0.30.2 Ondas planas sinusoidais monocromáticas

130
0.30.2
Ondas planas sinusoidais monocromáticas
Para além de obedecerem às equações de onda (417) e (418), os campos eléctrico e
magnético no vazio estão também sujeitos às equações de Maxwell, o que se traduz em
caracterı́sticas especı́ficas das ondas electromagnéticas. No sentido de estudarmos estas
caracterı́sticas, consideremos que o campo eléctrico é descrito no vazio por uma onda
plana sinusoidal monocromática, a propagar-se na direcção positiva do eixo dos xx, tendo
a seguinte forma:
E(x, t) = E0 ej(k x−ω t+φ0 ) = (E0x êx + E0y êy + E0z êz )ej(k x−ω t+φ0 )
(420)
O campo magnético associado a esta onda está indissociavelmente ligado ao campo
eléctrico através da lei de Ampère-Maxwell e da lei de Faraday. A variação temporal
do campo eléctrico gera o campo magnético e vice-versa. Esperamos pois que o campo
magnético associado à mesma onda plana seja também descrito por uma onda plana
propagando-se na mesma direcção com a mesma frequência. Sendo também a mesma
velocidade de propagação, o comprimento de onda será idêntico:
B(x, t) = B0 ej(k x−ω t+φ1 ) = (B0x êx + B0y êy + B0z êz )ej(k x−ω t+φ1 )
(421)
Estamos para já a admitir que o campo magnético possa não estar em fase com o
campo eléctrico, mas rapidamente verificaremos que, no vazio (não é o caso geral), o
campo magnético se propaga em fase com o campo eléctrico.
No vazio, a densidade de carga é nula, ρ = 0, pelo que a lei de Gauss implica ∇·E = 0.
Isto implica, para a onda plana em questão:
∇ · E = 0 ⇔ j k E0x ej(k x−ω t+φ0 ) = 0 ⇔ E0x = 0
(422)
A componente do campo eléctrico paralela à direcção de propagação é assim nula,
sendo o o campo eléctrico perpendicular à direcção de propagação. O mesmo decorre
para o campo magnético, da equação ∇ · B = 0. A onda electromagnética associada é
pois uma onda transversa, quer no que diz respeito ao campo eléctrico, quer no que diz
respeito ao campo magnético.
Recorrendo à lei de Faraday, podemos calcular o campo magnético associado a esta
onda:
∇×E=−
∂B
∂B
⇔ (−E0z j k êy + E0y j k êy ) ej(k x−ω t+φ0 ) = −
∂t
∂t
(423)
0.30. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS NO VAZIO
131
Daqui resultam equações para By e Bz :
∂By
= E0z j k ej(k x−ω t+φ0 )
∂t
(424)
∂Bz
= −E0y j k ej(k x−ω t+φ0 )
∂t
(425)
Estas equações têm como solução (desprezando as constantes de integração, por corresponderem a soluções triviais, não ondulatórias, da equação de onda):
k
1
By = − E0z ej(k x−ω t+φ0 ) = − E0z ej(k x−ω t+φ0 )
ω
c
Bz =
k
1
E0y ej(k x−ω t+φ0 ) = E0y ej(k x−ω t+φ0 )
ω
c
(426)
(427)
em que se atendeu a ω/k = c, no vazio. O campo magnético assim obtido está pois em
fase com o campo eléctrico. Além disso, é-lhe perpendicular, conforme se pode verificar
rapidamente calculando o produto vectorial E · B:
E · B = Ey By + Ez Bz = 0
(428)
Para uma onda electromagnética no vazio, o campo eléctrico, o campo magnético e a
direcção de propagação (neste caso êx ) formam assim um conjunto de vectores ortogonais,
que podemos relacionar através do produto vectorial:
B=
1
(êx × E)
c
(429)
Em resumo, podemos sintetizar as propriedades das ondas electromagnéticas que se
propagam no vazio:
• são ondas transversas, em que o campo eléctrico e o campo magnético são perpendiculares à direcção de propagação k̂;
• o campo eléctrico e o campo magnético são mutuamente perpendiculares e formam,
com a direcção de propagação k̂, um conjunto ordenado de acordo com a regra da
mo direita, na ordem E → B → k̂;
132
• o módulo do campo magnético e o módulo do campo eléctrico relacionam-se por:
1
|B| = |E|
c
(430)
Costuma associar-se à direcção de propagação k̂ o número de onda k, resultando o
vector k = k k̂. Por outro lado, sendo as ondas electromagnéticas ondas transversas,
são portanto polarizáveis. Na presença de ondas electromagnéticas polarizadas, costuma
definir-se o vector de polarização n̂, paralelo ao plano de polarização do campo eléctrico.
