Páginas 84 a 114

F14 — Complemento de Ondulatória
p. 84
1 (UFPel-RS) Um corpo em MHS desloca-se entre as posições 250 cm e 150 cm de sua trajetória,
gastando 10 s para ir de uma à outra. Considerando que, no instante inicial, o móvel estava na posição de
equilíbrio, determine:
a) a amplitude do movimento.
b) o período.
c) a freqüência.
d) a pulsação.
e) as funções horárias do movimento.
Resolução:
a) A 5 50 cm
b) T 5 tida 1 tvolta → T 5 10 1 10 → T 5 20 s
1
1
→ f 5
→ f 5 0,05 Hz
c) f 5
T
20
d) s 5 502(250) → s 5 100 cm
s
100
v5 → v5
→ v 5 10 cm/s
t
10
v
10
→ 5
→ v 5 0,2 rad/s
v 5 vR →  5
R
50
π
Fase inicial 5w2 5
e) x 5 A ? cos(vt 1 w0)
2


π
π
x 5 50 ? cos  0,2t 1  → x 5 50 ? cos  0,2t 1 


2
2
v 5 2vA ? sen(vt 1 w0)


π
π
v 5 20,2 ? 50 ? sen  0,2t 1  → v 5 210 ? sen  0,2t 1 


2
2
2
a 5 2v A ? cos(vt 1 w0)


π
π
a 5 20,22 ? 50 ? cos  0,2t 2  → a 5 22 ? cos  0,2t 1 


2
2


2 (Esal-MG) Um sistema oscilatório realiza um MHS, dado pela equação horária x 5 10 cos  π t 1 π
4

no CGS. Segundo essa equação, determine a amplitude, a freqüência e pulsação, no MKS.
Resolução:
34241
π
x 5 10 ? cos  t 1
4
Dados
x 5 A ? cos(vt 1 w0)

π

π
Amplitude: A 5 10 cm 5 0,1 m e pulsação:  5
rad/s
4
Cálculo da freqüência:
2π
π
2π
De:  5
→
5
→ T 5 8 s
T
4
Τ
Como: f 5 1 → f 5 1 → f 5 0,125 Hz
T
8
86

3


3 (Mack-SP) Uma partícula descreve um MHS, segundo a equação: x 5 0,3 cos  π 1 2t , no SI.
Determine o módulo da velocidade máxima atingida pela partícula.
Resolução:
π

x 5 0,3cos  t 1 2t
3

A 5 0,3 m
v 5 2 rad/s
π
w0 5
rad
3
π

π

v 5 2vA sen(w0 1 vt) → v 5 22 ? 0,3 ? sen  t 1 2t → v 5 20,6 sen  t 1 2t
3

3

π

A velocidade será máxima quando sen  t 1 2t for igual a 1.
3

Logo: |v| 5 0,6 m/s
4 (UFRGS-RS) Uma massa M executa um movimento harmônico simples entre as posições x 5 2A e x 5
A, conforme representa a figura.
esquerda
�A
0
A
x
direita
Qual a alternativa que se refere corretamente aos módulos e aos sentidos das grandezas velocidade e
aceleração da massa M na posição x 5 2A?
a) A velocidade é nula; a aceleração é nula.
b) A velocidade é máxima e aponta para a direita; a aceleração é nula.
c) A velocidade é nula; a aceleração é máxima e aponta para a direita.
d) A velocidade é nula; a aceleração é máxima e aponta para a esquerda.
e) A velocidade é máxima e aponta para a esquerda; a aceleração é máxima e aponta para a direita.
Resolução:
Na posição x 5 2A, a velocidade é nula, pois é um ponto de inversão e a aceleração é máxima,
estando orientada no sentido do eixo x, para a direita.
87
5 Um móvel executa um MHS de amplitude 5 m, freqüência 10 Hz e fase inicial nula. Determine sua
velocidade nos instantes:
1
a)
20
1
8
b)
34241
Resolução:
A55m
Dados f 5 10 Hz
w0 5 0
1
1
→ T5
→ T 5 0,1 s
F
10
2π
2π
5
→ 5
→  5 20π rad/s
T
0,1
v 5 2vA sen(vt 1 w0)
v 5 220π ? 5 ? sen(20π ? t 1 0) → v 5 2100π sen(20πt)

1
1 
a) t 5
s fica, v 5 2100π sen  20π ?

20
20 
sen π 5 0; logo, v 5 0
T5

fica, v 5 2100π sen  20π

5
v 5 2100π sen  ?
2
b) t 5
1
s
8
1
8 

π

?
v 5 2100π m/s
6 (UEFS-BA) Uma partícula realiza um movimento de rotação de raio R no sentido anti-horário, com
velocidade angular v constante.
Sabendo que, no instante inicial, a projeção da posição da partícula sobre um eixo paralelo ao diâmetro da
circunferência se encontra no ponto de equilíbrio e tende a se deslocar para a direita, pode-se afirmar que a
função horária que representa a projeção da posição da partícula é:

π
a) R cos  t 1  .

2
c) R cos (vt 2 2p).

π
b) R cos  t 2  .

2

3π 
d) R cos  t 1
.

2 

3π 
e) R cos  t 2
.

2 
Resolução:
Esquematizando:
projeção
�R
t�0
R
x
partícula
Observando a função horária do MHS para a posição:
x 5 A cos (w0 1 vt), em que
3π
A 5 R e w0 5
rad, então:
2
 3π

x 5 R cos 
1 t ou
 2


3π 
x 5 R cos  t 1


2 
88
7 Um corpo realiza um MHS obedecendo à função horária expressa em unidades do SI:
π
π
x 5 0,4 cos  ? t 1  .
5
4
a) Qual o período e a freqüência do movimento?
b) Quais os valores máximos da velocidade e da aceleração?
Adote π2 5 10.
Resolução:
 A 5 0,4 m
π
π  
π
x 5 0,4 cos  t 1   5
rad/s

5
4
5

π
 w0 5 4
π
2π
2π
5
a)  5
→ 5
→ T5
→ T 5 2π ?
π
5
T
π
5
T 5 10 s
1
1
f 5 T → f 5 10 Hz
b) v 5 2vA sen(vt 1 w0)
v 52
π
π
π
0, 4 sen  t 1 
5
5
4
π
π
Para velocidade máxima, temos: sen  ? t 1  5 21
5
4
π
2π
? 0,4 → v 5
m/s
5
25
a 5 2v2A cos(vt 1 w0)
a 52
Logo: v 5 1
π
π2
π
0,4 cos  t 1 
5
25
4
π
π
Para aceleração máxima, temos: cos  t 1  5 21
5
4
2
π
10 ? 0,4
4
Logo: a 5 1
? 0,4 → a 5
→ a5
m/s 2
25
25
25
p. 86
8 Um móvel descreve um segmento de reta animado de um MHS cuja freqüência é 5 Hz. Sabendo que a
velocidade máxima do móvel é de 60π cm/s, determine a sua velocidade no ponto em que a sua elongação é 4 cm.
34241
Resolução:
f 5 5 Hz
Dados vmáx 5 60π cm/s
x 5 4 cm
v 5 2πf → v 5 2π5 → v 5 10π rad/s
vmáx 5 vA → 60π 5 10πA → A 5 6 cm
v 5 6 A 2 2 x 2 → v 5 610π 62 2 4 2
v 5 610π 36 2 16 → v 5 610π 20 cm/s 5 6 5 cm/s
89
9 Um corpo realiza um MHS, tal que sua velocidade máxima é 2 m/s e sua aceleração máxima é 5 m/s2.
a) Qual a amplitude do movimento? b) Qual a freqüência do movimento?
34241
Resolução:
vmáx 5 2 m/s
Dados
amáx 5 5 m/s2
2
I

