1 - Gravitação_Física II - 2015.1

Universidade Estadual do
Sudoeste da Bahia
Departamento de Ciências Exatas e
Naturais
1- Gravitação
Física II
Prof. Roberto Claudino Ferreira
ÍNDICE
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
- Introdução;
- Força Gravitacional;
- Aceleração Gravitacional;
- Energia Potencial Gravitacional;
- Velocidade de Escape;
- Leis de Kepler;
- Satélites Órbitas e Energias;
- Gravitação de Einstein;
- Conclusão.
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OBJETIVO GERAL
Alcançar um entendimento das leis de
Kepler e da lei da Gravitação Universal
assim como suas aplicações práticas,
através
de
abordagens
históricas,
conceituais e demonstrações matemáticas.
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1 - Gravitação Universal
A lei da Gravitação explica questões do
tipo: Se a Terra atrai a Lua, então porque a
Lua não cai na Terra? ou porque a Terra não
cai no Sol?
• Newton descreve a Força que explica estas
questões, com as premissas:
1.Massa atrai massa;
2.Quanto mais afastados os corpos, menor é
essa força;
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1- Lei da Gravitação Universal
Dois Corpos atraem-se com forças
proporcionais
a
suas
massas
e
inversamente proporcionais ao quadrado da
distância entre seus centros.
Constante Gravitacional
G  6,67  10
11
N  m²
kg²
(1)
Embora a lei da gravitação se aplique estritamente a partículas, podemos aplicá-la a
objetos reais desde que os tamanhos destes objetos sejam pequenos em comparação
com suas distâncias.
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1.1 A Lei da Gravitação para corpos de
tamanhos muito distintos
Exemplo: A Terra e a maçã.
Newton resolveu o problema da atração entre a
Terra e a maçã provando o teorema conhecido
como o teorema das cascas.
Uma casca esférica uniforme de
matéria atrai uma partícula que se
encontra fora da casca como se toda
a massa da casca estivesse
concentrada no seu centro.
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1.2 - A Gravitação no Interior da Terra
Uma casca uniforme de matéria não
exerce força gravitacional resultante sobre
uma partícula localizada no seu interior.
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1º Problema: Dado a figura abaixo, onde m1=
6,0kg, m2=m3 = 4,0kg; com a = 2,0 cm. Qual é
a força gravitacional resultante F que as outras
partículas exercem sobre a partícula 1?
2
a
3
2a
1
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2 - Força Peso e Força Gravitacional
 Força Peso e Força Gravitacional são iguais?
 A resposta é: Não.
Mas são bem próximas. Isso Porque:
1. A massa da Terra não está uniformemente
distribuída;
2. A Terra não é uma esfera;
3. A Terra está girando.
2º Problema: Desprezando as duas primeiras
situações. Provem que a rotação da Terra faz com
que o peso medido em um caixote na superfície da
Terra seja menor que a Força Gravitacional sobre ele.
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3º Problema: Mostre a diferença entre (g e ag).
Usem   
,   2rad , t = 24horas em
segundos t e o raio médio da Terra é 6,38x106 m .
Percebam que a diferença é de 0,034 m/s².
Por este fato podemos considerar que, para um corpo
de massa m próximo à superfície da Terra:
FP  Fg
GMm
m.a g 
r2
GMm

m
.
a

 g
r2
GM
ag  2
r
m = Massa do corpo pequeno.
M = Massa da Terra.
G = Constante Gravitacional.
ag = Aceleração da gravidade.
r = Distância entre o corpo e o centro
da Terra.
(2)
Percebam que (ag) não depende da
massa do corpo.
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4º Problema: Mostrem a partir da equação para
a aceleração da gravidade que seu valor na
superfície da Terra é 9,83 m/s². Considere:
Raio da Terra = 6,38x106 m .
24
5
,
974
x
10
kg .
Massa da Terra =
5º Problema: Calculem a aceleração da
gravidade em um ponto onde orbita o ônibus
espacial. A altura em relação à superfície da
Terra é: 400 km.
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3 - Energia Potencial Gravitacional
É dado pela fórmula:
GMm
U 
r
(3)
 (U) tende a zero quando (r) tende ao infinito.
 Em distâncias finitas a energia é negativa.
Demonstração da equação (3).
r
Pelo conceito de Trabalho:
dr



W   F (r )dr
F
R


F (r )dr  F (r )dr cos 
P
R
(4)
(5)
O ângulo entre F e dr é 180º.
M
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Como o cos de 180º = -1. E a força Fr é a força
gravitacional,Temos:


GMm
F (r )dr  
dr
r²
(6)
Substituindo (6) em (4):

1
W    GMm 2 dr
r
R

(7)

1
GMm
 GMm 
W  GMm 2 dr  


r
R
 r R
R
U   U  W
GMm
U W  
R
(8)
(9)
(10)
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4 - Energia Potencial e a Força
Deduzimos a força em (m) partindo da energia
potencial. Sendo: F (r )   dU
(11)
Subst. (3) em (11):
dr
d  GMm 
F (r )    

