ELECTROMAGNETISMO II - Práticas Folha 7: Campo electromagnético. Vector de Poynting 1. Considere um fio condutor cilı́ndrico, longo, não magnetizável, de condutividade σ, comprimento L e secção A = π a2 percorrido por uma corrente I. Determine o fluxo de energia à superfı́cie do fio e mostre que este fluxo de energia está relacionado com o efeito de Joule. 2. Um gerador de corrente alternada está ligado a um condensador plano, cujas placas são discos de área A = πa2 ; a carga no condensador é q = q0 sin ωt. Calcule os campos eléctrico e magnético no espaço entre as placas. Calcule a variação, por unidade de tempo, da energia associada ao campo electromagnético no espaço entre as placas. Relacione a expressão obtida com o fluxo do vector de Poynting através da superfı́cie que delimita o volume considerado. Nota: considere ω pequeno e que os efeitos dos bordos são desprezáveis. 3. Um condensador plano é formado por duas placas circulares de área A = πa2 separadas, no instante inicial, por uma distância d0 (d0 ¿ a) e está ligado a uma fonte de tensão que mantém uma diferença de potencial constante V0 entre as placas. (a) Considere que as placas começam a oscilar, muito lentamente, mantendo-se paralelas mas passando a distância entre elas a ser dada por d = d0 + d1 sin(ωt) . Calcular o campo magnético H que se estabelece entre as placas . (b) Calcular o campo H se as placas forem postas a oscilar como se referiu na alı́nea anterior, mas depois de terem sido desligadas da bateria e isoladas. 4. No interior de um cilindro infinito de raio a existe um campo magnético B = B0 cos(ωt) k̂ que varia muito lentamente com o tempo. No exterior o campo é nulo. Não há distribuições de carga. (a) Calcule as densidades volumétricas e superficiais de corrente. (b) Obtenha o campo eléctrico induzido em todo o espaço. (c) Calcule o fluxo do vector de Poynting através de uma superfı́cie cilı́ndrica fechada correspondente a um segmento de altura unitária do cilindro e relacione o resultado obtido com a energia do campo electromagnético armazenada no volume limitado por esta superfı́cie. 5. Um condutor rectilı́neo indefinido, dirigido ao longo do eixo z, tem secção circular de raio a e é percorrido por uma corrente contı́nua de densidade não uniforme j = k̂ j0 r, com j0 constante. A condutividade do material é não uniforme, σ = σ0 r. (a) Calcule os campos E e B em todo o espaço; (b) Calcule o fluxo do vector de Poynting através da superfı́cie cilı́ndrica fechada que limita um troço de condutor, de comprimento L. Compare o resultado obtido com a potência dissipada por efeito Joule na referida porção de condutor. 6. Mostrar que a solução geral da equação de ondas para uma onda plana que se propaga na direcção do eixo x é ϕ(x, t) = f− (x − ct) + f+ (x + ct) . 7. Mostrar que a solução geral da equação de ondas para uma onda plana que se propaga na direcção r̂ = l î + m ĵ + n k̂ (l, m, n são os cosenos directores) é uma função do tipo ϕ(x, y, z, t) = f− (lx + my + nz − ct) + f+ (lx + my + nz + ct) . 8. Determinar a solução geral da equação de ondas no caso de haver simetria esférica. 9. Uma onda electromagnética plana propaga-se no vazio no sentido positivo do eixo z. O campo eléctrico é descrito pela equação · µ E = î E0 cos ω t − z c ¶¸ . Determine o vector de Poynting e mostre que o seu módulo é igual ao produto da densidade de energia pela velocidade c de propagação da onda. 10. Uma onda electromagnética plana, harmónica e com polarização linear propaga-se no vazio. A amplitude do campo eléctrico é 50 mV/m e a frequência angular da onda é 108 rad/s. Determinar a grandeza e a direcção dos vectores E, H e S. 11. Entre dois planos paralelos definidos por y = 0 e y = a existe um campo eléctrico dado por E = E0 cos(kx − ωt)ĵ , sendo E0 , k e ω constantes. O campo é nulo fora da região limitada pelos planos. Calcule o campo de indução magnética B associado e obtenha as distribuições de cargas e de correntes existentes. Calcule o vector de Poynting e relacione-o com a energia transportada pela onda. 12. Uma onda electromagnética plana harmónica, de amplitude Em e de comprimento de onda λ propaga-se no espaço ilimitado cheio de um meio dieléctrico de condutividade especı́fica nula. A direcção de propagação forma com os eixos coordenados os ângulos α, β e γ respectivamente. Escrever as expressões das amplitudes complexas dos vectores campo eléctrico e campo magnético num ponto cujo vector posicional é R = xî + y ĵ + z k̂. A direcção do vector E faz com os eixos x, y e z os ângulos α0 , β 0 e γ 0 . 13. Uma onda electromagnética plana e harmónica propaga-se na direcção do eixo y e, em y = 0 passa de um meio dieléctrico para outro meio dieléctrico. O eixo z é paralelo à direcção do vector campo eléctrico. Os parâmetros dos meios são os seguintes: −∞ < y < 0 ²1 = ²0 µ1 = µ0 σ1 = 0 0 < y < ∞ ²2 = 4²0 µ2 = µ0 σ2 = 0 . A frequência angular é ω = 3×108 rad/s. A amplitude do vector campo eléctrico, para y > 0 é Em = 1 mV/m. Obter as expressões do campo eléctrico e magnético em todo o espaço. 14. Considerar uma onda electromagnética com as caracterı́sticas indicadas no Problema 10. Calcular a força electromotriz gerada numa antena quadrada de lado igual a 3 m colocada no plano definido pelo vector E e pela direcção de propagação, como mostra a Figura. z 3 m D C E H 3 m A B S y x 15. Uma onda electromagnética plana, harmónica de frequência 106 Hz, propaga-se na direcção do eixo x em diferentes meios (todos com condutividade nula, σi = 0 e permeabilidade igual à do vazio, µi = µ0 ): meio 1 − ∞ < x < 0 ²1 = ²0 ; meio 2 0 < x < d ²1 = ²0 ; meio 3 0 < x < ∞ ²1 = ²0 . A amplitude do campo magnético é, para x = d = 2 cm, igual a 2 mA/m. Obter o campo eléctrico, o campo magnético e o vector de Poynting em todo o espaço. 16. Uma onda electromagnética plana, harmónica, linearmente polarizada, propaga-se num meio condutor. Obter o campo eléctrico e o campo magnético nesse meio sabendo que as caracterı́sticas do meio são σ = 10−2 Ω·m−1 , ² = 10²0 e µ = µ0 , que a frequência angular da onda é ω = 108 rad/s e que a amplitude do campo eléctrico na origem do sistema de referência é Em = 5×10−3 V/m. 17. De acordo com as expressões obtidas no problema anterior calcular o fluxo do vector de Poynting através de uma superfı́cie fechada S cujas dimensões se indicam na Figura. Mostrar que o valor médio desse fluxo num perı́odo é igual à potência dissipada no volume limitado pela superfı́cie considerada. l = 1 m l = 1 m l = 1 m y x 18. Obter as expressões gerais para as componentes do campo electromagnético num ressoador de forma paralelipipédica de lados a, b e d como mostra a Figura. Deduzir a expressão para a frequência de ressonância e respectivo comprimento de onda. Supor que as paredes do ressoador são supercondutoras e que existe o vazio na cavidade. Considere que não há componentes dos campos segundo a direcção x.