Template Guia de EstudosNro6_Gravitacao

Gravitação
Tecnologias de Informação e Comunicação na Educação
Professora Karen Luz Burgoa Rosso
Tutor Antônio Marcelo Martins Maciel
Lavras/MG
2011
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Ficha catalográfica preparada pela Divisão de Processos
Técnicos da Biblioteca Central da UFLA
Espaço a ser preenchido pela biblioteca
[A ser preenchido posteriormente]
Espaço a ser preenchido pelo CEAD
Índice
Unidade 6 .......................................................................................................... 5
1.1 A descrição física do problema .............................................................. 6
1.2. Leis de Kepler ............................................................................................ 7
1.3. A lei da gravitação universal de Newton ................................................. 8
1.4. Considerações de energia no movimento planetario e de satelites ... 11
1.5. Bibliografia ............................................................................................... 12
Unidade 6
OBJETIVO: Nesta ultima unidade aplicaremos todos os conhecimentos,
sobre forças, energia e centro de massa, adquiridos nas cinco unidades
anteriores, ao problema do movimento planetário. O objetivo principal é
relacionar as leis empíricas encontradas por Johannes Kepler e a teoria da
gravitação de Newton.
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1.1 A descrição física do problema
Os
antigos
astrônomos
gregos
preguntabam-se
sobre
o
movimento dos planetas e da lua. Que força faz que os planetas
permaneçam em suas orbitas? Se todos os objetos que tem
massa caem porque a lua não cai? A terra gira em torno do sol?
Ou é o sol que gira em torno do planeta Terra? Por quê?
Para responder a estas perguntas o trabalho desenvolvido no
século XVI pelo cientista experimental Tycho Brahe, com ajuda da
sua assistente e irmã Sophia Brahe, foi fundamental. Tycho Brahe
foi um astrônomo observacional da era que precedeu à da
invenção do telescópio, e suas observações da posição das
estrelas e dos planetas alcançaram uma precisão sem paralelo
para a época. Johanes Kepler foi um astrônomo matemático que
analisou os dados observacionais de Tycho Brahe e formulou as
três leis fundamentais da mecânica celeste. No inicio do século
XVII Newton baseou sua explicação sobre o movimento planetário
nos resultados desses gigantes da ciência.
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1.2. Leis de Kepler
A primeira lei de Kepler indica que a órbita circular é um caso
muito especial, no movimento planetário, e que orbitas elípticas
são a situação geral. Todo planeta no sistema solar descreve uma
órbita elíptica com o sol em um dos seus focos.
Esta lei pode ser entendida em termos do centro de
massa do sistema planetário o sol é o astro com maior
quantidade
de
massa
do
nosso
sistema
planetario,
consequentemente o centro de massa de um sistema solplaneta esta mais perto do sol.
A segunda lei de Kepler indica que, o raio vetor traçado
do sol até qualquer planeta descreve areas iguais em
intervalos de tempo iguais.
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Matemáticamente temos que;
∆A = L/(2Mp)*∆t,
Onde ∆A é area percorrida pelo raio vetor num intervalo
de tempo ∆t, L é o módulo do momento angular do
planeta e Mp é a massa do planeta que esta orbitando em
torno do sol.
A terceira lei de Kepler indica que o quadrado do periodo
orbital de qualquer planeta é proporcional ao cubo do
semieixo maior da órbita elíptica.
Matemáticamente a terceira lei de Kepler é expressa
como:
T2=(4/GMS)2 a3
onde T é o periodo órbital do planeta, G a constante
gravitacional, MS é a massa do sol e a é o semieixo maior
que a trajetoria eliptica do planeta faz em torno do sol.
