz-se triangular inferior se aij = 0; sempre que i < j;
a matriz diz-se diagonal se é triangular superior e inferior, ou seja se aij = 0;
sempre que i 6= j;
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Matriz nula de tipo m n é a matriz Om
2
3
0 0 0
0
7
6
6 0 0 0
0 7
6
7
6 0 0 0
7
0
O=6
7.
7
6 . . . .
6 .. .. .. . . ... 7
4
5
0 0 0
n
= [oij ]i=1;:::;m ; em que oij = 0, ou seja,
j=1;:::;n
0
Matriz identidade de ordem n é a matriz In = [aij ] i=1;:::;n em que aij =
j=1;:::;n
3
2
1 0 0
0
7
6
6 0 1 0
0 7
7
6
7
6 0 0 1
0
ou seja, In = 6
7:
7
6 . . . .
6 .. .. .. . . ... 7
5
4
0 0 0
1
A simétrica da matriz A = [aij ]i=1;:::;m é a matriz
j=1;:::;n
Se
(
1 se i = j
0 se i 6= j
A = [bij ]i=1;:::;m ; onde bij =
j=1;:::;n
;
aij .
é um número real, então a matriz In diz-se uma matriz escalar.
Operações com matrizes
Transposição
Se A = [aij ]i=1;:::;m é uma matriz de tipo m n; a sua transposta é a matriz AT = [bij ] i=1;:::;n
j=1;:::;n
de tipo n
j=1;:::;m
m tal que bij = aji :
Uma matriz quadrada diz-se simétrica se AT = A.
Soma
Se A = [aij ]i=1;:::;m e B = [bij ]i=1;:::;m são matrizes de tipo m
j=1;:::;n
n, de…ne-se a matriz:
j=1;:::;n
A + B = [cij ]i=1;:::;m do mesmo tipo, onde cij = aij + bij :
j=1;:::;n
Produto escalar
Se A = [aij ]i=1;:::;m é uma matriz de tipo m
ne
é um número real, de…ne-se a matriz:
j=1;:::;n
:A = [cij ]i=1;:::;m do mesmo tipo, onde cij = aij :
j=1;:::;n
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Produto
Se A = [aij ]i=1;:::;m é uma matriz de tipo m
j=1;:::;q
q e B = [bij ] i=1;:::q é uma matriz de tipo q
n,
j=1;:::;n
de…ne-se a matriz:
A
B = [cij ]i=1;:::;m de tipo m
j=1;:::;n
n, onde cij =
q
X
aik bkj :
k=1
AB
Sejam CjB a coluna j da matriz B; LA
i a linha i da matriz A, Cj a coluna j da matriz AB
e LAB
a linha i da matriz AB. Tem-se:
i
(i) ACjB = CjAB
AB
(ii) LA
i B = Li
Propriedades
Soma e produto escalar
Se A; B e C são matrizes de tipo m n, O é a matriz nula do mesmo tipo e ;
reais, veri…cam-se:
1. A + B = B + A (comutatividade)
2. (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade)
3. A + O = A (elemento neutro)
4. A + ( A) = O (existência de simétricos)
5.
(A + B) = A + B
6. ( + ) A = A + A
7.
( A) = (
)A
8. 1A = A
9.
O=O
10. AT
T
=A
11. (A + B)T = AT + B T
12. ( A)T = AT
são números
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Produto
Se A; B e C são matrizes, O é a matriz nula e
é um número real então, sempre que os
produtos estejam de…nidos veri…cam-se:
1. (AB) C = A (BC) :
2. AO = O:
3. AIn = A = In A:
4. (A + B) C = AC + BC e A (B + C) = AB + AC:
5.
(AB) = ( A) B = A ( B) :
6. (AB)T = B T AT :
Nota: O produto de duas matrizes diagonais é uma matriz diagonal e o produto de duas
matrizes triangulares superiores (inferiores) é uma matriz triangular superior (inferior)
Inversa de uma matriz
Seja A uma matriz de ordem n. Se existe uma matriz X tal que AX = XA = In ; diz-se que
a matriz A é invertível; A matriz X diz-se a inversa de A e denota-se X = A 1 .
Se a matriz A é invertível, a sua inversa é única.
Propriedades
Se A e B são matrizes invertíveis de ordem n, veri…cam-se:
(i) A
1
1
é invertível e (A 1 )
(ii) AB é invertível e (AB)
1
(iii) AT é invertível e AT
(iv) Se A é invertível e
(v) Se A é diagonal, A
1
= A.
= B 1A 1.
T
= (A 1 ) :
6= 0 é um número real, então A é invertível e ( A)
1
(vi) Se A é triangular, A
é também diagonal.
1
é também triangular
1
=
1
A 1.
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Matriz em forma de escada
Seja A = [aij ]i=1;:::;m uma matriz real de tipo m
n:
j=1;:::;n
A matriz A está em forma de escada (ou em escada de linhas) se, para cada linha
i 2 f1; 2; :::; mg ; se veri…ca:
Caso 1 A linha i é nula
Então, para todo o r > i; a linha r é nula.
Caso 2 A linha i não é nula
Se ais é o primeiro elemento não nulo da linha i (denominado o pivot); então para
todo o l > i e para todo o c
s; alc = 0.
A matriz A = [aij ]i=1;:::;m está na forma condensada (ou em escada de linhas reduzida)
j=1;:::;n
se está em forma de escada e, para cada linha i 2 f1; 2; :::; mg se veri…cam:
1. O pivot é a identidade;
2. Se ais é o pivot, então para todo o l < i; als = 0.
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
(OP1) Trocar duas linhas;
(OP2) Multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
(OP3) Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar.
Nota: Podem-se de…nir operações elementares análogas sobre as colunas.
Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa
matriz em forma de escada.
Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa
matriz condensada.
Característica da matriz
A característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas de uma qualquer matriz
em forma de escada que possa ser obtida de A através de operações elementares.