5
amáx 5 v2A → 5 5 v2A → A 5 2 II

Igualando I e II , fica:
a) vmáx 5 vA → 2 5 vA → A 5
2
5
2
5
5
5 2 →
5
→  5 rad/s



2
2
Como
2
2
2?2
4
A 5
→ A 5
→ A 5
5A 5 m
5

5
5
2
2π
5
2π
4π
b)  5
→
5
→ T5
s
T
2
T
5
1
1
5
f 5
→ f 5
→ f 5
Hz
4
T
4π
?π
5
10 Um corpo é animado de MHS com amplitude de 10 cm e freqüência de 1 Hz. Determine a sua
velocidade máxima.
321
Resolução:
A 5 10 cm
Dados
f 5 1 Hz
v 5 2πf → v 5 2π ? 1 → v 5 2π rad/s
vmáx 5 vA → vmáx 5 2π ? 10 → vmáx 5 20π cm/s
11 A pulsação de um MHS é 5π rad/s e a aceleração máxima tem módulo de 40π2 cm/s2.
2
a) Qual a amplitude desse movimento?
b) Qual o módulo da velocidade máxima desse movimento?
Resolução:

5π
 5
rad/s
2
Dados 
 a máx 5 40π 2 cm/s 2
2
 5π 
25π 2
a) a máx 5  2 A → 40π 2 5   A → 40π 2 5
A
 2 
4
160π 2
A 5
→ A 5 6,4 cm
25π 2
5π
b) |vmáx| 5 A → |vmáx| 5
6,4 → |vmáx| 5 16π cm/s
2
90
Em questões como a 12, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
12 (UFMS) Uma partícula se move em movimento harmônico simples num plano, de modo que suas
coordenadas retangulares (x; y) são dadas por:
x 5 A sen (vt) y 5 B sen (vt 1 w)
em que (A) e (B) são amplitudes, (v) a pulsação e (w) a diferença de fase entre as oscilações nas direções (x) e (y).
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
 B
(01) Se w 5 0, então y 5   x e a partícula executa MHS com amplitude A 2 1 B2 .
A
(02) Se w 5 0, então a partícula executa MHS em uma trajetória retilínea.
 B
(04) Se w 5 π, então y 5 2  x e a partícula executa MHS com amplitude A 2 2 B2 .
 A
 B
(08) Se w 5 π, então y 5 2  x e a partícula executa MHS em uma trajetória retilínea.
 A
2
2
 x
 y
π
, então   1   5 1 e a partícula tem uma trajetória elíptica.
 A
 B
2
Resolução:
x 5 A sen vt
y 5 B sen (vt 1 w)
Se w 5 0
x 5 A sen vt
1
y 5 B sen vt
2
(16) Se w 5
 B
x
A
5
→ y 5  x 3
 A
y
B
x2 y2 5 A2 sen2 vt 1 B2 sen2 vt 5 (A2 1 B2)sen2 vt
Das expressões 1 e 2 , vem:
x 2 1 y2 5
A 2 1 B2 sen t
4
A expressão 3 mostra que a trajetória é uma reta e a expressão 4 mostra que o movimento é do
tipo MHS com amplitude A 2 1 B2 . Logo:
(01) Correta.
(02) Correta.
Se w 5 π: x 5 4 sen vt 5
y 5 B sen (vt 1 π) 5 2B sen vt
6


x
2A
B
5
→ y 5 2  x
7
 A
y
B
x2 1 y2 5 (A2 1 B2) sen2 vt
x 2 1 y 2 5 A 2 1 B2 sen t 8
As expressões 7 e 8 mostram que o corpo segue uma trajetória retilínea em MHS de amplitude
A 2 1 B2 .
(04) Incorreta.
(08) Correta.
(16) Correta.
π
Se w 5 : x 5 A sen vt
2

π
x
y
y 5 B sen  t 1  5 1 B cos t →
5 sen t →
5 cos t

2
A
B
x2
y2
x2
y2
2
2
1
5
sen

t
1
cos

t
→
1
51
A2
B2
A2
B2
O corpo segue trajetória elíptica.
01 1 02 1 08 1 16 5 27.
91
p. 89
13 A elongação de um ponto material em MHS é dada pelo gráfico a seguir:
x (m)
3
0
2
4
6
8
t (s)
�3
etermine:
D
a) a amplitude, o período e a freqüência.
b) a pulsação.
c) a função horária x 5 f(t).
Resolução:
a) amplitude: A 5 3 cm
período: T 5 8 s
1
1
freqüência: f 5
5 Hz
T
8
2π
2π
π
b)  5
→ 5
→ 5
rad/s
T
8
4
c) x 5 A cos(vt 1 w0)
π

x 5 3 cos  t 1 w0 
4

π

π
0 5 3 cos  0 1 w0  → cos w0 5 0 → w0 5
4

2
x 5 A cos(vt 1 w0)
π
π
x 5 3 cos  t 1 
4
2
14 (UMC-SP) O gráfico da figura representa a
x (cm)
posição de uma partícula que executa um movimento
oscilatório ao longo do eixo x, quando presa à
extremidade livre de uma mola.
a) Qual é a amplitude do movimento da partícula?
b)Qual é o período do movimento oscilatório?
c) Em que instante(s) a velocidade da partícula é nula?
d) Em que instante(s) a velocidade da partícula é máxima?
20
0
1
2
3
4
5
�20
0
x
Resolução:
Do gráfico, temos:
a) A 5 20 cm 5 0,2 m
b) T 5 2 s
c) Teremos v 5 0 nas posições extremas, isto é, quando x 5 20 cm ou x 5 220 cm. Do gráfico,
obtemos os instantes: 0,5 s; 1,5 s; 2,5 s; 3,5 s e assim por diante.
d) A velocidade é máxima quando a partícula passa na posição de equilíbrio (x 5 0). Logo, os
instantes são: 0; 1 s; 2 s; 3 s; 4 s; 5 s e assim por diante.
92
t (s)
p. 90
15 (Fuvest-SP) Dois corpos, A e B, ligados por um fio, encontram-se presos à extremidade de uma mola
e em repouso. Parte-se o fio que liga os corpos, e o corpo A passa a executar um movimento oscilatório,
descrito pelo gráfico.
y (m)
0,1
e
0,1
0
0,3
0,2
t (s)
A
B
�0,1
a) Determine a freqüência, a amplitude e a pulsação do movimento de A.
b) Escreva a equação horária das posições y do corpo A, conforme o ­gráfico.
Resolução:
1
1
→ f 5
→ f 5 5 Hz
T
0,2
amplitude: A 5 0,1 m
pulsação: v 5 2πf → v 5 2π5 → v 5 10π rad/s
b) y 5 A cos(vt 1 w0)
0,1 5 0,1 cos(10π0 1 w0) → cos w0 5 1 → w0 5 0
y 5 A cos(vt 1 w0)
y 5 0,1 cos(10πt)
a) freqüência: f 5
16 (UFG-GO) O gráfico mostra a posição em função do tempo de uma partícula em movimento harmônico
simples (MHS) no intervalo de tempo entre 0 e 4 s. A equação da posição em função do tempo para esse
movimento é dada por x 5 a cos (vt 1 w0). A partir do gráfico, encontre os valores das constantes a, v e w0.
x (m)
2
0
1
2
3
4
�2
Resolução:
Do gráfico: A 5 2 m e T 5 4 s.
2π
2π
π
Pulsação:  5
→ 5
5
rad/s
T
4
2
Fase inicial w0 (fazendo x 5 0 e t 5 0) na função:
x 5 A cos (t 1 w) → 0 5 A cos w0 → 0 5 2 cos w0
π
cos w0 5 0 → w0 5
rad
2
93
t (s)
17 (USF-SP) O gráfico representa o movimento harmônico
x (m)
simples de uma partícula.
A equação horária desse movimento é:

