no: Nome: Ensino: Médio Turma: Série: 2ª. Data: Professor: Márcio Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 1–Arcos e ângulos 1.1–Elementos: C: centro da circunferência CB = CA = R: raio da circunferência ˆ : ângulo central ACB AB : arco 1.2–Medida do arco: A medida de um arco é igual à medida do seu ângulo central. AB 1.3–Comprimento do arco: medida comprimento 360 2R comp AB 360 2R comp AB 2R 360 comp AB 1.3–Medida do arco em radianos: DEFINIÇÃO O arco em que o comprimento é igual ao raio tem medida igual a 1 radiano medida comprimento 360 1 rad 2R R 2 R 360 R 2 360 rad 180 2–Ciclo trigonométrico DEFINIÇÃO Em um sistema de eixos perpendiculares construímos uma circunferência de raio unitário e com centro na interseção (origem) desses eixos. B + II O ponto A é a origem dos arcos e a partir dele são feitas as medidas desses arcos. A circunferência intersecta os eixos nos pontos A, B, C e D e fica dividida em quatro setores. C I o A III IV D Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA Os setores indicados por I, II, III e IV são respectivamente denominados 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes. Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo ( ). Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo ( ). EXEMPLO O arco com extremos em A e B no sentido anti-horário mede 90º. O arco com extremos em A e C no sentido horário mede –180º. O arco com extremos em A e D no sentido anti-horário mede 270º. O arco com extremo em A e dá uma volta no sentido anti-horário mede 360º. O arco com extremo em A e dá uma volta no sentido anti-horário e continua até o ponto B mede 450º. O arco com extremo em A e dá duas voltas no sentido horário e continua até o ponto C mede -900º. 2.1–Arcos notáveis no ciclo trigonométrico: 90º 150º 2 90º rad 5 rad 6 180º rad 30º 135º 6 rad 0º 0 rad o 3 rad 4 2 rad 45º 180º rad 7 rad 6 330º 270º 11 rad 6 225º 5 rad 4 315º 270º 90º 2 120º rad 3 2 rad 60º 3 rad o 0º 0 rad 360º 2 rad 240º rad 360º 2 rad 3 rad 2 180º rad 4 0º 0 rad o 360º 2 rad 210º 4 rad 3 300º 270º 3 rad 2 5 rad 3 3 rad 2 7 rad 4 Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 3–Funções trigonométricas 3.1–Função Seno DEFINIÇÃO Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP , de comprimento x e OS a ordenada do ponto P. eixo dos senos P S comp AP x O A R Seno do arco x é a razão entre a ordenada do ponto P e o raio OP da circunferência, assim: sen x OS . Na função seno, associamos cada arco do ciclo trigonométrico a um número real. Assim: f : IR IR tal que f x sen x . 3.1.1–Variação da função seno. x 0 ou x 2 x I x I x III P S OS AP A O P A OS S P sen x 0 crescente sen x 0 x sen x o decrescente sen x o x II x 2 A O x IV 3 2 SP P O A S O A O SP sen x 1 máximo sen x o decrescente sen x 1 mínimo A A O S sen x o crescente P Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 3.1.2–Gráfico Conjunto imagem: Im f 1;1 Valor máximo que f assume: 1 Valor mínimo que f assume: - 1 Período: p 2 3.2–Função Cosseno Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP , de comprimento x e OS a abscissa do ponto P. P comp AP x O S eixo dos cossenos A Cossseno do arco x é a razão entre a abscissa do ponto P e o raio OP da circunferência, assim: cos x OS . Na função cosseno, associamos cada arco do ciclo trigonométrico a um número real. Assim: f : IR IR tal que f x cos x . 