Notas da disciplina de F´ısica IV

Fı́sica IV
1
Notas da disciplina de Fı́sica IV
1
Equações de Maxwell- Ondas electromagnéticas
1.1
Circulação e fluxo de campos vectoriais
Seja Γ(A → B) uma curva orientada do ponto A com vetor posoção ~rA para o ponto
B com ~rB . A integral de um campo vectorial F~ (~r ) ao longo dessa curva é chamada
circulação e notada
Z
~
F~ · d~r
T (Γ, F ) :=
Γ(A→B)
Na mecânica seria o trabalho de uma força ao longo de um caminho.
Para calcular a integral precisamos de uma representação paramétrica da curva :
~
~
~
~r = R(s)
tal que R(a)
= ~rA e R(b)
= ~rB , achamos
Z
Γ(A→B)
F~ · d~r :=
Z
b
b
≡
Z
a
a
~
d R(s)
~
F~ (R(s))
·
ds
!
d
X(s)
d
Y
(s)
d
Z(s)
~
~
~
+ Fy (R(s))
+ Fz (R(s))
ds
Fx(R(s))
ds
ds
ds
O bordo da curva orientada, notado como ∂Γ, é formado pelo conjunto dos pontos
extremos ”orientados”: A positivo e B negativo. A diferencial de um campo escalar
f(~r ) ≡ f(x, y, z) define o gradiente de uma função por
−→
df := grad f · d~r ≡
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
O teorema fundamental do cálculo fornece
Z
Γ
−→
Rb
a
df = f(b) − f(a) que escreve-se como :
grad f · d~r = (∂Γ, f) := f(b) − f(a)
unde a expresão (∂Γ, f) se lê como ”f avaliada em ∂ Γ”.
A generalização dessa propriedades às dimensões maiores é conhecida como teorema
de Stokes. O fluxo de um campo vectorial F~ através de uma superfı́cie orientada por
~ = ~n dS, é definido por :
um vector normal unitário ~n, com dS
~ :=
F (S, B)
Z
S
~ · dS
~
B
Fı́sica IV
2
O bordo de uma superfı́cie orientada, notado ∂S possue uma orientação induzida de
modo que
Z −→
Z
−→
~
~
~
~ · d~r = T (∂S, B)
~
F (S, rot B) :=
rot B · dS =
B
S
∂S
Finalmente, a carga dentro de um voume V de uma quantidade escalar ρ é
Q(V, ρ) =
Z
V
ρ dV
Com a fronteira orientada ∂V de V temos mais um teorema de Stokes :
~ :=
M(V, divE)
1.2
Z
~ dV =
divE
V
Z
∂V
~ · dS
~ = F (∂V, E)
~
E
Forma Global das leis de Maxwell
Temos duas equações sem fontes :
~ através de uma superfı́cie
1. Lei de Gauss do magnetismo : O fluxo do campo B
fechada é nulo :
~ =0
F (∂V, B)
(1.2.1)
2. Lei de Faraday da indução : A variação no tempo do fluxo do campo magnético
através de uma superfı́cie S induz uma força electromotriz no bordo dessa superfı́cie, oposta à essa variação :
−
d
~ = T (∂S, E)
~
F (S, B)
dt
(1.2.2)
Mais duas equações que contenham as fontes, que são as cargas e correntes.
~ através de uma superfı́cie fechada é igual
1. A Lei de Gauss : O fluxo do campo E
a 1/0 vezes a carga contida no volume cujo bordo é essa superfı́cie :
~ = 1 Q(V, ρ)
F (∂V, E)
0
(1.2.3)
onde ρ é a densidade de carga no volume V .
2. A lei de Ampére Maxwell : A circulação do campo magnético ao longo do bordo
∂S é igual á µ0 vezes a corrente atravês dessa superfı̀cie mais uma corrente de
”deslocamento” sendo a variação do fluxo do campo elétrico vezes 0 :
~ = µ0
T (∂S, B)
d
~
F (S, ~j) + 0 F (∂S, E)
dt
!
(1.2.4)
Vejam no livro texto a necessidade de introduzir uma corrente de deslocamento
no processo de carregamento de um capacitor. A consistência matemática das
equações também requer esse termo.