π
a) x 5 4 cos  2πt 1  d) x 5 2 cos(2πt 1 π)

2
b) x 5 4 cos(2πt)

3π 
c) x 5 2 cos  2πt 1

4 
e) x 5 2 cos(2πt)
2
0
1/4
2/4
3/4
t (s)
�2
Resolução:
Do gráfico, temos: A 5 2 m, T 5 1 s e w0 5 π rad.
 2π

x 5 A cos(vt 1 w0) → x 5 A cos 
t 1 w0 
 T

 2π

x 5 2 cos 
t 1 π
 1

x 5 2 cos (2π t 1 π)
18 O gráfico mostra como varia a elongação de uma partícula
em função do tempo.
a) Qual a função da velocidade dessa partícula?
b) Determine a velocidade e a aceleração máximas da partícula.
321
Resolução:
A 5 12 m
Dados
T58s
2π
2π
π
→ 5
→ 5
rad/s
a)  5
T
8
4
π

x 5 A cos (t 1 w0) → x 5 12 cos  t 1 w0 
4

Para t 5 0 → x 5 212
π

212 5 12 cos  ? 0 1 w0  → cos w0 5 21 → w0 5 π
4

π

π
v 5 2A sen
n (t 1 w0) → v 5 2 12 ? sen  t 1 π
4

4
π

v 5 23π sen  t 1 π
4

π
b) vmáx 5 A → vmáx 5 12 → vmáx 5 3π m/s
4
2
 π
π2
a máx 5  2 A → a máx 5   12 → a máx 5
12
 4
16
3π 2
a máx 5
m/s 2
4
94
x (m)
12
0
�12
2
4
6
8
t (s)
p. 93
19 (UFPB) Uma jovem monitora prepara um sistema massa-mola, como indicado
na figura ao lado, com o intuito de fazer uma demonstração para seus estudantes.
A jovem então afasta a massa de seu ponto de equilíbrio, distendendo a mola de uma certa quantidade. A
seguir a massa é solta, passando a executar um movimento harmônico simples.
Com base nessa situação, pode-se afirmar que o gráfico que melhor representa a variação da energia
potencial da massa em função do tempo, a partir do instante em que a jovem a solta, é:
a)
Ep
Ep
c)
e)
t
t
Ep
t
Ep
Ep
b)
d)
t
t
Resolução:
k ? A2
A energia potencial do sistema é de natureza elástica dada por: E p 5
. Seus valores máximos
2
são obtidos nos extremos da oscilação, enquanto é nula quando a massa passa pela posição de
equilíbrio.
�A
0
�A
x
Ep
0
T
2
T
t
20 (UFBA) Uma mola ideal, de constante elástica igual a 16 N/m, tem uma de suas extremidades fixa e a
outra presa a um bloco de massa igual a 4 ? 1022 kg. O sistema assim constituído passa a executar MHS, de
amplitude 3,5 ? 1022 m. Determine, em 1021 m/s, a velocidade máxima atingida pelo bloco.
34241
Resolução:
k 5 16 N/m
Dados m 5 4 ? 1022 kg
A 5 3,5 ? 1022 m
k
16
→ 5
m
4 ? 1022
 5 4 ? 102
v 5 20 rad/s
vmáx 5 vA → vmáx 5 20 ? 3,5 ? 1022
vmáx 5 7,0 ? 1021 m/s
5
95
21 (Fameca-SP) Um indivíduo distende, em 0,6 m, uma mola que tem uma de suas extremidades fixada.
Sabendo-se que, após abandonada, a mola passa a executar MHS e que a sua energia potencial na posição de
amplitude é 180 J, qual o valor da constante elástica da mola, em newtons por metro, e o módulo da força
elástica, em newtons, na posição de elongação 0,3 m?
321
Resolução:
x 5 0,6 m
Dados
Ep 5 180 J
kx 2
2
k (0,6)2
180 5
2
360
k5
→ k 5 1 000 N/m
0,36
F 5 kx
F 5 1 000 ? 0,3 → F 5 300 N
Ep 5
22 (Cefet-BA) Um corpo deve oscilar em MHS, preso a uma mola ideal, tal que tenha energia de 3,6 J,
amplitude de 0,2 m e velocidade máxima de 6 m/s. Para que isso ocorra, determine a massa do corpo e a
constante elástica da mola.
34241
Resolução:
Em 5 3,6 J
Dados A 5 0,2 m
vmáx 5 6 m/s
Na elongação máxima Ec 5 0, logo:
kA 2
k (0,2)2
7,2
Em 5 E p 5
→ 3,6 5
→ k5
2
2
0,04
k 5 180 N/m
vmáx 5 vA → 6 5 v0,2 → v 5 30 rad/s
5
k
k
180
→ 2 5
→ m5
→ m 5 0,2 kg
m
m
302
96
23 (Esal-MG) Uma partícula de massa igual a 0,2 kg está oscilando em torno da posição O, com
MHS, conforme mostra a figura. Sabe-se que o tempo gasto para a partícula ir do ponto A ao B é 2,0 s e
que a energia mecânica total do sistema vale 40 J. Sendo a constante elástica da mola 20 N/m, e supondo
desprezíveis todos os tipos de atrito, calcule:
a) a amplitude (A) do MHS.
b) o período do movimento.
c) a intensidade da força elástica para x 5 A, em módulo.
π
d) as funções horárias deste MHS, fazendo a fase inicial .
4
m
A
O
B
x
Resolução:
m 5 0,2 kg
t 5 2,0 s
Dados
Em 5 40 J
k 5 20 N/m
a) Na posição de máxima elongação, Ec 5 0.
Em 5 Ep 5 40 J
1
1
? 20 ? A 2
Mas: E p 5 kA 2 → 40 5
2
2
80
5 A2 → A2 5 4 → A 5 2 m
20
b) T 5 tAB 1 tBA → T 5 2 1 2 → T 5 4 s
c) F 5 kx → F 5 20 ? 2 → F 5 40 N
π
2π
2π
π
→ 5
→ 5
rad/s → x 5 A ? cos (t 1 w0)
d) w0 5 ; mas  5
4
T
4
2
π
π
x 5 2 cos  t 1 
2
4
v 5 2vA sen(vt 1 w0)
π
π
π
π
π
v 5 2 2 sen  t 1  → v 5 2 π sen  t 1 



