Ficha 9

1◦ Semestre 2012/2013
Problemas de Mecânica Quântica
25. Considere a função ψ5 2 2 (r, θ, ϕ) = R5 2 (r)Y22 (θ, ϕ) do orbital n = 5, ℓ = 2, e m = 2 do
hidrogénio.
a) Desenhe qualitativamente a função de onda radial R5 2 (r). Indique qual é o comportamento perto da origem, longe da origem, e justifique o número de zeros da função que
desenhou.
b) Qual é a energia de ligação desse orbital em eV?
c) Qual é a dependência no ângulo ϕ de ψ5 2 2 (r, θ, ϕ)?
d) Qual é a dependência no ângulo θ de ψ5 2 2 (r, θ, ϕ)?
26. Considere uma partı́cula de massa m no seguinte potencial
{1
V (x, y, z) =
2 mω
2
(x2 + y 2 )
∞
se |z| < a
senão,
com ω = (~/m)(π/a)2 .
a) Determine as energias e as funções de onda dos estados estacionários deste potencial
trabalhando em coordenadas cartesianas.
b) Encontre as equações que determinam as energias e as funções de onda dos estados
estacionários deste potencial trabalhando em coordenadas cilı́ndricas. Diga se obteve
funções próprias de Lz .
c) Usando (em casa) o “Mathematica” obtenha as soluções da alı́nea anterior.
27. Considere os seguintes operadores com a dimensão de energia:
p2
1
H0 =
+ mω 2 x2
2m 2
√
W1 = ~ω
mω
x
~
W2 = ~ω
mω 2
x .
~
Considere também os 5 estados próprios H0 | n⟩ = (n + 12 )~ω | n⟩ de menor energia
do operador H0 . Parte do problema vai ser resolvido no “espaço de Hilbert restrito”,
H = {| 0⟩, | 1⟩, | 2⟩, | 3⟩, | 4⟩}, um dos principais métodos da mecânica quântica.
a) Calcule exactamente as energias próprias dos hamiltonianos H0 + λW1 e H0 + µW2 .
(Se pensar um pouco é trivial.)
b) Escreva a representação das matrizes associadas a H0 , W1 e W2 no sub-espaço restrito
H.
c) Determine numericamente (em casa) as energias próprias dos hamiltonianos H0 +λW1
e H0 +µW2 no sub-espaço restrito H para λ = 0.1, λ = 0.5, µ = 0.1, e µ = 0.5. Compare
os valores obtidos com os valores exactos da alı́nea a).
h0 = Table[If[i == j, (i + 1/2), 0], {i, 0, 4}, {j, 0, 4}]
Problema para entregar a 20 de Dezembro na aula
ou no cacifo até às 12h de 21 de Dezembro.
28. Vamos continuar o estudo detalhado do mais simples sistema quântico, o spin-1/2,
ou seja o espaço de Hilbert H = C
I 2 . O hamiltoniano para um spin-1/2 num campo
⃗ é dado por
magnético B
~⃗
⃗ · ⃗s
H = −γ B
· ⃗σ = −γ B
2
⃗ · ⃗σ = Bx σx + By σy + Bz σz
B
onde σi são as “matrizes de Pauli” definidas no problema 24, si =
giromagnético. Para um electrão
γe = ge µB
~
2 σi
e γ é o factor
1
|e|
= ge
= −1.760 859 708(39) × 1011 T−1 s−1
~
2me
~|e|
= 9.274 009 68(20) × 10−24 JT−1
2me
ge = −2.00231930436153(53),
µB =
enquanto que para protões e neutrões temos
γp = 2.675222005(63) × 108 T−1 s−1
γn = −1.83247179(43) × 108 T−1 s−1 .
⃗ · ⃗σ
Como ge é quase igual a −2, use (com fazem muitos livros) a aproximação H = µB B
para os electrões. Devido à convenção da carga negativa do electrão, encontram-se
na literatura outra definições de todas estas quantidades com o sinal trocado. Por
vezes, como na actual (Dezembro 2012) página da wikipédia sobre o “gyromagnetic
ratio”, encontram-se duas convenções de sinal trocadas a poucas linhas de distância.
Por consistência segui aqui as convenções do Griffiths. Os valores das constantes são
tiradas de physics.nist.gov com a ressalva que para o NIST temos γeNIST = |γ|,
trocando-se o sinal da primeira equação para electrões e neutrões, mas não para protões.
Usando os resultados do problema 24, vemos que este é o problema mais geral no espaço
de Hilbert H = C
I 2 , tirando o aspecto trivial da escolha do zero de energia.
⃗ 0 = B0⃗ez quais são as energias e vectores próprios de H?
a) Para B
b) Qual vai ser a evolução temporal de um estado de spin
( )
a
χ=
= a | +1/2⟩ + b | −1/2⟩
b
onde | +1/2⟩ e | −1/2⟩ são os vectores próprios da matriz sz = ~2 σz com valores próprios
± ~2 . O resultado chama-se precessão de Larmor.
c) Em muitas situações fı́sicas (ressonância magnética, por exemplo) temos um forte
⃗ 0 = B0⃗ez e um campo fraco λB
⃗ 1 = λ(B1x⃗ex + B1y ⃗ey + B1z ⃗ez ) cuja
campo estático B
magnitude é controlada pelo valor do parâmetro λ. Calcule as energias e vectores
⃗ = B
⃗ 0 + λB
⃗ 1 . Desenvolva o resultado em série de
próprios para o caso do campo B
Taylor em λ. O resultado que vai encontrar pode ser obtido mais facilmente com a
“teoria de perturbações”.
d) Considere um campo magnético dependente do tempo. Escreva, inspirando-se nos
problemas 11, 14, e 17, uma equação numérica que espera que seja estável para a
evolução no tempo do estado de spin. A resposta está num notebook na página da
cadeira, mas tente resolver a alı́nea sem olhar para a resposta.
e) Escreva o hamiltoniano em unidades adimensionais para o campo magnético
⃗ = B1 cos(ωt)⃗ex − B1 sin(ωt)⃗ey + B0⃗ez .
B
Começamos por escolher |B0 | como unidade de campo magnético. Em seguida vamos
escolher a unidade de frequência angular como sendo ω0 = 2µB |B0 |/~ = |γ||B0 |. Escolhendo ~ como unidade de acção, a unidade de energia vai ser 2µB |B0 |, e a de tempo
2π/ω0 .
f) Adapte o notebook na página da cadeira para ver a evolução no tempo do vector
| +1/2⟩ para o caso B1 = 0. Verifique se é estável, e se obtém o resultado da alı́nea b).
g) Observe a evolução no tempo para o caso B1 = B0 /50 e ω = −cω0 onde ω0 = |γ|B0
e c = 0.95, 0.96, . . . , 1.04, 1.05 e o estado inicial | +1/2⟩. O intervalo de observação tem
que ser superior a 50 × 2π/ω0 para ver alguma coisa de interessante. Faça o gráfico do
máximo de probabilidade de encontrar o estado | −1/2⟩ para cada valor de c. Vai obter
a figura de ressonância magnética do sistema.