GRAVITAÇÃO 1. (Ita 2010) Derive a 3ª Lei de Kepler do movimento

GRAVITAÇÃO
1. (Ita 2010) Derive a 3ª Lei de Kepler do movimento planetário a partir da Lei da Gravitação
Universal de Newton considerando órbitas circulares.
2. (Ita 2009) Lua e Sol são os principais responsáveis pelas forças de maré. Estas são
produzidas devido às diferenças na aceleração gravitacional sofrida por massas distribuídas na
Terra em razão das respectivas diferenças de suas distâncias em relação a esses astros. A
figura mostra duas massas iguais, m 1 = m2 = m, dispostas sobre a superfície da Terra em
posições diametralmente opostas e alinhadas em relação à Lua, bem como uma massa m 0 = m
situada no centro da Terra. Considere G a constante de gravitação universal, M a massa da
Lua, r o raio da Terra e R a distância entre os centros da Terra e da Lua.
3. (Uerj 2009) O valor da energia potencial, Ep, de uma partícula de massa m sob a ação do
campo gravitacional de um corpo celeste de massa M é dado pela seguinte expressão: Ep =
GmM/r.
Nessa expressão, G é a constante de gravitação universal e r é a distância entre a partícula e o
centro de massa do corpo celeste.
A menor velocidade inicial necessária para que uma partícula livre-se da ação do campo
gravitacional de um corpo celeste, ao ser lançada da superfície deste, é denominada
velocidade de escape. A essa velocidade, a energia cinética inicial da partícula é igual ao valor
de sua energia potencial gravitacional na superfície desse corpo celeste.
Buracos negros são corpos celestes, em geral, extremamente densos. Em qualquer instante, o
raio de um buraco negro é menor que o raio R de um outro corpo celeste de mesma massa,
para o qual a velocidade de escape de uma partícula corresponde à velocidade c da luz no
vácuo.
Determine a densidade mínima de um buraco negro, em função de R, de c e da constante G.
4. (Unesp 2009) Desde maio de 2008 o IBAMA recebe imagens do ALOS (satélite de
observação avançada da Terra) para monitorar o desmatamento na floresta Amazônica. O
ALOS é um satélite japonês que descreve uma órbita circular a aproximadamente 700 km de
altitude. São dados o raio e a massa da Terra, RT = 6400 km e M = 6,0 x 1024 kg
respectivamente, e a constante gravitacional, G  6,7  1011 N  m2 / kg2 . Determine o módulo
da aceleração da gravidade terrestre, em m / s2 , na altitude em que esse satélite se encontra.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
Na figura acima:
M: massa do Sol;
m: massa do planeta;
r: raio da órbita;
V : velocidade orbital do planeta;
FG : força gravitacional;
RC : resultante centrípeta.
Lembremos que a 3ª lei de Kepler afirma que: “o quadrado do período de translação (T) do
planeta é diretamente proporcional ao cubo do raio de sua órbita: T 2 = k r3 ”.
Como o movimento é circular uniforme, a força gravitacional comporta-se como resultante
centrípeta. Assim:
GMm mv 2
GM

 v2 
. (equação 1)
2
r
r
r
FG = RC 
S 2r
42r 2
. (equação 2)

 v2 
t
T
T2
Substituindo (2) em (1), vem:
Mas: v =
42r 2 GM
r 3 GM
42 3
2




T

r .
r
GM
T2
T2 42
Ora, G, M e  são todos constantes. Então:
4 2
= k (constante). Assim:
GM
T2 = k r3.
Resposta da questão 2:
Pela lei da gravitação universal de Newton.
GMm
d2
GMm
GMm
GMm
F0z =
F1z =
F2z =
2
2
2
R
R  r 
R  r 
F
1
R  r 

2
1
 
r
R  1  
  R 
2




1
1

2
2
R
r

1 R 


CONSERTAR A EQUAÇÃO ACIMA CONFORME DESENVOLVIDO NA AULA DE
DISCURSIVA.
1
r 

1 R 


2

1  2r
R
1
1  2r 
 2 1  
2
(R  r)
R 
R
1
1  2r 
 2 1  
2
(R  r)
R 
R
DESENVOLVER A EQUAÇÃO ACIMA.
f1z – f0z = GMm
 1  2R  1 
 R2  1  R   R2 

 

TERMINAR O DESENVOLVIMENTO DA EQUAÇÃO CONFORME A AULA DE DISCURSIVA.
f2z – f0z =
2GMmr
R3
DEMONSTRAR O RESULTADO ACIMA.
Resposta da questão 3:
A energia cinética na condição de velocidade de escape deve ser numericamente igual a
energia potencial gravitacional. Disto deduz-se que o raio do Buraco Negro será:
1
GmM
2GM
mv 2e 
R  2
2
R
ve
Como a velocidade de escape corresponde a velocidade da luz, c, temos para a massa do
buraco negro:
M
Rc 2
2G
Pelo volume da esfera:
V
4 3
R (volume máximo)
3
A densidade mínima do buraco negro será:

M
3c 2

V 8GR2
Resposta da questão 4:
v
Dados:
M  6  1024 kg; rT  6.400 km; h  700 km;
ac = g
r  rT  h  6.400  700  7.100 km  7,1 106 m;
M
rT
G  6,7  10–11 N  m2 / kg2.
r
Da expressão do campo gravitacional:
Interbits®
h
gG
M
6  1024
11

6,7

10
r2
7,1 106
g  8 m / s2 .


2
]