Notas de Aula_ Gravitação - SOL

NOTA DE AULA
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
05
Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II (MAF 2202)
Coordenação: Prof. Dr. Elias Calixto Carrijo
CAPÍTULO 14 – GRAVITAÇÃO
1. O MUNDO E A FORÇA GRAVITACIONAL.
Na figura a seguir se vê a galáxia conhecida como Via Láctea. O planeta Terra está
próximo à borda do disco, a cerca de 26000 anos-luz (2,5x1020 m) do seu centro, que na
figura está localizado no agrupamento de estrelas conhecido como Sagitário.
Figura 14.0(inicio do capítulo)
A Via Láctea é um membro do grupo Local de galáxias, que inclui a galáxia de
Andrômeda a uma distância de 2,3x106 anos-luz e vária galáxias anãs mais próximas, como a
Grande Nuvem de Magalhães.
A força que mantém reunidas estas estruturas progressivamente maiores, da estrela à
galáxia e ao superagrupamento, é a força gravitacional. Esta força não apenas nos mantém
sobre a Terra, mas também exerce influência em todo Espaço intergalático.
02
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
2. LEI DE NEWTON DA GRAVITAÇÃO.
Em 1655, Isaac Newton mostrou que a força que mantém a Lua em sua órbita é a
mesma que faz com uma maçã caia em direção à Terra. I. Newton concluiu que todo corpo no
Universo atrai todos os outros corpos; esta tendência dos corpos de se moverem cada um em
direção ao outro é chamada de gravitação.
Newton propôs uma lei de forças conhecida hoje como lei da gravitação de Newton,
dada por:
F =G
m1m2
,
r2
onde m1 e m2 são as massas dos corpos, r é a distância entre os mesmos e G é a constante
gravitacional com valor dado por:
G = 6,67 x 10-11 N . m / Kg2
= 6,67 x 10-11 m3 / Kg . s2
Como mostra a figura a seguir, uma partícula m2 atrai uma partícula m1 com uma força
→
gravitacional F dirigida para a partícula m2 e a partícula m1 atrai a partícula m2 com uma
→
→
→
força gravitacional - F dirigida para a partícula m1. As forças F e - F formam um par de
forças ação e reação. Estas forças não se alteram pela presença de outros corpos, mesmo que
estes corpos e situem entre as duas partículas.
Fig 14.2
03
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
A intensidade da forças gravitacional depende do fator G. Se, por algum fenômeno
estranho, G fosse multiplicado por um fator 10, seríamos esmagados contra o piso da Terra.
Ao contrário, se G fosse dividido por 10, poderíamos saltar um prédio.
A lei de gravitação pode ser aplicada a corpos desde que as dimensões dos mesmos
sejam pequenas comparadas com as distâncias entre eles. No caso de pequenos corpos
próximos à superfície de um planeta, pode-se usar o Teorema da Casca:
Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma partícula que está
fora da casca como se toda a massa da esfera estivesse concentrada
em seu centro.
A Terra pode ser imaginada como um conjunto de tais cascas, uma dentro da outra.
3. GRAVITAÇÃO E O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
Em um grupo de partículas, a força gravitacional resultante em uma delas, exercida
pelas outras partículas, pode ser calculada usando o princípio da superposição, em que o
efeito resultante é obtido pela soma dos efeitos individuais.
Para n partículas interagindo, o princípio da superposição pode ser escrito como segue:
→
→
→
→
→
F 1, res = F 12 + F 13 + F 14 + . . . + F 1n ,
→
→
onde F 1, res é a força resultante sobre a partícula 1 e F 13 é a força exercida sobre a partícula 1
pela partícula 3. Em um modo mais compacto tem-se:
→
n
→
F 1, res = ∑ F 1i
i=2
A força gravitacional sobre um objeto qualquer, em que as dimensões do outro corpo
não sejam desprezíveis pode ser calculada por:
→
→
F1 = ∫ d F
04
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
A integral é tomada sobre todo objeto de dimensões finitas.
4. GRAVITAÇÃO PRÓXIMA À SUPERFÍCIE TERRESTRE.
Supondo-se que a Terra seja uma esfera uniforme de Massa M, a intensidade da força
gravitacional da Terra sobre uma partícula de massa m, localizada a uma distância r do centro
da terra ( r > Raio da Terra) é dada por:
F =G
Mm
r2
Se a part6ícula for solta ela cairá em direção a centro da Terra com uma aceleração
→
gravitacional a g . Da segunda lei de Newton relacionamos F e ag por:
F = m ag
Das duas últimas relações obtemos:
ag =
GM
r2
A tabela 14.1 mostra valores de ag calculados para várias altitudes acima da superfície da
Terra.
TABELA 14.1 Variação de ag com a Altitude
Altitude (km)
Ag (m/s2)
Exemplo de Altitude
0
9,83
Superfície média da Terra
8,8
9,80
Monte Everest
36,6
9,71
Balão tripulado mais alto
400
8,70
Órbita do Ônibus espacial
35 700
0,225
Satélites de Comunicações
Desprezando a rotação da Terra e supondo que a mesma seja um referencial inercial, a
aceleração de queda livre g pode ser dada por ag. Entretanto esses valores diferem por tres
motivos: (1) a Terra não é uniforme, (2) ela não é uma esfera perfeita e (3) ela está girando.
05
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
Neste caso, o peso medido da partícula mg difere da força gravitacional dada por GMm/r2.
Examinando as três razões:
1
A Terra não é uniforme. A massa específica da Terra varia radialmente e na crosta
varia de região para região. Então g varia de região para região na superfície.
2
A Terra não é uma esfera. Pode-se considerar a Terra um elipsóide, achatado nos
pólos e saliente no equador. Como um ponto do pólo está mais próximo do núcleo da
Terra, a aceleração g aumenta à medida que aproximamos dos pólos.
3
A Terra está girando. O eixo de rotação passa pelos pólos Norte e Sul. Essa rotação
gera uma força resultante centrípeta
Para entendermos como a rotação da Terra provoca diferença entre g e ag , considere uma
situação de um caixote de massa m sobre uma balança situados na linha do equador, conforme
mostra a figura a seguir.
Figura 14.7
06
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
Na parte b da figura, um diagrama de livre mostra as duas forças sobre o caixote,
ambas tem a direção radial. A força normal da balança sobre o caixote está dirigida para fora,
→
na direção positiva do eixo r. A força gravitacional m a g , está dirigida para dentro. Como o
caixote se move em um círculo em torno do centro da Terra, à medida que a Terra gira, ele
→
possui uma aceleração centrípeta a dirigida para dentro. Esta aceleração centrípeta é dada por
ω2R, onde ω é a velocidade angular da Terra e R o seu raio. Então, da segunda lei de Newton
vem:
N - m ag = m ( -ω2R ),
ou seja:
 peso   intensidade da


