Pontos notáveis e Polígonos convexos

Geometria Plana 03
Prof. Valdir
PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
Como consequência da propriedade a), temos que:
1. BARICENTRO
É o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do triângulo.
O baricentro coincide com o ponto de intersecção das medianas do
triângulo (na figura a seguir = G).
Mediana – é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio
A
do lado oposto.
P
A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6.
2. INCENTRO
É o centro da circunferência inscrita no triângulo.
O incentro coincide com o ponto de intersecção das bissetrizes dos
ângulos internos de um triângulo.
Bissetriz interna – é o segmento de reta que une um vértice com o
lado oposto formando dois ângulos de mesma medida.
N
AM – bissetriz do ângulo Â
BN – bissetriz do ângulo B
CP – bissetriz do ângulo C
G
B
M
C
A
AM – mediana relativa ao lado BC
BN – mediana relativa ao lado AC
CP – mediana relativa ao lado AB
⇒ I é o incentro do ∇ABC
N
P
Propriedades:
I
a) O baricentro divide cada mediana em dois segmentos na razão de
2 para 1.
Justificativa:
Considerando a figura anterior, como M é médio de AB e N é médio
de AC, teremos:
B
M
C
Teoremas:
1) Teorema das bissetrizes internas:
MN // AB e AB = 2.MN
“A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o
lado oposto dois segmentos de reta de medidas proporcionais aos
dois lados que formam o referido ângulo.”
De MN // AB, então ∇ MNG ∼ ∇ABG. Assim:
AG = 2.GM
BG = 2.GN
CG = 2.GP
A
b) Uma mediana divide o triângulo em dois triângulos de mesma
área;
A
C
B
M
Se AM é a bissetriz do ângulo Â, então, pode-se afirmar que:
C
M
H
CM BM
=
AC AB
B
Veja: Os triângulos AMC e AMB têm bases iguais (CM = BM) e AH
como altura. Assim, eles têm áreas iguais.
c) As três medianas dividem o triângulo em seis triângulos de
A
mesma área.
Demonstração:
Aplicando a lei dos senos nos triângulos ACM e ABM da figura a
seguir, teremos:
A
α
A5
A6
B
α
A4
G
A1
A3
C
θ
β
M
B
A2
C
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1
CM
AC
=
(1)
senα senθ
BM
AB
No triângulo ABM :
=
(2)
senα senβ
Como β + θ = 180, temos que senθ = senβ. Assim, dividindo (1) por
(2), vem que:
CM
AC
senα = senθ ⇒ CM = AC (Provado)
BM
AB
BM AB
senα senβ
No triângulo ACM:
2) Teorema da bissetriz externa
“Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a
reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto
externamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes”.
:
A
3. CIRCUNCENTRO
É o centro da circunferência circunscrita no triângulo.
O circuncentro coincide com o ponto de intersecção das mediatrizes
dos lados do triângulo.
Mediatriz de um segmento de reta – é o lugar geométrico do plano
cujos pontos são equidistantes dos extremos do segmento.
r – é a mediatriz do lado BC
s – é a mediatriz do lado AB
O = r ∩ s – Circuncentro do triângulo ABC
Então, AO, BO e CO são segmentos de reta que têm a mesma medida
do raio da circunferência que passa por A, B e C.
r
C
CP BP
=
AC AB
α
α
O
B
M
C
B
A
s
Demonstração:
Aplicando a lei dos senos nos triângulos ACP e ABP da figura a seguir,
teremos:
A
α
α
Observações:
a) Num triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da
hipotenusa e a mediana relativa à hipotenusa tem o
comprimento do raio da circunferência circunscrita. (AO = BO =
CO = raio, onde BO é a mediana relativa à hipotenusa).
180° - α
A
θ
C
P
B
O
CP
AC
No triângulo ACM:
=
(1)
sen(180° - α ) senθ
BP
AB
=
(2)
No triângulo ABM :
senα senθ
Como sen(180°-α) = senα, dividindo (1) por (2), teremos:
C
B
b) O circuncentro (O) de um triângulo obtusângulo é um ponto
exterior ao triângulo. (0° < α < 180°)
CP
AC
CP AC
sen(180° - α) senθ
=
⇒
(Provado)
=
BP
AB
BP AB
senα
senθ
B
α
C
A
O
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2
4. ORTOCENTRO
É o ponto de intersecção das alturas de um triângulo.