3.2.1–Variação da função cosseno. x 0 ou x 2 x x I x III P O SP A O S SP A S A O O P cos x 1 cos x 0 decrescente cos x 1 mínimo cos x 0 crescente Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA x x II 2 x P x IV 3 2 P A A S OS O OS S A A O P cos x 0 cos x 0 decrescente P cos x 0 cos x 0 crescente 3.2.2–Gráfico Conjunto imagem: Im f 1;1 Valor máximo que f assume: 1 Valor mínimo que f assume: - 1 Período: p 2 3.3–Função Tangente Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP com DEFINIÇÃO P B e P D e sendo S a intersecção da reta OP com o eixo das tangentes. B P S x C O A eixo das tangentes D Tangente do arco x é a razão entre a medida do segmento AS e o raio AO da circunferência, assim: tg x AS . Na função tangente, associamos cada arco do ciclo trigonométrico, com exceção de x n ;n , a um número real. Assim: 2 f : IR x n ;n IR tal que f x tg x . 2 Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 3.3.1–Variação da função tangente. x 0 ou x 2 x I x S x III S P AP S O O A AS P O A O S P tg x 0 tg x 0 tg x 0 tg x 0 crescente crescente x O x x II 2 P A O 3 2 O O A x IV A A P P S tg x tg x 0 S S tg x crescente 3.3.2–Gráfico Conjunto imagem: Im f IR Não tem valor máximo e nem mínimo. Período: p tg x 0 crescente S Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 3.3–Resumo tg x 3 sen x 180º 1 120º 1 60º 3/2 45º 135º 2/2 30º 150º 180º -1 1/ 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 360º 1/ 2 210º 330º 2/2 225º 3/2 240º -1 cos x 1 0º 3 3 315º 300º 1 270º 3 4–Relações trigonométricas fundamentais 4.1– Relações trigonométricas fundamentais 2 2 sen θ = 1 - cos θ 2 2 cos θ = 1 - sen θ sen2θ + cos2θ = 1 tgθ = senθ cosθ secθ = 1 cosθ cossecθ = cotgθ = 1 senθ 1 cosθ = tgθ senθ Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 4.2–Relações trigonométricas auxiliares sec 2θ = 1 + tg2θ cossec 2θ = 1 + cotg2θ 5–Relações trigonométricas em um triângulo qualquer 5.1–Lei dos senos a b c 2R ˆ sen C ˆ sen  sen B 5.2–Lei dos cossenos a 2 b2 c 2 2 b c cos  ˆ b2 a 2 c 2 2 a c cos B ˆ c 2 a 2 b2 2 a b cos C 6–Transformações 6.1–Adição e Subtração de arcos sen a b sen a.cos b sen b.cos a sen a b sen a.cos b sen b.cos a cos a b cos a.cos b sen a.sen b cos a b cos a.cos b sen a.sen b tg a tg b 1 tg a.tg b , com a, b, a b n n 2 tg a tg b tg a b 1 tg a.tg b tg a b Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 6.2–Arco Duplo sen 2a 2.sen a.cos a cos2 a sen 2a cos 2a 1 2sen 2a 2cos2 a 1 tg 2a 2tg a , com a n e a n n 2 2 4 2 1 tg a Observação: sen a cos a 2 sen 2a cos2 a 2sen a.cos a 1 Logo: sen a cos a 1 sen 2a 2 sen 2a Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 1–Áreas de figuras planas 1.1–Retângulo S b.h h b 1.2–Quadrado S 2 1.3–Paralelogramo h S b.h b 1.4–Trapézio b h S B b h 2 B 1.5–Losango d S D.d 2 h S b.h 2 D 1.6–Triângulos 1.6.1–Triângulo qualquer b Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 1.6.2–Triângulo equilátero 2 S 3 4 1.6.3–Triângulo qualquer a S a.b.sen 2 b 1.6.4–Triângulo qualquer (Fórmula de Hierão) p c b abc 2 S p p a p b p c a 1.6.5–Triângulo qualquer Geralmente esta relação é mais circunferência inscrita no triângulo. útil p c b para determinar o raio da o raio da abc 2 S p.r r a 1.6.6–Triângulo qualquer Geralmente esta relação é mais útil circunferência circunscrita ao triângulo. para determinar c b S a R 1.7–Hexágono Regular S 3 2 2 3 abc 4R Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 1.8–Figuras circulares 1.8.1–Círculo S R2 R 1.8.2–Coroa circular r R S R2 r 2 1.8.3–Setor circular S R 360º R2 1.8.4–Segmento circular S Ssetor Striangulo R 2–Prismas 2.1–Classificação 2.1.1–Prisma Oblíquo São os prismas cujas arestas laterais são obliquas ao plano da base. 2.1.2–Prisma Reto São os prismas cujas arestas laterais são perpendiculares ao plano da base. 2.1.3–Prisma Regular São os prismas retos em que as bases são polígonos regulares. Prisma Oblíquo Prisma Reto Prisma Regular Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 2.2–Formulário: 2.2.1–Área da base (Ab): É a área do polígono da base. 2.2.2–Área lateral (Al): É a soma das áreas de todas as faces laterais. 