2
2
4
2
4
a 5 2v2A cos(vt 1 w0)
2
 π
π
π
π
π2
π
a 5 2  2 cos  t 1  → a 5 2
cos  t 1 
 2
2
2
4
2
4
97
24 (UEPG-PR) O Movimento Harmônico Simples (MHS) é um movimento periódico oscilatório no qual
uma partícula está sujeita a uma força do tipo F 5 2kx, sempre orientada para a posição de equilíbrio. Pela
definição apresentada, assinale o que for correto.
(01) O movimento periódico de uma partícula pode, sempre, ser expresso em função de senos e cossenos.
(02) No MHS o período e a freqüência independem da amplitude do movimento.
(04) No MHS, quando o deslocamento é máximo, em qualquer sen­tido, a velocidade é nula, o módulo da
aceleração é máximo, a energia cinética é nula e a energia potencial é máxima.
(08) A energia mecânica total de uma partícula em MHS não é constante, porém é proporcional ao quadrado
da amplitude.
(16) Uma partícula executando um MHS é denominada oscilador harmônico simples.
Resolução:
(01)Verdadeira. Um MHS pode ser expresso em função de senos e co-senos, embora o mesmo não
ocorra com movimentos periódicos quaisquer.
m
1
e é a freqüência f 5 , dependem da massa m do
T
k
corpo e da constante elástica k da mola independendo, portanto, da amplitude do movimento.
(04)Verdadeira. Quando x 56A → v 5 0 → Ec 5 zero
x 5 6 A → |Amax| 5 v2 ? A
kA 2
x 5 6 A → Ep 5
(máx)
2
(08)Falsa. Trata-se de um sistema conservativo, sendo constante a energia mecânica.
(16)Verdadeira. No oscilador harmônico a força e a aceleração ficam sempre dirigidas para a posição
de equilíbrio, características particulares de um corpo em MHS.
01 1 02 1 04 1 16 5 23
(02)Verdadeira. O período dado por T 5 2π
25 (Mack-SP) Um corpo de 250 g de massa encontra-se em equi­líbrio,
preso a uma mola helicoidal de massa desprezível e constante elástica k igual
a 100 N/m, como mostra a figura ao la­do.
O atrito entre as superfícies em contato é desprezível. Estica-se a mola, com o
corpo, até o ponto A, e abandona-se o conjunto nesse ponto, com velocidade
zero. Em um intervalo de 1,0 s, medido a partir desse instante, o corpo
retornará ao ponto A:
a) uma vez.
c) três vezes.
e) seis vezes.
b) duas vezes.
d) quatro vezes.
B
O
10,0 cm
Resolução:
O sistema massa-mola em questão tem período:
m
k
0,25
T 5 2π
100
T  0,31 s
Logo, o número de vezes em que o corpo retornará ao ponto A no intervalo de 1s será:
1
n5
 3,2
0,31
Assim, consideram-se três vezes.
T 5 2π
98
10,0 cm
A
p. 95
26 O período de um pêndulo A é 4 vezes maior que o período de um outro pêndulo B, de comprimento
igual a 1,2 m. Qual o comprimento do pêndulo A?
321
Resolução:
Dados TA 5 4TB
,B 5 1,2 m
B
→ TB 5 2π
g
A
TA 5 2π
g
Mas 4TB 5 TA
TB 5 2π
1,2
g
A
A
1, 2
1,2
5 2π
→ 4
5
g
g
g
g
Elevando-se ambos os membros da equação ao quadrado, temos:

1, 2
16 ?
5 A → A 5 19,2 m
g
g
4 ? 2π
27 (Unesp-SP) Um estudante pretendia apresentar um relógio de pêndulo numa feira
de ciências com um mostrador de 5 cm de altura, como mostra a figura.
Sabendo-se que, para pequenas oscilações, o período de um pêndulo simples é dado pela

expressão T 5 2π
, pedem-se:
g
a) se o pêndulo for pendurado no ponto O e tiver um período de 0,8 s, qual deveria ser a
altura mínima do relógio? (Para facilitar seus cálculos, admita g 5 (π)2 m/s2.)
b) se o período do pêndulo fosse de 5 s, haveria algum inconveniente? Justifique.
5 cm
O
321
Resolução:
T 5 0,8 s
Dados
g 5 π2 m/s2
a) T 5 2π



→ T 2 5 4π 2 → 0,8 2 5 4π 2 2
g
g
π
0,64
→  5 0,16 m 5 16 cm
4
h 5 ,fio 1 hrelógio → h 5 16 1 5 → h 5 21 cm
A altura do relógio deve ser h . 21 cm.

b) T 2 5 4π 2 2 → 52 5 4 →  5 6,25 m
π
h 5 ,fio 1 hrelógio → h 5 6,25 1 0,05 → h 5 6,30 m
O inconveniente é que o relógio deveria ter uma altura h . 6,30 m e não se conseguiria ver as
horas, pois o mostrador do relógio é de apenas 5 cm.
5
99
28 (UFRGS-RS) Um pêndulo simples, de comprimento L, tem um período de oscilação T, num
determinado local. Para que o período de oscilação passe a valer 2T, no mesmo local, o comprimento do
pêndulo deve ser aumentado em:
a) 1 L
c) 3 L
e) 7 L
b) 2 L
d) 5 L
Resolução:
O período de um pêndulo simples é dado por:
L
T 5 2π
g
ou seja, o período T é diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento L:
Ta L
Para duplicar o período (2T), o comprimento precisará quadruplicar o comprimento (4L). Ou seja, o
aumento foi de 3L.
p. 96
29 (UFPR) Uma criança de massa 30,0 kg é colocada em um balanço
cuja haste rígida tem comprimento de 2,50 m. Ela é solta de uma altura de
2,50 m
1,00 m acima do solo, conforme a figura ao lado. Supondo que a criança não
se auto-impulsione, podemos considerar o sistema “criança-balanço” como
um pêndulo simples. Desprezando-se a resistência do ar, é correto afirmar:
a) O intervalo de tempo para que a criança complete uma oscilação é de π s.
1,00 m
b) A energia potencial da criança no ponto mais alto em relação ao solo é de 150 J.
c) A velocidade da criança no ponto mais próximo do solo é menor que 4,00 m/s.
d) Se a massa da criança fosse maior, o tempo necessário para completar uma oscilação diminuiria.
e) A freqüência de oscilação da criança depende da altura da qual ela é solta.
0,500 m
Resolução:
a) Correto.
2,50 m
�
2,00 m
0,500 m
1,00 m
0,500 m

2,50
1
T 5 2π
→ T 5 2π
→ T 5 2π
5 πs
g
10
4
b) Correto. Ep 5 mgh → Ep 5 30 ? 10 ? 1 5 300 J
0
0
c) Incorreto. Emi 5 Emf → Eci 1 Epi 5 Ecf 1 Ecf
m v2
v2
→
10
?
0,5
5
→ v 5 10 , 4 m/s
2
2
d) Incorreto. O período de oscilação independe da massa.
e) Incorreto. A rigor, essa freqüência só não dependeria da altura no caso de o ângulo de abertura (u)
ser menor do que 10°.
m gh 5
100
30 (Uneb-BA) Considerando-se constante a aceleração da gravidade, o período de um pêndulo simples
que oscila em MHS é duplicado, quando:
a) a massa pendular é duplicada.
b) a amplitude do movimento é quadruplicada.
c) o comprimento do pêndulo é quadruplicado.
d) a massa pendular e a amplitude são quadruplicadas.
e) o comprimento do pêndulo e a massa pendular são duplicados.
Resolução:
De T 5 2π

concluímos que, multiplicando-se o comprimento , por 4, o período de oscilação T dobra.
g
31 (ITA-SP) Um pêndulo simples oscila com um período de 2,0 s. Se cravarmos um
3L
do ponto de suspensão e na vertical que passa por aquele ponto,
4
como mostrado na figura, qual será o novo período do pêndulo?
Desprezar os atritos. Considere ângulos pequenos tanto antes quanto depois de atingir o
pino.
a) 1,5 s
d) 4,0 s
b) 2,7 s
e) O período de oscilação não se altera.
c) 3,0 s
pino a uma distância
3L
4
L
Resolução:
Sendo T1 o período do pêndulo sem o pino, temos: T1 5 2π
pino.
L
L
T2 5 2π 4 5 2 ? (2π)
→ T2 5 2 T1
g
g
O período do pêndulo com a presença do pino será:
T
T
2
1
T5 1 1 2 → T5
1
5 1,5 s
2
2
2
2
101
L
e T2 o período do pêndulo após o
g
32 (PUC-MG) Num labo­ra­tório fez-se a seguinte experiência:
I.Construiu-se um pên­dulo, tendo, na sua ex­tre­mi­dade livre, um frasco de tinta e um estilete.
v
II.Fez-se o pêndulo oscilar transversalmente a uma tira de papel, que se deslocava com velocidade
constante V.
III.O estilete registrou as diversas posições do pêndulo, na tira de papel.
IV.Para um tempo T, corres­pondente a uma oscilação completa, obteve-se a figura abaixo:
Dividindo-se o comprimento do pêndulo por 4 e considerando-se o mesmo tempo T anterior, a figura obtida
nessas condições será:
a)
c)
b)
d)
e)
Resolução:
O período T do pêndulo é dado por: T 5 2π