Resolução:
A
A
10 cm
8 cm
C
N
P
S
B
M
O
12 – CS
12 cm
B
Pelo texto, AS é bissetriz do ângulo A. Assim, pelo teorema das
bissetrizes internas, vem que:
C
M
AM – é a altura relativa ao lado BC.
BN – é a altura relativa ao lado AC.
CP − é a altura relativa ao lado AB.
O – é o ortocentro do triângulo ABC.
CS BS
CS 12 - CS
16
=
⇒
=
⇒ CS =
⇒
8 10
4
5
3
Como AM é mediana, temos que: CM = 6 cm. Assim, teremos:
16
2
SM = CM – CS = 6 –
⇒ SM =
cm
3
3
Resposta: SM = 2/3 cm
Observações:
a) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e,
no triângulo obtusângulo, é um ponto exterior ao triângulo.
b) O triângulo cujos vértices são os pontos M, N, P é chamado de
triângulo órtico. O ortocentro (O) do triângulo ABC é o incentro
do triângulo órtico. Ou seja, a circunferência inscrita no triângulo
MNP tem centro no ponto O.
c) Os pontos A, P, M e C pertencem à circunferência de diâmetro
AC. Assim como os pontos A, N, M e B pertencem à
circunferência de diâmetro AB e os pontos B, P, N e C pertencem
à circunferência de diâmetro BC.
02. Seja o triângulo ABC de lados AB, BC e AC respectivamente iguais
a 9 cm, 8 cm e 10 cm. Sejam CM e CN as bissetrizes interna e externa
do triângulo no vértice C com M e N pontos da reta que contém o
lado AB. Assim, calcule o comprimento do segmento de reta MN.
Resolução:
C
θ
α α θ
10
8
A
A
M
B
N
9
P
Usando os teoremas das bissetrizes, teremos:
N
O
B
C
M
MB 9 - MB
=
⇒ MB = 4 cm
8
10
NB 9 + NB
=
⇒ NB = 36 cm
8
10
Assim, teremos:
MN = MB + NB = 40 cm
Resposta: MN = 40 cm (Letra E)
Exercícios resolvidos:
01. Dado o triângulo ABC cujos lados medem AB = 10 cm, AC = 8 cm e
BC = 12. Seja AS o segmento de reta que passa pelo centro da
circunferência inscrita no triângulo ABC e AM a mediana relativa ao
lado BC. Determine o comprimento do segmento de reta SM.
A
03. Na figura a seguir, ABC é um triângulo retângulo no vértice C, AE
é bissetriz do ângulo BÂC e CD é mediana relativa ao lado AB.
Sabendo-se que o ângulo AÊD mede α e o ângulo C D̂ E mede β,
então calcule α + β.
A
D
C
S
M
B
β
F
α
C
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20°
B
E
3
Resolução:
O triângulo ABC é retângulo em C. Assim, o ponto D, médio de AB, é
o circuncentro do triângulo ABC. O que se pode concluir que CD = BD
= AD. Como o triângulo BCD é isósceles, o ângulo DCE mede 20° e o
ângulo FCA mede 70°(complemento). Sendo AE uma bissetriz, o
ângulo CAE mede 35°. Pelo teorema do ângulo externo, nos
triângulos CAF e FED, temos que:
α + β = 70° + 35°
b2 = m2 + x 2 + 2.x.m.cos β
 2
2
2
c = n + x - 2x.n.cos β
Multiplicando a 1ª equação por n e a 2ª por m, teremos:
b2n = m2n + x 2n + 2.x.m.n.cos β
 2
2
2
c m = n m + x m - 2x.n.mcos β
Adicionando as duas equações, teremos:
Resposta: α + β = 105°.
2
04. Na figura a seguir, ABC é um triângulo retângulo em B sendo AB =
3 cm e BC = 4cm. O segmento BN é uma bissetriz e BM uma mediana.
Sendo assim, calcule a medida do segmento de reta MN.
A
2
2
2
2
2
b n+c m=m n+n m+x m+x n⇒
2
2
2
b n + c m = mn(m+n) + x (m + n) ⇒
2
2
2
n.b + m.c = (m + n).(m.n + x )
⇒
Como m + n = a, vem que:
2
2
2
n.b + m.c = a(m.n + x ) (Relação de Stewart)
N
M
3 cm
B
Exercícios resolvidos:
01. Seja o triângulo ABC cujos lados AB, BC e AC medem,
respectivamente 8 cm, 9 cm, 10 cm. Determine o comprimento da
mediana BM relativa ao lado AC.