 = 
 − (massa x aceleração centrípeta )
 medido   força gravitacional 
O módulo da força norma é igual ao peso mg obtido da balança. Então:
mg = mag – m(ω2R) ,
Então o peso medido é de fato menor que a intensidade da força gravitacional. Da relação
anterior também obtemos:
g = ag - ω2R
ou:
 aceleração de   aceleração   aceleração 

 = 
 − 

 queda livre   gravitacional   centrípeta 
Então, a aceleração de queda livre medida é menor do que a aceleração gravitacional por
causa da rotação da Terra.
5. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Seja uma bola de beisebol lançada na vertical se afastando da terra, ao longo da
trajetória mostrada na figura a seguir:
07
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
r
dr
r
F
φ
P
R
M
Deseja-se encontrar uma expressão para a energia potencial gravitacional U da bola no ponto
P da trajetória. Para tanto, calcula-se o trabalho realizado pela força gravitacional sobre a bola
quando ela se desloca do ponto P até uma distância infinita da terra. O trabalho é dado por:
∞
r
r
W = ∫ F (r ).dr
R
onde
r
r
F (r ).dr = F (r )dr cos φ
Substituindo os respectivos valores obtém-se:
r
r GMm
F (r ).dr = 2 dr
r
então
∞
∞
1
GMm
dr =
⇒
2
r
r
R
R
W = GMm ∫
W = 0−
GMm
GMm
=−
R
R
08
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
Na expressão anterior W é o trabalho para mover a bola do ponto P até o infinito.
Como:
∆U = −W ,
então
U ∞ − U = −W
Como a energia potencial no infinito é nula, obtém-se:
U =W = −
GMm
r
INDEPENDÊNCIA DA TRAJETÓRIA
Na figura a seguir mostra-se o movimento da bola de beisebol do ponto A ao ponto G,
composto de três segmentos radiais e três circulares. O trabalho total realizado pela força
gravitacional é dado pela soma das parcelas individuais nos respectivos segmentos nos
segmentos circulares o trabalho é nulo, pois a força é perpendicular à trajetória. O trabalho
restante é dado pelo trabalho realizado nos segmentos radiais, que já foi calculado no item
anterior. Isso significa que, sendo a força gravitacional uma força conservativa, o trabalho
independe da trajetória, o que nos leva à relação:
∆U = U f − U i = −W
Como o trabalho independe da trajetória, a variação da energia potencial também independe
da trajetória.
Fig.14.11
09
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
ENERGIA POTENCIAL E FORÇA
Pode-se fazer o caminho inverso, isto é calcular a força gravitacional a partir da
energia potencial.
F =−
dU
d  GMm 
= − −