. Seja T9 o período do pêndulo para .
g
4

g
T
→ T9 5
2

2π 4
g
Logo, no mesmo intervalo de tempo, o pêndulo completa duas oscilações.
T
5
T9
2π
102
F15 — Física Moderna
p. 100
1 (Unicenp-PR) O quarto artigo de Einstein foi “Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento”.
Partindo de situações envolvendo eletromagnetismo, ele propôs a Teoria da Relatividade Restrita. Um dos
princípios básicos dessa genial conclusão de Einstein é a relatividade do tempo – a noção de que a passagem
do tempo depende da velocidade com que um corpo se movimenta.
A respeito dessa teoria, imagine uma situação curiosa: dois gêmeos idênticos, ao completarem 20 anos de
idade, ganham de presente de aniversário viagens para serem realizadas simultaneamente. O primeiro pega
seu carro e começa a correr o mundo, sempre obedecendo aos limites de velocidade de cada país. O segundo,
mais arrojado, decide se lançar numa viagem espacial com velocidade apenas 20% menor que a velocidade
da luz no vácuo. Tamanha a rapidez da nave espacial, o segundo gêmeo experimenta uma dilatação do tempo
medida pela equação
T2
T1 5
, em que:
v2
12 2
c
T1 representa o tempo de viagem do primeiro gêmeo;
T2 representa o tempo de viagem do segundo gêmeo;
v representa a velocidade de viagem na nave do segundo gêmeo;
c representa a velocidade da luz no vácuo.
Passados 50 anos em nosso planeta, os dois gêmeos retornam e algo estranho pode ser observado: um
deles aparenta estar bem mais novo que o outro. Essa experiência fictícia é conhecida como Paradoxo dos
Gêmeos. Considerando-se apenas fatores genotípicos, calcule a idade aparente do segundo gêmeo e assinale
a alternativa que a apresenta:
a) 50 anos.
c) 80 anos.
e) 100 anos.
b) 60 anos.
d) 90 anos.
Resolução:
Sendo: T1 5 50 anos, V 5 0,8 C, temos
T2
50 5
→ T2 5 50 ? 0,6 5 30 anos
(0,8 C)2
12
C2
A idade aparente do segundo gêmeo é dada pela soma do tempo que ele permaneceu na Terra com o
tempo de duração da viagem: 20 1 30 5 50 anos.
2 (FRB-BA) A teoria da relatividade restrita estabelece que:
a) a energia cinética e a massa de um corpo estão dissociadas.
b) a massa inercial dos corpos tem valor constante.
c) as estrelas, ao emitirem luz, ganham massa.
d) cada aumento ou diminuição da energia de um corpo corresponde a aumento ou diminuição de sua massa.
e) quanto maior for a massa de um corpo, menor a resistência que ele oferece à variação de sua velocidade.
Resolução:
E
.
c2
Daí, concluímos que, quanto maior for a energia (E) do campo, maior será sua massa (m).
aumento de E → aumento de m
aumento de E → diminuição de m
Sendo E 5 mc2, temos m 5
103
3 (Umesp-SP) O ano de 2005 foi declarado pela ONU como o Ano Internacional da Física.
A idéia de se escolher o ano de 2005 como o Ano Internacional da Física está ligada a um fato de grande
importância histórica para a física moderna. Em 2005, foi comemorado o centenário da publicação dos
trabalhos de Einstein sobre o fóton, a relatividade especial, a relação massa-energia e o movimento
browniano. Em sua teoria da relatividade especial, Einstein elaborou dois postulados.
1o postulado: As leis da Física são idênticas em relação a qualquer referencial inercial.
2o postulado: A velocidade da luz no vácuo (c 5 3 ? 105 km/s) é uma constante universal, isto é, é a mesma
em todos os sistemas inerciais de referência. Não depende do movimento da fonte de luz e tem valor igual
em todas as direções.
Baseando-se nos postulados acima e em seus conhecimentos de Física, responda à questão abaixo.
Duas naves espaciais, viajando à velocidade da luz, possuem a mesma direção e sentidos opostos. Qual é a
velocidade relativa entre elas?
a) 6,0 ? 105 km/s
b) As naves não possuem velocidade relativa.
c) 3,0 ? 105 km/s
d) 4,5 ? 105 km/s
e) 9,0 ? 105 km/s
Resolução:
De acordo com os postulados, a velocidade da luz no vácuo, c 5 3 ? 105 km/s, é uma constante que
não depende do movimento da fonte de luz e tem valor igual em todas as direções.
4 (Unemat-MT) Com o advento da Teoria da Relatividade de Einstein, alguns conceitos básicos da
Física newtoniana, entre eles, o espaço e o tempo, tiveram que ser revistos. Qual a diferença substancial
desses conceitos para as duas teorias?
Alternativas
espaço
tempo
espaço
tempo
a)
absoluto
absoluto
dilata
contrai
b)
dilata
absoluto
contrai
dilata
c)
absoluto
contrai
dilata
absoluto
d)
absoluto
absoluto
contrai
dilata
contrai
dilata
absoluto
absoluto
e)
Física newtoniana
Teoria da Relatividade
Resolução:
Para a física newtoniana, espaço e tempo são absolutos; já na teoria da relatividade, espaço e tempo
são relativos, ou seja, o espaço se contrai e o tempo se dilata.
104
p. 101
5 (Ufla-MG) Quando aceleramos um elétron até que ele atinja uma velocidade v 5 0,5c, em que c é a
velocidade da luz, o que acontece com a massa?
a) Aumenta, em relação à sua massa de repouso, por um fator γ 5
b) Aumenta, em relação à sua massa de repouso, por um fator γ 5
1
0,75
1
0,5
.
.
c) Diminui, em relação à sua massa de repouso, por um fator γ 5 0,75 .
d) Diminui, em relação à sua massa de repouso, por um fator γ 5 0,5 .
e) Não sofre nenhuma alteração.
Resolução:
Para v 5 0,5c, temos:
m0
m0
m5
→ m5
2
v
(0,5c)2
12 2
12
c
c2
1
m5
m
0,75 0
1
Como
. 1, a massa do elétron aumenta desse fator.
0,75
6 (UECE) O múon (ou “méson – m”) é produzido por raios cósmicos nas altas camadas da atmosfera
da Terra ou em aceleradores. Verificou-se, experimentalmente, que seu tempo de vida médio é de apenas
T 5 2 ? 1026 s (2 microssegundos). Depois de seu tempo de vida, o múon desaparece, decaindo em um
elétron e um neutrino.
Nesse tempo T, a luz (cuja velocidade é c 5 3 ? 108 m/s) percorre 600 metros. No entanto, um múon
formado em grande altitude consegue chegar ao solo e ser detectado antes de decair, apesar de ter velocidade
menor que a luz.
a) Explique por que isso é possível.
b) Considere um múon cujo tempo de vida é 2 ? 1026 s que é formado a uma altitude de 6 000 metros e
cai na direção do solo com velocidade 0,998c, onde c é a velocidade da luz. Mostre que esse múon pode
percorrer essa distância antes de decair.
Resolução:
a) Tomando o múon como referencial, a distância percorrida até a Terra é encurtada devido à contração
do comprimento de Lorentz. Tomando o referencial Terra, ocorre com aumento no tempo de vida do
múon devido à dilatação temporal. Assim, há tempo suficiente para que ele chegue ao solo.
b) Utilizando o referencial Terra, calculamos o tempo de vida do múon considerando a dilatação do tempo:
t0
2 ? 1026
t5
→ t5
5 3,16 ? 1025 s
v2
1 2 (0,998)2
12 2
c
Calculando a distância percorrida nesse tempo:
d 5 0,998 ct → d 5 0,998 3 3 ? 108 3 3,16 ? 1025 . 9 460 m
Como d > 6 000 m, o múon chega ao solo ainda “vivo”.
Resposta:
a) A distância até a Terra é encurtada enquanto ocorre um aumento de vida do múon.
b) Considerando a dilatação do tempo, o tempo de vida do múon é 3,16 ? 1025 s e percorre 9 460 m,
chegando ainda “vivo” ao solo.
105
p. 108
7 (Furg-RS) O físico Chester Carlson, fundador da empresa Xerox, baseou-se no efeito fotoelétrico
para criar a fotocopiadora. O efeito fotoelétrico é o ingrediente principal no processo de transferência de
uma figura desenhada num papel transparente para uma placa de metal polarizada positivamente. O papel
desenhado é colocado sobre a placa e, a seguir, ilumina-se o conjunto papel1placa. O desenho impede a
passagem da luz através do papel e, devido ao efeito fotoelétrico, as partes da placa atingidas pela luz são
despolarizadas. Retira-se, então, o papel transparente e borrifa-se um pó colorido ionizado sobre a placa;
esse pó só se fixará nas partes da placa que ainda permanecem polarizadas, formando, assim, o desenho.