1.3. A lei da gravitação universal de Newton
A lei da gravitação de Newton é uma lei da física clássica que
descreve a interação entre os corpos devido a suas massas. Esta
lei foi apresentada por Newton no livro, Philosophiae Naturalis
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Principia Mathematica, escrito em latim e traduzido ao Frances
por uma mulher cientista chamada Émilie du Châtelet. No
principia de Newton foi fornecida a chave que desvendou os
segredos do movimento planetario. Ele sabia pela primeira lei do
movimento que uma força resultante tinha que estar atuando
sobre a lua. Se não estivesse, a Lua se deslocaria numa trajetoria
em linha reta em vez da sua orbita quase circular. Newton
concluiu que essa força entre a Lua e a Terra era uma força
atrativa. Concluiu tambem que não podia haver nada especial
sobre o sistema Terra-Lua ou sobre o sistema do Sol e seus
planetas que fizesse que as forças gravitacionais agissem apenas
neles. Se duas particulas tem massas m 1 e m2 estão separadas
uma distância r, o módulo da força gravitacional entre elas é
Fg = G m1m2/r2
Onde G é a constante gravitacional, cujo valor em unidades SI é
G = 6,673X10-11 [Nm2/kg2]. A força exercida por m1 sobre m2 é
F12 = - ( G m1m2/r2 ) r12
Onde o sinal negativo indica que a partícula 1 é atraída em
direção a partícula 2. Da mesma forma, pela terceira lei de
Newton, a força exercida por m2 sobre m1 é designada por F21, é
igual em modulo a F12 e está na direção oposta.
Newton demostrou que a força gravitacional exercida por uma
distribuição esfericamente simétrica de tamanho finito sobre uma
partícula fora da distribuição é a mesma força que se toda a
massa da distribuição estivesse concentrada em seu centro.
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Exemplo:
Seja uma partícula de massa m na superficie da Terra, a força
gravitacional entre a massa da Terra e massa da partícula tem o
modulo
Fg = G MTm/R2T,
Em que MT é a massa da Terra e RT é o raio da Terra. Esta força
esta direcionada para o centro da Terra. Por outro lado sabemos
que a força que uma massa sente devido a atraçao gravitacional é
a conhecida força peso, então
Fg = mg,
Consequentemente o valor da gravidade ao nivel do mar é
g = G MT/R2T = 9,83[m/s2]
os valores usados na conta anterior foram MT= 5,98x1024[kg] e
MT=6,37x106 [m]. Com este exemplo podemos ver que a
aceleração gravitacional com que os corpos caem depende das
caraterísticas do planeta, ou satelite nos quais eles se encontram.
Po exemplo, uma montanha russa é feita com mais emoçao em
Saturno do que na Lua, pois a aceleração da gravidade na Lua é
mais ou menos, 1,6 [m/s2] e em Saturno é cerca de 10,5 [m/s2].
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Newton tambem demostrou que a força gravitacional entre um
planeta e o sol, ou um satelite e seu planeta, não é mais nada do
que a força centripeta que gera seu movimento semicircular.
1.4.
Considerações
de
energia
no
movimento
planetario e de satelites
Analisamos até agora a mecânica orbital do ponto de vista das
forças e momento angular. Agora estudaremos o movimento dos
planetas com o enfoque de energia. Para isto precisamos definir a
energia gravitacional associada ao trabalho realizado pela força
gravitacional.
As equações anteriores mostram que a energia gravitacional é
Ug = -G m1m2/r
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Com a equação da energia gravitacional podemos determinar a
energia mecanica total do sistema físico formado por um corpo de
massa m que descreve uma trajetoria semicircular em torno de
uma massa muito maior M.
E = ½ mv2 - G Mm/r
Esta energia mecânica total do sistema pode ser; positiva,
negativa ou nula dependendo do valor da velocidade v e da
distancia de separação r. Um planeta em movimento ao redor do
sol e um satélite em orbita ao redor da Terra são sistemas
ligados, pois, a energia E é necessariamente menor a zero.
Exemplo:
Velocidade de escape é a velocidade com a qual um foguete
precissa ter para ele se afastar para sempre da Terra. Para achar
esta velocidade precisamos que a energía cinética adquirida pelo
foguete deve ser igual a energia gravitacional que precissa se
vencer para escapar da atraçao gravitacional. Em equaçoes
temos que,
½ mv2esc - G MTm/RT = 0
vesc = √(2GMT/RT)
Repare que a velocidade de escape não depende da massa do
objeto que será liberado. A velocidade de escape é a mesmo para
um foguete que para uma molécula.
1.5. Bibliografia
Raymond A. Serway e John W. Jewett, Jr. Princípios de Física,
Volume 1, tradução ao português da Terceira edição Americana,
2004.
Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, Volume 1,
Oitava Edição, 2007.
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