dr
dr 
r 
F =−
GMm
→
r
Lei da Gravitação do Newton
a força aponta radialmente para dentro, em direção a M.
Velocidade De Escape
Velocidade de escape é a velocidade mínima a partir da qual um projétil lançado na
superfície da Terra escape do campo gravitacional da mesma.
Seja um projétil de massa m com velocidade v deixando a superfície da Terra. Ele
possui energia cinética K dada por m v2/2 e energia potencial dada por:
U =−
GMm
R
Na relação anterior M é a massa do planeta e R seu raio.
Quando o projétil atinge o infinito ele pára e por isso não possui mais energia cinética,
nem energia potencial (r→∞ ⇒ U→0), ou seja a energia mecânica total no infinito é nula. Do
princípio da conservação da energia total tem-se:
1
GMm
)=0
K + U = mv 2 + (−
2
R
Explicitando a velocidade vem:
v=
2GM
R
010
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
Velocidade de Escape
Lua
2,38 km/s
Terra
11,2 km/s
Sol
618 km/s
Supernova (Est.de N.)
2x105 km/s
6. PLANETAS E SATÉLITES: LEIS DE KEPLER.
O movimento dos planetas sempre despertou interesse nos seres humanos. Após ter
dedicado toda sua vida a esses fenômenos, Johannes Kepler (1571-1630), estabeleceu leis
empíricas que governam estes movimentos, que foram compiladas mais tarde por Tycho Brae
(1546-1601). Posteriormente, Newton (1642-1727) mostrou que a lei da gravitação leva às
leis de Kepler. Neste seção discutiremos cada lei de Kepler.
1. Lei das Órbitas: Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o sol em um dos focos.
A figura a seguir mostra um planeta de massa m se movendo em uma órbita deste tipo
em torno do Sol, com massa M. Sendo M ⟩⟩ m, pode-se considerar o centro de massa do
sistema no Sol.
Fig. 14.13
Nesta órbita nota-se o semi-eixo maior a e a excentricidade e. Pode-se calcular a
excentricidade fazendo e.a = F . Um círculo corresponde a uma excentricidade nula. As
excentricidades das órbitas planetárias são pequenas, parecendo círculos.
2. Lei das Áreas: Uma linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em no plano da
órbita do planeta em tempos iguais ou seja, a taxa dA/dt com que a linha varre Áreas A é
constante.
011
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
Isso significa que o planeta se moverá mais lentamente quando estiver afastado do Sol
e mais rapidamente quando estiver mais próximo do Sol. Essa segunda lei é equivalente à
conservação do momento angular, que mostrado em seguida.
Na figura a seguir, a área da cunha sombreada é próxima da área varrida no intervalo
de tempo ∆t por uma linha que liga o Sol ao planeta, separados por uma distância r.
Figura 14.14
A área deste setor é aproximadamente igual à área do triângulo com base r∆θ e altura
r. Então, a área deste triângulo será ∆A = r2 ∆θ/2. A taxa instantânea que a área está sendo
varrida será:
dA 1 2 dθ 1 2
= r
= r ω
dt 2
dt 2
A linha que liga o Sol ao planeta tem velocidade angular ω.
A quantidade de movimento linear do planeta e suas componentes radial e
perpendicular, também são mostrados na figura anterior. Como L = r p⊥ tem-se:
L = r p⊥ = r (m v⊥) = r (mω r) ⇒
L = m ω r2
Eliminando r2ω chega-se em:
dA
L
=
dt 2m
012
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
Se dA/dt é constante, então L também é constante, ou seja se conserva.
3. Lei dos Períodos. O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da sua órbita.
Seja a órbita circular da figura a seguir. Aplicando a lei de gravitação e a segunda lei
de Newton ao planeta ( F = ma) tem-se:
GMm
= m (ω 2 r )
2
r
Nesta relação ω2 r é a aceleração centrípeta. Fazendo ω = 2π/T obtém-se:
 4π 2
T 2 = 
 GM
 3
r

Fig. 14.15
7. SATÉLITES: ÓRBITAS E ENERGIA
Quando um satélite órbita a terra em uma trajetória elíptica, tanto a velocidade quanto
sua distância ao centro da terra flutuam, afetando a sua energia cinética e energia potencial
gravitacional. Entretanto a energia mecânica E permanece constante.
A energia potencial do sistema e-:
U =−
GMm
r
013
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V
Para determinar a energia cinética de um satélite em órbita circular, escreve-se a
segunda Lei de Newton Como:
GMm mv 2
=
,
r2
r
onde v 2 / r é a aceleração centrípeta do satélite. Então a energia cinética será:
K=
1 2 GMm
mv =
2
2r
ou seja, para um satélite em órbita circular tem-se:
K =−
U
2
A energia total do satélite é
E = K +U =
GMm GMm
−
2r
r
E=−
GMm
2r
Portanto, a energia mecânica é igual a – K.
E = −K
Para um satélite com órbita elíptica substituímos r por a e obtemos:
E=−
GMm
2a