Além dessa aplicação, o efeito fotoelétrico é utilizado nas células solares, que são a principal fonte de energia
em satélites, e também no sistema de leitura da trilha sonora impressa nos filmes de cinema.
A respeito do efeito fotoelétrico pode-se afirmar:
a) Ele é o mesmo efeito físico através do qual se produz luz nas lâmpadas incandescentes com filamentos
metálicos.
b) O efeito consiste na incidência da luz sobre uma superfície metálica arrancando elétrons dessa superfície.
c) A energia luminosa da luz incidente sobre uma placa metálica transforma-se na energia potencial dos
elétrons do metal.
d) É por meio do efeito fotoelétrico que o Sol produz luz.
e) É por meio do efeito fotoelétrico que os elétrons são produzidos dentro de uma lâmpada fluorescente.
Resolução:
Efeito fotoelétrico consiste na remoção de elétrons da superfície de um metal quando iluminado
com radiação eletromagnética de determinada freqüência. Os elétrons removidos são chamados de
fotoelétrons.
8 (UFJF-MG) O modelo atômico de Bohr, aperfeiçoado por Sommerfeld, prevê órbitas elípticas para
os elétrons em torno do núcleo, como num sistema planetário. A afirmação “um elétron encontra-se
exatamente na posição de menor distância ao núcleo (periélio) com velocidade exatamente igual a 107 m/s” é
correta do ponto de vista do modelo de Bohr, mas viola o princípio:
a) da relatividade restrita de Einstein
d) da incerteza de Heisenberg
b) da conservação da energia
e) da conservação de momento linear
c) de Pascal
Resolução:
De acordo com o princípio da incerteza, de Heisenberg, é impossível determinar a posição e a
velocidade de um elétron em torno do núcleo atômico.
emitidos, são responsáveis por muitas das cores que percebemos. Na figura
ao lado, vê-se parte do diagrama de energia do átomo de hidrogênio.
Na transição indicada (E3 → E2), um fóton de energia:
a) 1,9 eV é emitido.
d) 4,9 eV é absorvido.
b) 1,9 eV é absorvido.
e) 3,4 eV é emitido.
c) 4,9 eV é emitido.
Resolução:
E 5 E2 2 E3 → E 5 2 3,4 2 (21,5)
E 5 21,9 eV
O fóton emitido possui 1,9 eV de energia.
106
Energia (eV)
9 (UFG-GO) Transições eletrônicas, em que fótons são absorvidos ou
�1,5
E3
�3,4
E2
�13,6
E1
10 (UFPA) Roberval vai ao dentista e, antes de ser submetido a uma radiografia, solicita o protetor de
tireóide (pequeno avental de chumbo que envolve o pescoço). Como a clínica não dispunha de tal equipamento,
Roberval citou o Código de Proteção Radiológica em Odontologia, Parte 2, item 35: “... É recomendado o uso
adicional de blindagem para tireóide nas ra­diografias intra-orais, ...” e se retirou perguntando: “Se eu não
preciso usar o protetor, por que você se retira da sala e dispara o feixe por controle remoto?”.
Apesar de o feixe de raios X ser direcional e apontar para o paciente, o espalhamento desta radiação pode
levar perigo ao dentista. Identifique e descreva o fenômeno responsável por este espalhamento.
Resolução:
O fenômeno é o efeito Compton, segundo o qual, fótons de alta energia de comprimento de onda λ0
(raios X), ao incidirem em alvos de carbono — fracamente ligados ao núcleo —, produzem feixes de
raios X em que predominam um comprimento de onda incidente λi e outro com comprimento de
onda λs. O primeiro é desviado por difração (na estrutura cristalina da face) e o segundo, originário
de fótons espalhados no choque entre os fótons incidentes dos raios X e os elétrons livres da face.
11 (ITA-SP) Um átomo de hidrogênio tem níveis de energia discretos dados pela equação
213,6
eV , em que (n  Z | n  1). Sabendo que um fóton de energia 10,19 eV excitou o átomo do
n2
estado fundamental (n 5 1) até o estado p, qual deve ser o valor de p? Justifique.
En 5
Resolução:
O primeiro nível de energia do átomo de hidrogênio (estado fundamental) é:
213,6
E1 5
→ E1 5 213,6 eV
12
Ao receber um fóton de energia 10,19 eV, o átomo é excitado a um estado p, cuja energia é dada por:
Ep 5 213,6 1 10,19
Ep 5 213,6 eV
Utilizando a equação fornecida, conclui-se que o valor de p é dado por:
213,6
213,16
Ep 5
→ 23,41 5
2
p
p2
p52
107
p. 109
12 (UFMG) Em um tipo de tubo de raios X, elétrons acelerados por uma diferença de potencial de
2,0 ? 104 V atingem um alvo de metal, onde são violentamente desacelerados. Ao atingir o metal, toda a
energia cinética dos elétrons é transformada em raios X. (Dado: |e| 5 1,6 ? 10219 C.)
a) Calcule a energia cinética que um elétron adquire ao ser acelerado pela diferença de potencial.
b) Calcule o menor comprimento de onda possível para raios X produzidos por este tubo.
Resolução:
a) O trabalho realizado sobre o elétron é igual à variação da energia cinética deste. Por outro lado, o
trabalho é, também, igual à diferença de potencial a que o elétron é submetido, multiplicado pela
sua carga. Assim:
Ec 5 eV 5 1,6 ? 10219 ? 2 ? 104 J → Ec 5 3,2 ? 10215 J
b) A energia de um fóton de raios X é:
E 5 hf, em que h é constante de Planck e f, a freqüência dos raios X. O comprimento de onda da
c
onda é:  5 , em que c é a velocidade da luz. Como toda a energia dos elétrons é transformada
f
em raios X, a energia máxima que um fóton adquire é E 5 Ec; portanto, o comprimento de onda
h
6,6 ? 10234 ? 3 ? 108
mínimo do fóton é:  5 c 5
5 6,2 ? 10211 m
Ec
3,2 ? 10215
13 (UFRN) Uma das aplicações do efeito fotoelétrico é o visor noturno, aparelho de visão sensível
à radiação infravermelha. Um aparelho desse tipo foi utilizado por membros das forças especiais norteamericanas para observar supostos integrantes da rede Al-Qaeda. Nesse tipo de equipamento, a radiação
infravermelha atinge suas lentes e é direcionada para uma placa de vidro revestida de material de baixa
função de trabalho (W). Os elétrons arrancados desse material são “transformados”, eletronicamente, em
imagens. A teoria de Einstein para o efeito fotoelétrico estabelece que:
Ec 5 hf 2 W,
sendo:
•Ec, a energia cinética máxima de um fotoelétron;
•h 5 6,6 ? 10234 J ? s, a constante de Planck;
•f, a freqüência da radiação incidente.
Considere que um visor noturno recebe radiação de freqüência f 5 2,4 ? 1014 Hz e que os elétrons mais
rápidos ejetados do material têm energia cinética Ec 5 0,90 eV.
Sabe-se que a carga do elétron é q 5 1,6 ? 10219 C e 1 eV 5 1,6 ? 10219 J.
Baseando-se nessas informações, calcule:
a) a função do trabalho (W) do material utilizado para revestir a placa de vidro desse visor noturno, em eV;
b) o potencial de corte (V0) desse material para freqüência (f) da radiação incidente.
Resolução:
a) Calculando o quantum de energia radiante (hf) em eV:
hf 5 6,6 ? 10234 ? 2,4 ? 1014 5 1,58 ? 10219 J . 1eV
Calculando a função de trabalho do material
Ec 5 hf 2 W → 0,9 5 1 2 W → W 5 0,1 eV
b) Ec 5 eV0 → 0,9 ? 1,6 ? 10219 5 1,6 ? 10219 ? V0
V0 5 0,9 V
108
14 (FCAP-PA) O efeito fotoelétrico estabelece que uma luz monocromática, incidindo sobre uma placa
metálica, libera fotoelétrons com energias cinéticas diferenciadas.
Com base neste enunciado, analise as afirmativas abaixo, e a seguir assinale a alternativa correta.
I.A energia cinética do mais rápido fotoelétron ejetado inde­pende da intensidade da luz.
II.A hipótese de Einstein, para o efeito fotoelétrico, admite que a luz, ao atravessar o espaço, se comporta
como uma partícula e não como uma onda.
III.A energia do fóton, de acordo com Einstein, é dada pelo comprimento de onda multiplicado pela
constante de Planck (h).
a) Somente I é verdadeira.
d) Somente I e II são verdadeiras.
b) Somente II é verdadeira.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
c) Somente III é verdadeira.
Resolução:
I.Correta.
A energia do fotoelétron depende da freqüência da luz incidente e do material mas não depende
da intensidade luminosa (Ec 5 hf 2 W).
II.Correta.
Einstein sugeriu que a luz é formada por partículas (fótons).
III.Falsa.
hc
E 5 hf → E 5