Fı́sica IV
3
Escrendo explicitamente as integrais envolvidas, obtemos :
Z
∂V
~ · dS
~ =0
B
~ · d~r + d
~ · dS
~ =0
E
B
dt
∂S
S
Z
Z
~ · dS
~=
0 E
ρ dV
Z
Z
∂V
Z
∂S
1.3
V
d
1 ~
B · d~r −
µ0
dt
Z
S
~ · dS
~=
0 E
Z
S
~
~j · dS
(1.2.5)
Forma Local
Os teoremas de Stokes (vejam curso de cálculo) escrevem-se :
Z
−→
ZΓ
ZS
V
grad f · d~r = f(b) − f(a)
−→
~ · dS
~=
rot B
~ dV =
divE
Z
∂S
Z
∂V
~ · d~r
B
~ · dS
~
E
(1.3.1)
Aplicando esses teoremas de Stokes às equações [1.2.5] obtemos :
~ =0
divB
−→
~+ ∂B
~ =0
rot E
∂t
~ =ρ
div 0 E
~
~
∂ 0 E
B
rot   −
= ~j
µ0
∂t
−→


(1.3.2)
A conservação da carga escreve-se globalmente e localmente como
d
Q(V, ρ) + F (∂V, ~j) = 0
dt
∂ρ
+ div~j = 0
(1.3.3)
∂t
~ /∂t, não há consistência nas equações .
Sem a corrente de deslocamento ∂ 0 E
Fı́sica IV
1.4
4
Soluções particulares das equações de Maxwell
Ondas electromagnéticas são geradas por cargas aceleradas. No livro-texto é descrita,
bem qualitativamente, a geração de ondas por uma antenna dipolar elétrica. O essential é que o campo produzido pode ser decomposto em um campo (complicado)
localizado perto do dipolo e de um campo que decresce mais lentamente para zero
no infinito e que descreve a radiação . Se o dipolo for alimentado por uma corrente
alternada produzida por um circuito ressonante de freqüência angular ω, o campo
também varia com essa freq”uência. No caso em que os campos de radiação são produzidos por um dipolo, o campo elétrico longe do dipolo é, e permanece, paralelo ao
eixo do dipolo na região lomge desse dipolo onde nâo há cargas e correntes. Uma
ilustração da radiação dipolar é dada nos livros texto.
~ e B.
~
Podemos utilizae as equações de Maxwell no vácuo para os campos E
~ =0
divB
−→
~ =0
~+ ∂B
rot E
∂t
~ =0
div 0 E
−→
−→
~
~
∂ 0 E
B
rot   −
=0
µ0
∂t
−→


(1.4.1)
−→
~ =grad (divE)−4
~
~ onde o operador de Laplace
Usando as identidades rot rot E
E,
é dado por : 4 := ∂ 2/∂x2 + ∂ 2/∂y 2 + ∂ 2/∂z 2 . Definimos a velocidade c por 0 µ0 :=
1/c2 e achamos as equações de d’Alembert para os campos :
2
1 ∂2 ~
~ =0; 1 ∂ B
~ − 4B
~ =0
E
−
4
E
(1.4.2)
c2 ∂t2
c2 ∂t2
Comparamos com a equação das vihrações numa corda (veja disciplina de Fı́sica II)
e esperamos soluções na forma de ondas se propagando com velocidade c.
Construimos soluções particulares com campos eléctricos e magnéticos de direção
constante, sob a forma de uma onda plana, progressiva:
~ r , t) = E
~ 0 cos(~k · ~r − ωt + α) ; B(~
~ r, t) = B
~ 0 cos(~k · ~r − ωt + β)
E(~
Aplicamos as propriedades de um campo vetorial do tipo F~ (~r , t) = ϕ(~r, t) F~0 :
~ (~r , t)
−→
−→
−→
∂F
∂ϕ ~
divF~ (~r, t) =grad ϕ · F~0 ; rot F~ (~r , t) =grad ϕ × F~0 ;
=
F0
∂t
∂t
e equações [1.4.1] escrevem-se como
~ 0 sin(~k · ~r − ωt + β) = 0
−~k · B
~ 0 sin(~k · ~r − ωt + α) + ω B
~ 0 sin(~k · ~r − ωt + β)
−~k × E
~ 0 sin(~k · ~r − ωt + β)
−~k · B
~ 0 sin(~k · ~r − ωt + β) − ω E
~ 0 sin(~k · ~r − ωt + α) = 0
−~k × B
c2
(1.4.3)
Fı́sica IV
5
Visto que essas equações devem ser válidas para qualquer ~r e t, as fases α e β devem
ser iguais e podemos, com uma escolha conveniente, igualá-los a zero. Obtemos assı́im
~k · E
~ 0 = 0 ; ~k · B
~0 = 0
(1.4.4)
ω
~k × E
~0 = ω B
~ 0 ; ~k × B
~0 = − E
~0
(1.4.5)
c2
Usando o duplo produto vectorial : ~a × ~b × ~c = (~a · ~c) ~b − (~a · ~b)~c , obtemos :
~k × ~k × E
~ 0 = ω~k × B
~ 0 = − (ω 2 /c2 ) E
~ O = (~k · E
~ 0 ) ~k − ~k 2 E
~ 0 , donde |~k|2 = ω 2 /c2 .