C
4 cm
Resolução:
Considerando MN = x, e aplicando o teorema das bissetrizes internas
no ∆ABC, teremos:
AN NC
2, 5 - x 2, 5 + x
=
⇒
=
3
4
3
4
7x = 2,5 ⇒ x = 5/14
B
Resolução:
⇒ 7,5 + 3x = 10 – 4x ⇒
8
9
x
Resposta: 5/14 cm
A
C
M
5
Relação de Stewart
Seja um triângulo ABC e a ceviana CD relativa ao lado BC, sendo D
um ponto do lado AB, como mostra a figura a seguir.
C
b
10
Aplicando a relação de Stewart, teremos:
2
2
2
2
2
2
n.b + m.c = a.(m.n + x ) ⇒ 5.8 + 5.9 = 10.(5.5 + x ) ⇒
2
2
320 + 405 = 250 + 10.x ⇒ x = 47,5 ⇒
Resposta: x ≅ 6,9 cm.
c
x
β
α
A
B
D
m
5
n
02. Seja o triângulo ABC cujos lados AB, BC e AC medem,
respectivamente 8 cm, 10 cm, 9 cm. Determine o comprimento da
bissetriz BS relativa ao vértice B.
B
a
Resolução:
α α
Sendo:
x: comprimento da ceviana CD
a, b, c: medidas dos lados do triângulo ABC
m, n: medidas dos segmentos AD e BD, partes do lado AB
10
8
x
A
A relação de Stewart será:
C
S
m
2
2
n
2
n.b + m.c = a(m.n + x )
9
Calculando m e n pelo teorema das bissetrizes internas.
Demonstração:
Aplicando a lei dos cossenos nos triângulo ACD e BCD, teremos:
b2 = m2 + x 2 - 2.x.m.cosα
 2
2
2
c = n + x - 2x.n.cosβ
m n
=
8 10
m 10 - m
=
8
10
m = 4 cm
⇒
n = 5 cm
Assim, aplicando a relação de Stewart, teremos:
2
Como cosα = – cosβ, teremos:
⇒
2
2
2
2
2
n.b + m.c = a.(m.n + x ) ⇒ 5.8 + 4.10 = 9.(4.5 + x ) ⇒
2
2
320 + 400 = 405 + 9.x ⇒ x = 35 ⇒ x ≅ 5,9 cm
Resposta: x ≅ 5,9 cm
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4
Obs.: Num polígono regular, lados e ângulos são congruentes. Logo,
teremos:
POLÍGONOS CONVEXOS
e2
B
C
i3
i2
i1 = i2 = i3 = ... = i ⇒
i = Si / n
e3
e1 = e2 = e3 = ... = e ⇒
e1
A
e = Se / n
i4 D
i1
e4
4. NÚMERO DE DIAGONAIS DO POLÍGONO
O número de diagonais (D) de um polígono convexo de n lados é
dado por:
D=
...
Observando o polígono ABCD ... da figura anterior, teremos:
1. ELEMENTOS
⇒ A, B, C, D, ... – vértices do polígono.
⇒ AB, BC, CD, … – lados do polígono.
⇒ AC, AD, BD, ... – diagonais do polígono.
⇒ i1, i2, i3, ... – medidas dos ângulos internos.
⇒ e1, e2, e3, ... – medidas dos ângulos externos.
2. SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS (Se)
Considerando um polígono convexo de n lados, a soma dos seus
ângulo externo será dada por:
Se = 360°
Demonstração:
Observa-se que e1, e2, e3, ... en, são os desvios angulares, em
cada, vértice quando consideramos uma trajetória que coincide com
o polígono. Assim, para efetuar uma volta completa em, cominhando
pelos lados do polígono, o desvio angular é de 360°. Dessa forma,
n.(n - 3)
2
Demonstração:
Diagonal é um segmento de reta que liga dois vértices não
consecutivos de um polígono convexo. Portanto, (n – 3) é o número
de diagonais que saem de cada vértice. Ou seja, de um vértice não sai
diagonal para ele mesmo e nem para os dois vértices consecutivos a
ele.
Conclui-se, então, que o número total de diagonais de um
n.(n - 3)
polígono convexo de n vértices é dado por
(Provado)
2
Obs1.: Se o polígono for regular de n lados, teremos:
a) Se n for par, n/2 diagonais passam pelo seu centro e assim,
teremos n.(n – 4)/2 diagonais que não passam pelo seu centro.
b) Se n for ímpar, então nenhuma diagonal passa pelo centro do
polígono.