15 (PUCCamp-SP) Einstein talvez tenha sido o cientista mais popular deste século devido à sua teoria da
relatividade, mas o Prêmio Nobel lhe foi atribuído pelo trabalho sobre efeito fotoelétrico, em 1905. O efeito
fotoelétrico consiste em “arrancar” elétrons de um metal pela incidência de luz ultravioleta. Para Einstein,
a radiação ultravioleta transporta a energia em pacotes chamados fótons, de intensidade E 5 hf, onde f é a
freqüência e h é a constante de Planck, igual a 6,63 ? 10234 Js. Portanto, para calcular a energia de um fóton,
em joules, basta multiplicar a freqüência da radiação pela constante de Planck, ambas em unidades do SI.
Seja W a energia necessária para aquecer de 1,0 °C, 1,0 g de material cujo calor específico é 0,062 cal/g °C. O
número de fótons da radiação ultravioleta de freqüência 3,0 ? 1016 Hz que equivale à energia W é:
(Dado: 1,0 cal 5 4,2 J.)
c) 1,6 ? 1018
e) 1,0 ? 1014
a) 4,8 ? 1023
21
16
b) 2,4 ? 10
d) 1,3 ? 10
Resolução:
Do enunciado, temos que W 5 0,062 cal. Transformando para a unidade do SI correspondente,
temos:
W 5 0,062 ? 4,2 5 0,2604 → 0,2604 J
Essa energia é a soma das energias de n fótons de freqüência 3 ? 1016 Hz. Logo:
W 5 nhf
W
n5
hf
2,6 ? 1021
n5
6,63 ? 10234 ? 3 ? 10216
n  1,31 ? 1016 → n 5 1,3 ? 1016
109
p. 113
16 (UFRGS-RS) Em 1905, como conseqüência da sua teoria da relatividade especial, Albert Einstein (1879-
1955) mostrou que a massa pode ser considerada como mais uma forma de energia. Em particular, a massa m
de uma partícula em repouso é equivalente a um valor de energia E dado pela famosa fórmula de Einstein:
E 5 mc2
onde c é a velocidade de propagação da luz no vácuo, que vale aproximadamente 300 000 km/s. Considere as
seguintes afirmações referentes a aplicações da fórmula de Einstein.
I.Na reação nuclear de fissão do U-235, a soma das massas das partículas reagentes é maior do que a soma
das massas das partículas resultantes.
II.Na reação nuclear de fusão de um próton e um nêutron para formar um nêutron, a soma das massas das
partículas reagentes é menor do que a massa da partícula resultante.
III.A irradiação contínua de energia eletromagnética pelo Sol provoca uma diminuição gradual da massa solar.
Quais estão corretas?
a) Apenas I.
c) Apenas III.
e) Apenas I e III.
b) Apenas II.
d) Apenas I e II.
Resolução:
I –Correto, a liberação de energia, proveniente deste processo, tem sua origem em parte da massa
dos reagentes, de tal modo que uma redução de massa gera uma quantidade de energia.
II –Errado, pois, como esse processo libera energia e essa energia provém da massa dos reagentes,
entende-se que a massa do dêuteron é um pouco menor que a soma das massas próton nêutron.
III–Correto, pois a energia gerada pelo Sol provém de uma reação nuclear chamada de fusão, em
que a junção de núcleos leves, gerando um núcleo mais pesado, ocorre com redução de massa.
17 (Fuvest-SP) Mediu-se a radioatividade de uma amostra arqueológica de madeira, verificando-se que o
1
do apresentado por uma amostra de madeira recente.
16
Sabendo-se que a meia-vida do isótopo 146C é 5,73 ? 103 anos, a idade, em anos, dessa amostra é:
c) 5,73 ? 103
e) 9,17 ? 104
a) 3,58 ? 102
b) 1,43 ? 103
d) 2,29 ? 104
nível de sua radioatividade devida ao Carbono 14 era
Resolução:
m
m
m
m 5 0 → 0 5 x0 → 2x 5 16 → x 5 4
16
16
2
t 5 x ? t 1 → t 5 4 ? 5, 73 ? 103
2
t 5 2,29 ? 104 anos
110
Em questões como a 18, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
18 (UFMS) Um elemento radioativo, inicialmente (às 12 horas) com
20 gramas, se desintegra tendo sua massa representada, em função do
horário, conforme gráfico ao lado.
É correto afirmar que:
(01) a massa do elemento radioativo é de 10 gramas às 15 horas.
(02) a massa do elemento radioativo é de 5 gramas às 18 horas.
(04) a meia-vida do elemento radioativo é de 3 h.
(08) o elemento radioativo se desintegra totalmente após 6 h do instante inicial.
(16) a meia-vida do elemento radioativo é de 10 h.
massa (g)
20
10
12
15
horário (h)
Resolução:
(01)Correta. Pelo gráficos, às 15h a massa do elemento radioativo é de 10g.
(02)Correta. Analisando-se o gráfico a cada 3 horas, a massa do elemento se reduz à metade.
Portanto, às 18 horas só restarão 5 g do elemento.
(04)Correta. Em um intervalo de 3 horas, a massa do elemento radioativo se reduz à metade.
(08)Errada. Após 6h do instante inicial, ainda existem 5 g do elemento.
(16)Errada. A meia-vida do elemento é de 3 horas.
01 1 02 1 04 5 7
p. 114
19 (UERJ) No exame de tireóide, utiliza-se o iodo 131, que é radioativo. Após 80 dias, a atividade desse
elemento atinge um valor tal que não mais oferece perigo, por tornar-se igual à radioatividade do meio
ambiente. Entretanto, o paciente não fica internado todo esse tempo, sendo liberado em horas, e sem se
tornar uma fonte ambulante de radioatividade, pois o organismo humano elimina rápida e naturalmente,
via fezes, urina e suor, o material ingerido. Assim, o paciente é liberado, mas o iodo 131 da sua urina,
armazenada no depósito de rejeito hospitalar, continua seu decaimento normal até que ela possa ser liberada
para o esgoto comum. Com detector apropriado, mediu-se a atividade do iodo 131 no rejeito hospitalar,
obtendo-se a tabela:
Tempo (dias)