~0 e B
~ 0 estão relacionados por |E
~ 0 | = c |B
~ 0 |.
Também o módulo dos vetores E
1.5
Fluxo de energia das ondas electromagnéticas
~ eB
~ sempre ficam paraleNas soluções particulares [1.4.3] que obtivemos os campos E
los a uma direção fixa. Esse tpo de onda é chamado de onda polarizada linearmente.
Mais adiante veremos tipos de polarização mais gerais. A densidade de energia dos
campos electrostático e magnético, como visto em Fı́sica III na carga de um capacitor
ou de uma bobina de indução magética, se generaliza ao caso mais geral :
~ 2 ; uM = (1/2µ0 ) B
~2
uE = (1/2) 0 E
(1.5.1)
~ = c |B|,
~ donde para a densidade
Para uma solução das equações de Maxwell temos |E|
de energia total do campo :
~ ~
~ 2 = 1 |E| |B|
uEM = |E|
c µ0
A quantidade de energia que atravessa uma área ∆A durante um intervalo de tempo
∆t na direção de propagação é ∆U = uEM c ∆t ∆A. O fluxo de energia por unidade
de tempo
1 ~ ~
∆U
=
|E| |B|
(1.5.2)
S :=
∆A ∆t µ0
Introduzimos o vetor de Poynting que descreve o sentido desse fluxo :
~= 1 E
~ ×B
~
S
(1.5.3)
µ0
~ eB
~ são ortogonais o módulo do vector de Poynting é dado pela equação
Visto que E
[1.5.2]. A energia que sai de uma superfı́cie fechada Σ = ∂V por unidade de tempo,
~ sobre ∂V :
a potência, é obtida como integral de S
~ ∂V ) =
F (S,
Z
∂V
~ · dΣ
~ =
S
Z
V
~ dV
divS
Exercı́cios :
1) : Mostre que, na ausência de cargas, temos conservação da energia :
∂uEM
~ =0
+ divS
∂t
2) Quais são as unidades de uE , uM , S, F (P~ , S) ??
(1.5.4)
Fı́sica IV
6
A intensidade de uma onda periódica é definida como o valor médio sobre um perı́odo
do fluxo da equação [1.5.2], que é o módulo do vector de Poynting. No caso de uma
~ = (1/µ0 ) E
~0 B
~ 0 hcos2(~k · ~r − ωt)i e o valor
onda plana progressiva senoidal I := h|S|i
médio sobre um perı́odo (ou sobre um comprimento de onda) de cos2 é 1/2, obtemos
I=
1 ~ ~
|E0 | |B0 |
2µ0
(1.5.5)
Teorema de Poynting :
Numa região onde tem carga, essas cargas sofrem a ação do campo electromagnético
~ + ~j ∧ B.
~ O trabalho realizado
resultando numa força por unidade de volume f~ = ρ E
em um deslocamento d~r , por unidade de volume, sobre as cargas é dT = f~ · d~r e ao
longo de uma solução das equações do movimento d~r = ~v dt de modo que
~ · ~j dt
dT = f~ · ~v dt = E
(1.5.6)
~ · ~j dV dt.