As ondas electromagnéticas (planas, sinusoidais, monocromáticas) no vazio podem ser
reescritas de forma mais geral em função de k e de n̂:
E(r, t) = E0 ej(k·r−ω t+φ0 ) n̂
B(r, t) =
0.31
E0 j(k·r−ω t+φ0 )
e
(k̂ × n̂)
c
(431)
(432)
Propagação de energia pelo campo electromagnético
No estudo separado dos campos eléctrico e magnético, tivémos oportunidade de encontrar
duas expressões particularmente poderosas que exprimem a energia necessária para criar
estes campos. Por um lado, o trabalho necessário para dispôr a distribuição de carga
responsável pelo campo eléctrico E é:
0
WE =
2
2
E dτ =
uE dτ
(433)
e o trabalho necessário para estabelecer a distribuição de corrente responsável pelo
campo magnético B é:
1
WB =
2µ0
2
B dτ =
uB dτ
(434)
Estas expressões são ainda válidas na presença simultânea (e concomitante) dos dois
campos, designados então campo electromagnético, sendo a energia armazenada no campo
dada pela expressão conjunta:
0.31. PROPAGAÇÃO DE ENERGIA PELO CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
WEB =
0 2
1 2
B dτ = uEB dτ
E +
2
2µ0
133
(435)
No decurso da propagação do campo electromagnético, o campo pode realizar trabalho
nas cargas existentes no espaço percorrido pelo campo. Obviamente, este trabalho será
realizado à custa da energia do próprio campo, de acordo com a lei da conservação da
energia. O trabalho realizado pelo campo electromagnético num elemento de carga dq,
que sofre um deslocamento dl por acção da força de Lorentz FL , é:
dW = FL · dl = dq (E + v × B) · vdt = dqE · vdt
(436)
em que, como sabemos, apenas o campo eléctrico realiza trabalho na carga. Se assumirmos que este elemento de carga se encontra distribuído uniformemente no volume
dτ , sendo dq = ρdτ , podemos reescrever então este trabalho em função da densidade de
corrente J associada ao movimento da carga dq = ρdτ , atendendo à relação J = ρv:
dW = E · dqvdt = E · ρdτ vdt = E · Jdτ dt
(437)
A potência trasmitida pelo campo á ao elemento de carga é assim:
dW
= E · Jdτ
dt
(438)
E a potência transmitida a todo o volume ocupado simultaneamente pelo campo e
pelas cargas é:
dW
=
dt
0.31.1
E · Jdτ
(439)
τ
Teorema de Poynting
A expressão (439) traduz o facto de a transferência de trabalho para as cargas pelo
campo electromagnético ser feita pelo campo eléctrico. No entanto, tal tem consequncias
na própria distribuição de correntes e, logo, no campo magnético. A expressão (439)pode
assim ser reescrita de forma mais conveniente em função de ambos os campos. Recorrendo
à lei de Ampère-Maxwell, temos:
J=
∇×B
∂E
− 0
µ0
∂t
(440)
134
pelo que
dW
=
dt
τ
∇×B
∂E
E·
− 0 E ·
dτ
µ0
∂t
(441)
Podemos agora usar a relação E · (∇ × B) = −∇ · (E × B) + B · (∇ × E), conhecida
do cálculo vectorial, em conjunto com a lei de Faraday ∇ × E = −∂B/∂t, e reescrever a
potência como:
dW
=−
dt
τ
∇ · (E × B)
1
∂B
∂E
+ B·
+ 0 E ·
µ0
µ0
∂t
∂t
dτ
(442)
Atendendo ainda a que
E·
1 ∂E2
∂E
=
∂t
2 ∂t
(443)
B·
∂B
1 ∂B2
=
∂t
2 ∂t
(444)
e fazendo uso do teorema de Gauss para converter o integral da divergência no volume
τ num fluxo através da superfı́cie fechada A que delimita esse volume:
∇ · (E × B) dτ =
(E × B) · dA
(445)
1 2 0 2
B + E dτ
2µ0
2
(446)
1 2 0 2
dW
1
B + E dτ = −
−
(E × B) · dA
2µ0
2
dt
µ0 A
(447)
τ
A
obtemos:
dW
1
=−
dt
µ0
d
(E × B) · dA −
dt
A
τ
ou, rearranjando os termos:
d
dt
τ
Este resultado, conhecido por teorema de Poynting, informa-nos que a taxa de variação