Obs. 2.: Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em uma
circunferência.
e1 + e2 + e3 + ... + en = 360° ⇒ Se = 360° (Provado)
3. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS (Si)
Considerando um polígono convexo de n lados, a soma dos
ângulos internos do polígono será dada por:
Si = (n – 2).180°
Demonstração:
Observa-se que, em cada vértice do polígono, a soma das medidas
dos ângulos interno e externo é 180°. Então:
e1 + i1 = 180°
e2 + i2 = 180°
e3 + i3 = 180°
⋮
⋮
⋮
en + in = 180°
Exercícios resolvidos:
01. Um polígono convexo de 15 lados tem as medidas de seus
ângulos internos em progressão aritmética de razão igual a 2°.
Determine o maior ângulo interno desse polígono.
Resolução:
Se os ângulos internos formam uma PA crescente de razão 2º, então,
o termo central (i8) é a média aritmética das medidas dos ângulos
internos. Assim,
Adicionando as n parcelas, teremos:
i8 =
e1 + e2 + e3 + ... + en + i1 + i2 + i3 + ... in = n.180° ⇒
360° + Si = 180°.n ⇒
Si = 180°.n – 360° ⇒
Si = (n – 2).180° (Provado)
Sn S15 (15 - 2).180o
=
=
= 156°
n 15
15
A medida do maior ângulo interno será:
i15 = i8 + 7.r ⇒ i15 = 156° + 7.2° =170°
Resposta: 170°
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5
02. Um polígono convexo tem dois ângulos de 150º e os outros
medem 155º. Determine o número de diagonais desse polígono.
Resolução:
Se i1 = 150º ⇒ e1 = 30º e i2 = 155º ⇒ e2 = 25º. Assim, como a soma
dos ângulos externos é 360°, teremos:
30° + 30° + 25° + 25° + 25° + L = 360° ⇒
60° + (n – 2).25° = 360º ⇒
(n – 2).25° = 300° ⇒
n – 2 = 12 ⇒
n = 14
Calculando o número de diagonais, teremos:
n.(n - 3)
14.(14 - 3)
⇒D=
⇒ D = 77
D=
2
2
Resposta: 77 diagonais.
02. Cerâmicas pentagonais regulares foram usadas para compor o
piso de uma sala, como mostra a figura a seguir. Observa-se que, ao
compor o piso, entre as peças justapostas aparece um espaço vazio
na forma de um estrela de cinco pontas chamada pentagrama.
Considerando a figura e as informações do texto, determine:
a) A medida do ângulo θ de cada ponta da estrela.
b) A distância entre duas pontas consecutivas da estrela sabendo-se
que a medida do lado da cerâmica pentagonal é 10 cm e cos 108°
= - 0,3.
θ
Resolução:
03. No polígono regular ABCDEF... o número de diagonais é o triplo
do número de lados. Sendo assim, determine a medida do ângulo
formado pelas diagonais AC e AE desse polígono. (Lembrete: todo
polígono regular é inscritível).
C
10 m
e
i
Resolução:
A
10 m
B
Sendo n o número de lados, teremos:
a) Da soma dos ângulos externos do pentágono regular, teremos:
5.e = 360° ⇒ e = 72° ⇒ i = 108°
n.(n - 3)
2
= 3.n ⇒ n – 9n = 0 ⇒ n = 9 (eneágono)
2
Inscrevendo o eneágono em um círculo, teremos:
Assim, no piso, teremos:
θ + i + i + i = 360° ⇒ θ + 3. 108° = 360° ⇒ θ = 36°
Resposta: θ = 36°
B
A
C
D
α
E
G
b) A distância entre duas pontas consecutivas da estrela é igual à
medida da diagonal AC do pentágono regular. Assim, aplicando a lei
dos cossenos no triângulço ABC, teremos:
2
2
2
2
AC = 10 + 10 – 2.10.10.cos 108° ⇒ AC = 200 – 200.(-0,3)
AC = 260 ⇒ AC = 2 65 m
Resposta: AC = 2 65 m
F
Como o polígono tem 9 lados, vem que:
o
= 360 = 40o ⇒ CE
= 80°
CD
9
Como α é um ângulo inscrito, teremos:
CE
α=
⇒ α = 40°
2
Resposta: 40°
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6