O trabalho realizado durante o intervalo dt no volume dV será : dW = E
Podemos eliminar ~j em função dos campos usando as leis de Maxwell. Usando também
−→
~ × B)
~ = B·
~ rot E
~ −E
~ · B,
~ achamos :
a identidade div(E
dW
~ − ∂u
= − divS
dV dt
∂t
(1.5.7)
~ = (1/µ0 ) E×
~ B
~ é o vetor de Poynting e u = (0/2)E
~ 2 +(1/2µ0 )B
~ 2 é a densidade
onde S
de energia electromagnética. Integrando sobre um volume V , e utilizando o teorema
do divergente, obtemos
dW
d
(V ) = −
dt
dt
Z
V
u dV −
Z
∂V
~ · dA
~
S
(1.5.8)
O trabalho, por unidade de tempo(i.e. a potência) realizado sobre as cargas no volume
V é compensado pela perda de enegia electromagnética no volume e pelo fluxo do
vetor de Poynting saindo desse volume. O exercı́cio 1 é o caso particular para uma
região sem cargas.
Matéria mais avançada - Tensor tensão do campo EM:
Temos um teorema semelhante para o momento linear a partir da equação
d~p
~ + ~j × B
~
= f~ = ρ E
dV dt
(1.5.9)
Eliminando ρ e ~j usando as equações de Maxwell obtemos uma expressão da forma:
~
f~ = − (1/c2 ) (∂ S/∂t)
+ div(T), onde o tensor T descreve as tensões criadas no
espaço pelo campo electromagnético. Ele é formado de uma parte eléctrica e uma
parte magnética :
1 ~2
Tij (E) := 0 Ei Ej − E
2
; Tij (M) :=
1
1 ~2
Bi Bj − B
µ0
2
Fı́sica IV
7
A densidade volumétrica das forças agindo sobre as partı́culas pode ser escrita como
~ mec /∂t, onde P
~ mec é a densidade de momento das cargas. Isto sugere
como f~ = ∂ P
definir a densidade de momentum do campo de radiação por :
~ rad = S/c
~ 2
P
(1.5.10)
e obtemos
∂ ~
∂ ~ Pmec = − P
(1.5.11)
rad + div(T)
∂t
∂t
Integrando sobre um volume V obtemos a força que o campo exerce sobre as cargas :
1 d
F~ = − 2
c dt
Z
V
~ dV +
S
Z
∂V
~
T · dA
(1.5.12)
O fluxo do tensor tensão através da superfı́cie ∂V contribue à força exercida pelo
campo sobre as cargas.
Voltando ao livro texto padrãom achamos o momentum linear carregado pelo campo
~ ∆V com módulo
no volume ∆V : ∆~p = (1/c2 ) S
∆p =
1
∆U
uEM ∆V =
c
c
(1.5.13)
Expressão usada no livro texto com justificação mais qualitativa. Esse momemto
do campo produz uma pressão de radiação na região do campo. O valor médio do
módulo de ∆p por intervalo de tempo ∆t e por área ∆A implica uma pressão
Π=
∆p
I
= hui =
∆t ∆A
c
(1.5.14)
No caso de paredes que absorvem completamente a radiação , numa incidência normal,
eles sofrem uma variação de momento dada acima em [1.5.12], mas se forem paredes
perfeitamente refletores a variação de momento será o dobro :
∆p = 2
∆U
c
(1.5.15)
Fı́sica IV
1.6
8
Exercı́cios
1): TIPLER,4a ed., cap 32,** 55
Uma espira circular de fio pode ser usada para detectar ondas EM. Suponha que uma
estação de FM de f = 100 MHz irradie P = 50 kW uniformamente em todas as
direções . Qual será a máxima tensão rms induzida em uma espira de r = 30 cm de
raio situada a R = 100 km da estação ? dado : µ0 = 4π 10−7 N/A2 .
solução :
a) a intensidade da onda é I = P/(4π R2 ), o valor máximo do campo magnético na
espira é B0 dado por I = c B0 2/(2 µ0 ) donde :
B0 2 =
2 × 4π10−7 × 50 103
2 µ0 P
=
c 4πR2
3 108 4π 1010
N
A.m
2
= 0, 577 × 10−10 T esla
2
b) O fluxo do campo magnético atravs da espira será máxima se o campo for perpendicular à área da espira. O valor máxim0 desse fluxo será Φ0 = B0 π r2 e
a tensão varia com a freqüência f = 108 Hz. O valor máximo da tensão é :
E0 = 2πf B0 π r2 = 10, 2 mV com o valor rms :
√
Erms = E0 / 2 = 0, 707 × 10, 2 mV = 0, 707 mV
Observação : Geralmente uma antenna NÃO irradia uniformamente em todas
direções . É preciso orientar a antenna ! Veja no livro texto a radiação de um
dipolo.