da energia armazenada no campo electromagnético num dado volume τ diminui devido
0.31. PROPAGAÇÃO DE ENERGIA PELO CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
135
a dois motivos: (i) à potência dW/dt tranferida pelo campo electromagnético para as
cargas contidas no volume τ ; (ii) ao fluxo de energia por unidade de tempo que atravessa
a superfı́cie A que demilita o volume τ . O teorema de Poynting mais não é, portanto, do
que a lei da conservação da energia para o campo electromagnético. Podemos também
identificar a energia transportada pelo campo electromagnético, por unidade de área e de
tempo, com o vector
S=
1
(E × B) = E × H
µ0
(448)
Podemos ainda reescrever o teorema de Poynting na forma local. Para tal, é conveniente definirmos uma densidade de energia cinética uM associada à densidade de carga,
escrevendo:
dW
=
dt
uM dτ
(449)
τ
O teorema de Poynting fica então
d
dt
τ
(uM
1
+ uEB ) dτ = −
µ0
(E × B) · dA ⇔
A
τ
1
∂ (uM + uEB )
dτ = −
∂t
µ0
∇ · (E × B) dτ
tau
(450)
onde fizémos mais uma vez uso do teorema de Gauss. Obtemos assim a expressão
local:
E×B
∂u
∂ (uM + uEB )
= −∇ ·
⇔∇·S=−
∂t
µ0
∂t
(451)
Esta é também uma equação de continuidade (tal como a que já utilizámos abundamentemente para a conservação da carga eléctrica, ∇ · J = −∂ρ/∂t), que traduz agora
a conservação de energia, expressa através da ”corrente de energia” S e da respectiva
densidade (mecânica e electromagnética) em cada ponto, u = uM + uEB .
Refira-se ainda, sem o demonstrar e por uma questão de completude, que o campo
electromagnético, tal como transporta energia, transporta também momento linear, sendo
o momento linear transportado por unidade de tempo e de superfı́cie, P, expresso também
recorrendo ao vector de Poynting:
P = µ0 0 S
(452)
136
0.31.2
Energia transportada por ondas electromagnéticas
Consideremos uma onda electromagnética plana monocromática polarizada paralelamente
ao eixo dos yy descrita por:
E = E0 ej(k x−ω t) êy
E0 j(k x−ω t)
B=
e
êz
c
(453)
Podemos verificar facilmente que as densidades de energia associadas ao campo
eléctrico e ao campo magnético são iguais:
uE
uB
0 2 0 E02 2j(k x−ω t)
E =
e
=
2
2
1 2
E02 2j(k x−ω t) 0 E02 2j(k x−ω t)
e
=
B =
e
=
2µ0
2µ0 c2
2
(454)
O vector de Poynting é neste caso:
S=
E2
1
E × B = 0 e2j(k x−ω t) êx = c 0 E02 e2j(k x−ω t) êx
µ0
µ0 c
(455)
E a sua amplitude corresponde pois ao produto da velocidade de propagação pela
densidade de energia do campo.
Relembre-se que, na representação complexa que estamos a utilizar, apenas a parte
real das quantidades representadas é que tem significado fı́sico. Isto é, as densidades de
energia, o vector de Poynting reais são:
u = uE + uB = 0 E02 cos(2 k x − 2 ω t)
(456)
S = c 0 E02 cos(2 k x − 2 ω t)êx
(457)
A densidade de momento linear transportada pela onda é:
P = µ0 0 S =
0 E02
cos(2 k x − 2 ω t)êx
c
(458)
0.31. PROPAGAÇÃO DE ENERGIA PELO CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
137
No caso de ondas electromagnéticas de comprimento de onda suficientemente reduzido
(logo frequência elevada) em relação às dimensões do sistema em causa, é frequente tomarse apenas o valor médio quadrático das funções trigonométricas 32 , isto é, fazer a substituição:
cos(2 k x − 2 ω t) → cos(2 k x − 2 ω t) =
1
2
(459)
resultando
u = uE + uB =
0 E02
2
c 0 E02
S =
= c
u
2
P = µ0 0 S =
32
O valor médio é nulo...
S
u
0 E02
=
=
c2
c
2c
(460)
(461)
(462)