dr 
r 
GMm
F  2
r
(12)
(13)
Força Gravitacional de Newton
O sinal negativo indica que a força está
direcionado para dentro do corpo.
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5 - Velocidade de Escape
É a velocidade mínima necessária para que
um corpo escape completamente do planeta.
Levando em consideração a conservação
da energia temos que: K1  U1  K  U 
(13)
6º Problema: A partir da equação (13), prove que
a velocidade de escape fica:
2GM
v
(14)
R
Onde (M) é a massa do planeta e (R) é o
raio.
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6 – Leis de Kepler
1.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÓRBITAS)
“As órbitas dos planetas em torno do Sol são
elipses nas quais ele ocupa um dos focos.”
Numa elipse existem dois focos e a soma das
distâncias aos focos é constante.
a+b=c+d
b
a
Foco
Foco
c
d
ELIPSE
2.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÁREAS)
“A área descrita pelo raio vetor de um planeta
(linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é
diretamente proporcional ao tempo gasto
para descrevê-la.”
Velocidade Areolar  velocidade com que as áreas
Afélio
são descritas.
A1
A1
A1
A1
A2
A1
Velocidade Areolar = A
t
A2
A1
Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao longo de sua
órbita elíptica. Logo:
A1 A2

t1 t 2
A lei das áreas fica
áreaA1  áreaA2
Prove partido da segunda lei de Kepler que
o momento angular do planeta se conserva.
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A lei das áreas fica
dA
L

dt 2m
dA 1 2 d 1 2
 r
 r w
dt 2 dt 2
L  rp  rmv   rmwr  mr 2 w
Se a variação da área
em relação ao tempo é
constante então, pela
expressão
acima
o
momento angular é
constante. Se conserva.
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Sol
planeta
Afélio
Afélio  ponto de maior afastamento
entre o planeta e o Sol
Periélio
Periélio  ponto de maior proximidade
entre o planeta e o Sol
A2
A1
Com isso, tem-se que a velocidade no periélio
é maior que no afélio.
3.ª LEI DE KEPLER
(LEI DOS PERÍODOS)
“O quadrado do período da revolução de
um planeta em torno do Sol é diretamente
proporcional ao cubo do raio médio de sua
elipse orbital.”
Raio Médio  média aritmética entre as
distâncias máxima e mínima do planeta ao Sol.
T  KR
2
3
T  KR
2
3
T = Período de translação dos planetas.
R = Raio médio das órbitas planetárias.
K = Constante que depende apenas da
massa (M) do corpo central em torno do qual
o planeta gira.
Para orbitas elíptica, substitui-se (R) por (a).
Problema: Como se escreve a expressão entre
as orbitas da Terra e de Venus? OBS:
Considere as orbitas circulares.  T ²    T ² 
 
 
 R³ Terra  R³ Venus
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Planeta
T
(dias terrestres)
R
(km)
Mercúrio
88
5,8 x 107
Vênus
Terra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Netuno
Plutão
224,7
365,3
687
4343,5
10767,5
30660
60152
90666
1,08 x 108
1,5 x 108
2,3 x 108
7,8 x 108
1,44 x 109
2,9 x 109
4,5 x 109
6,0 x 109
T2/R3
4,0 x 10-20
As Leis de Kepler dão uma visão
cinemática do sistema planetário.
Do ponto de vista dinâmico, que tipo de
força o Sol exerce sobre os planetas,
obrigando-os a se moverem de acordo
com as leis que Kepler descobrira?
A resposta foi dada por
Isaac Newton (1642-1727):
FORÇA GRAVITACIONAL!!!!
7º Problema: Estrelas se movem lentamente.
Porém. Porque S2, dá uma volta em torno de
SargitáriusA em 15,2 anos? Qual a (M) de SgrA?
Considere (R=a)
a = 5,5 dias luz
Que equivale a
 1,42 x1014 m
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7 - Satélites: Órbitas e Energias
Para determinar a energia cinética de um
satélite em órbita circular, partimos da 2ª lei de
Newton para a força centrípeta e ac= v²/r.
Levando em consideração que a conservação
da energia é: E  K  U
(15)
F  m.a
Fg  m.ac
GMm
 m.v 2
r
GMm
v2
 m.
2
r
r
mv2
Sabemos que: K 
2
2
mv
 2K
então:
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(16)
(17)
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Substituindo (17) em (16):
GMm
 2K
r
1 GMm
K
2 r
U
K 
2
GMm
U 
r
(18)
-U
(19)
(20)
(21)
Substituindo (19) e (21) em : E  K  U
GMm  GMm 
U
E
 
 ou E    U
2r
r 

2
Para orbitas elíptica:
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 E  K
GMm
E
2a
(22)
(23)
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8º Problema:
Pretende-se lançar um satélite artificial que
irá descrever uma órbita circular a 1,6 x 10³ km
de altura. Sabendo que o raio e a massa da Terra
24
5
,
974
x
10
kg
são RT= 6,4 x10³ km e M=
,
determine a velocidade de translação que deve
ser impressa ao satélite, naquela altura, para
obter-se a órbita desejada. Dado a constante
Gravitacional:
11 N  m²
G  6,67  10
kg²
Obs: Não é velocidade de escape,
é a velocidade escalar do satélite.
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Resposta:
M
v  G
RT  h 
24
6
x
10
11
3 m
v  6,67 x10 
 v  7,07 x10
3
3
6,4 x10  1,6 x10
s
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Einstein e a Gravitação
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Newton - Einstein
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Poeira das estrelas – parte 5 e parte 6
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Conclusão
Embora a força gravitacional ainda não
esteja totalmente compreendida, o ponto de
partida para o nosso entendimento é a lei a
gravitação de Isaac Newton.
A gravidade de fato existe, nós podemos
senti-la. Mas fica o questionamento?
Devemos atribuir a gravitação à curvatura
do espaço-tempo devido a presença de massa
ou a uma força entre massas? Ou devemos
atribuí-la à ação de um tipo de partícula
elementar chamado gráviton?
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