Fı́sica IV
9
2): TIPLER,4a ed., cap 32,*** 64
Um cilı́ndro longo de comprimento L, raio a, e resistivudade ρ, é percorrido por uma
corrente constante I uniformamente distribuı́da ao longo de sua seção reta. (a( Use
~ no condutor em função de {I, ρ, a}.
a lei de Ohm para determinar o campo elétricp E
~ junto à superfı́cie do condutor. (c) Use os
(b) Determine o campo magnético B
~ =E
~ × B/µ
~ 0 em
resultados dos ı́tens (a) e (b) para calcular o vetor de Poybting S
H
~ (d) Calcule o fluxo Sn dA através da
r = a. Em que direção aponte o vetor S?
superfı́cie do cilı́ndro e mostre que a taxa com que a energia penetra no cilı́ndro é
igual à I 2 R, onde R é a resistência do cilı́ndro.
solução :
~ = E ~z, onde pela
(a) : Tomaremos o eixo Oz ao longo do eixo do cilı́ndro. Temos E
lei de Ohm E = ρ j = ρ I/A. A = π a2 é a área da seção reta do cilı́ndro.
E=
ρI
π a2
(b) : A corrente é estacionária e podemos usar a lei de Ampère para calcular o campo
~ dirigido ao longo do vetor unitário azimutal B
~ =Bϕ
~ em torno
B
~ . A circulação de B
do cilı́ndro será : 2π a B = µ0 I, donde :
B=
µ0 I
2π a
(c) : O vetor de Poynting está na direção central ~z × ϕ
~ = − ~r com módulo
S=
1 ρI
I
ρ I2
µ0
=
µ0 2π a 2π a
πa2 2π a
(d) : Como a resistência é relacionada com a resistividade por R = ρ L/(πa2 ), obte~ através do cilı́ndro C :
mos o fluxo de S
~ = − S 2π a L = R I 2
F (C, S)
onde o sinal ”menos” indica que a energia entre no cilı́ndro.
Pergunta suplementar :
Qual é a conseqüência desse efeito sobre o cilı́ndro ?
Fı́sica IV
10
2): TIPLER,4a ed., cap 32,*** 65
Um solenóide longo de comprimento ` e de raio R, tem N espiras e é percorrido por
uma corrente que aumenta lentamente com o tempo de acordo com I(t) = a t.
(a) Determine o campo elétrico induzida a uma dustância r < R do eixo do solenóide.
~ = E
~ × B/µ
~ 0 , para r = R, i.e. na superfı́cie
(b) Determine o vetor de Poynting S
do solenóide. (c) Calcule o fluxo do vetor de Poynting através da superfı́cie Σ do
~ := R S
~ · dA
~ e mostre que é igual à taxa de aumento da energia
solenóide : F (Σ, S)
Σ
magnética armazenada no solenóide.
solução :
(a) : O campo magnético dentro do solenóide é calculado pela lei de Ampère (sem
H
~ · d~` = µ0 I(σ) . Usamos para isso um contorno ∂Σ
corrente de desocamento): ∂Σ B
que passa pelo centro do solenóide de modo que a unica contribuição ven do campo
~ dentro do solenóide com resultado O campo B
~ estara na direção do eixo Oz com
B
vetor unitário ~z e sentido determinado pelo enrolamento dextrógiro do fio onde passa
a corrente (positiva)
~ = B ~z ; B = µ0 N I = µ0 n I
B
`
H
~ · d~` = −(d/dt)F (B,
~ Σ),
Para calcular o vetor elétrico usamos a lei de Faraday ∂Σ E
onde o caminho ∂Σ é concêntrico ao eixo do solenóide à uma distância r desse eixo.
~ ~z } os três vetores unitários do sistema de coordenadas cilı́ndricas de modo
Seja {~
ρ, φ,
~ = E(r) φ
~ com E(r) 2π r = − d/dt(µ0 n I π r2 ) e
que E
~ ; E(r) = − r µ0 n dI
~ = E(r) φ
E
2
dt
(b) : O vetor de Poynting na superfı́cie do solenóide é :
~ = S ~ρ ; S = −(R/2) I(dI/dt)µ0 n2
S
~ através se Σ é :
(c) : O fluxo de S
~ = −µ0 n2 A ` I
F (Σ, S)
dI
d Umag
=−
dt
dt
A inductância do solenóude é L = µ0 n2 A ` e a energia armazenada no solenóide é
dada por Umag = (1/2) I 2 L.