Fração radioativa no material
0
1
1
2
8
16
1
4
24
1
8
32
1
16
80 1
1 024
A análise da tabela permite concluir que a meia-vida do iodo 131 é, em dias, igual a:
a) 8
c) 24
e) 80
b) 16
d) 32
Resolução:
O tempo necessário à fração radioativa reduzir-se ao meio é de 8 dias. Como esta é a definição de
meia‑vida de uma amostra, temos t 5 8 dias.
111
20 (UFPA) O decaimento radioativo de um isótopo do carbono, o Carbono 14, é utilizado para datação
de matéria orgânica morta por um período de, no máximo, 30 000 anos. O gráfico mostra a curva de
desintegração do Carbono 14, com a atividade (número de desintegrações por minuto — dpm) no eixo das
ordenadas e o tempo no eixo das abcissas.
16
14
Atividade (dpm)
12
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
Tempo (milhares de anos)
30
35
40
Com base nesse gráfico, pede-se:
a) Calcular, aproximadamente, a idade de um fragmento de conchas encontrado no Mar do Norte, apresentando,
atualmente, uma atividade de 10 dpm.
b)Obter, aproximadamente, o valor da meia-vida do Carbono 14.
c) Dado In 2  0,693, calcular a ordem de grandeza da constante de desintegração do Carbono 14, em
anos21.
Resolução:
a) Observando o gráfico, para uma atividade de 10 dpm, corresponde um tempo de
aproximadamente 3 500 anos.
b) Tomamos um valor arbitrário de atividade — 10 dpm, por exemplo. A meia-vida será o intervalo
de tempo necessário para reduzirmos essa atividade ao meio, ou seja, a 5 dpm. Como:
10 dpm —— 3 500 anos
5 dpm —— 9 000 anos
temos:
t 1  9 000 2 3 500 → t 1  5 500 anos
2
2
c) m 5 m0 ? e2kt
m
Para t 5 t 1 , temos m 5 0 . Assim:
2
2
1
1
1
In 2
0,693
2kt
2kt
5 e 2 → e 2 5 2 → kt 1 5 In 2 → k 5
→ k
2
t
5
500
1
2
2
k 5 1,26 ? 1024 anos21
Portanto, a ordem de grandeza, em anos21, é 1024.
112
21 (Unicamp-SP) Entre o doping e o desempenho do atleta, quais são os limites? Um certo “b-bloqueador”,
100
80
Quantidade
usado no tratamento de asma, é uma das substâncias
proibidas pelo Comitê Olímpico Internacional (COI), já que
provoca um aumento de massa muscular e diminuição de
gordura. A concentração dessa substância no organismo
pode ser monitorada através da análise de amostras de
urina coletadas ao longo do tempo de uma investigação.
O gráfico mostra a quantidade do “b-bloqueador”
contida em amostras da urina de um indivíduo, coletadas
periodicamente durante 90 horas após a ingestão da
substância. Este comportamento é válido também para
além das 90 horas. Na escala de quantidade, o valor 100
deve ser entendido como sendo a quantidade observada
num tempo inicial considerado arbitrariamente zero.
60
40
20
0
0
a) Depois de quanto tempo a quantidade eliminada corres­pon­de­rá a
20
40
60
Tempo em horas
80
1
do valor inicial, ou seja, duas meias4
vidas de residência da substância no organismo?
b) Suponha que o doping para esta substância seja considerado positivo para valores acima de 1,0 ? 1026 g/mL
de urina (1 micrograma por mililitro) no momento da competição. Numa amostra coletada 120 horas
após a competição, foram encontrados 15 microgramas de “b-bloqueador” em 150 mL de urina de um
atleta. Se o teste fosse realizado em amostra coletada logo após a competição, o resultado seria positivo
ou negativo? Justifique.
Resolução:
100
Quantidade
80
60
40
25
20
0
0
20
40
60
Tempo em horas
80
a) O gráfico mostra que, para uma quantidade eliminada igual a
igual a 60 horas.
b) Após 12 h, temos:
m0
240 mg
30 h
m0
2
120 mg
30 h
m0
4
60 mg
30 h
m0
8
30 mg
240 mg ——— 150 mL
240 mg
c5
5 1,6 mg/mL . 1,0 mg/mL
150 mL
Conclusão: o resultado seria positivo.
113
30 h
1
ou 25% da inicial, o tempo é
4
m0
16
15 mg
22 (EEM-SP) A seguinte equação representa um possível processo de fissão nuclear:
U 1 10n → 139
Ba 1 94
Kr 1 ...
56
36
235
92
a) Complete-a.
b) Justifique o motivo pelo qual ela pode originar uma reação em cadeia.
Resolução:
U 1 10n → 139
Ba 1 94
Kr 1 2 10n
a) 235
92
56
36
b) Os nêutrons liberados (2 10n) podem se chocar com outros átomos de urânio.
23 (UFMT) A maioria das usinas nucleares utiliza a fissão do isótopo U-235 para a produção de
energia elétrica. Sabendo-se que a energia cinética dos fragmentos de fissão de cada átomo de U-235 é 200
milhões de eV (elétrons-volts), calcule quantos anos durariam 4,7 kg desse isótopo, admitindo-se que essa
quantidade fosse responsável para manter o fornecimento de energia de 1 MW. Arredonde o resultado para o
número inteiro mais próximo, se necessário.
Dados: 1 eV 5 1,6 ? 10219 J
Número de Avogadro 5 6 ? 1023 átomos por mol
Número de segundos num ano 5 32 milhões
321
Resolução:
A energia cinética de cada átomo de U-235 é:
Ec 5 200 ? 106 eV 5 200 ? 106 ? 1,6 ? 10219 J
Ec 5 3,2 ? 10211 J
O número de átomos (N) contidos em 4,7 kg de urânio é calculado por:
m
4,7 ? 103 g
n5
→ n5
→ n 5 20 mols
M
235 g
1 mol —— 6 ? 1023 átomos → N 5 120 ? 1023 átomos
20 mols —— N
Logo, a energia total liberada é:
Etotal 5 NEc → Etotal 5 120 ? 1023 ? 3,2 ? 10211 J
Etotal 5 3,84 ? 1014 J
A energia fornecida de 1 MW corresponde a:
E 5 1 ? 106 W → E 5 1 ? 106 J/s → E 5 106 J/s
O tempo desse fornecimento é obtido por regra de três:
106 J —— 1 s → t 5 3,84 ? 108 s
3,84 ? 1014 J —— t
Para o valor do tempo em anos, vem:
3,84 ? 108
1 ano —— 32 ? 106 s →
T
5
32 ? 106
T —— 3,84 ? 108 s
T 5 12 anos
321
321
114