2.2.3–Área total (At): É a soma das áreas de todas as faces do prisma. At Al 2Ab 2.2.4–Volume (V): É um número que exprime a razão existente entre o espaço ocupado por um sólido e o espaço ocupado por um cubo de aresta unitária. V Ab.H 2.3–Casos particulares: 2.3.1–Paralelepípedo reto retângulo ou retângulo É todo paralelepípedo reto cujas bases são retangulares. Paralelepípedo Reto-retângulo Formulário: c D b a Área total (At): At 2 ab ac bc Volume (V): V abc Diagonal (D): D a 2 b2 c 2 paralelepípedo Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 2.3.2–Cubo É todo paralelepípedo reto-retângulo cujas faces são quadradas. Cubo Formulário: a D a a Área total (At): At 6a 2 Volume (V): V a3 Diagonal (D): D a 3 3–Pirâmides 3.1–Classificação 3.1.1–Pirâmide Oblíqua São as pirâmides cuja projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base não coincide com o centro do polígono da base. 3.1.2–Pirâmide Reta São as pirâmides cuja projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base coincide com o centro do polígono da base. Numa pirâmide reta, as faces laterais são triângulos isósceles. Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 3.1.3–Pirâmide Regular São as pirâmides retas em que as bases são polígonos regulares. Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles e congruentes entre si. Pirâmide reta Pirâmide oblíqua Pirâmide regular Pirâmide quadrangular regular: V D A E H C B Na pirâmide regular acima, temos: HC = R é o raio da circunferência circunscrita à base. VA = VB = VC = VD = L são as arestas laterais. VH = h é a altura da pirâmide. HE = r é o raio da circunferência inscrita ou o apótema da base. VE = g é a altura da face lateral ou o apótema lateral ou apótema da pirâmide. Daí: i) VH HE VE h 2 r 2 g 2 2 2 2 ii) VH HC VC h 2 R2 L2 2 2 2 3.2–Formulário: 3.2.1–Área da base (Ab): É a área do polígono da base. 3.2.2–Área lateral (Al): É a soma das áreas de todas as faces laterais. 3.2.3–Área total (At): É a soma das áreas de todas as faces do prisma. At Al Ab Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 3.2.4–Volume (V): É um número que exprime a razão existente entre o espaço ocupado por um sólido e o espaço ocupado por um cubo de aresta unitária. V 1 Ab H 3 3.3–Tetraedro regular São pirâmides triangulares onde todas as faces são triângulos equiláteros. a a a a 3.3.1–Formulário: Área total (At): At a 2 3 Altura (H): H a 6 3 Volume (V): V a3 2 12 3–Cilindros 3.1–Secção meridiana do cilindro: É a interseção do cilindro com um plano que contém o eixo do mesmo. H 2R 3.1.1–Área da secção meridiana ASM 2RH Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 3.2–Classificação: 3.2.1–Cilindro Oblíquo São os cilindros cujo eixo são oblíquos as plano da base. 3.2.2–Cilindro Reto ou de Revolução São os cilindros cujo eixo é perpendicular ao plano da base. No cilindro circular reto, a geratriz tem a mesma medida que a altura. 3.2.3–Cilindro Equilátero São os cilindros retos cuja secção meridiana é um quadrado. Assim, H 2R . Cilindro Oblíquo Cilindro Reto ou de Revolução Cilindro Eqüilátero 3.3–Formulário: Eixo 3.3.1–Área da base (Ab): É a área do círculo da base. Geratriz Ab R 2 3.3.2–Área lateral (Al): É área da superfície lateral. H R Altura Al 2 RH Base 2R 3.3.3–Área total (At): At Al 2Ab 3.3.4–Volume (V): V Ab.H H R Superfície lateral Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 4–Cones 4.1–Secção meridiana do cilindro: É a interseção do cone com um plano que contém o eixo do mesmo. H 4.1.1–Área da secção meridiana ASM RH 2R 4.2–Classificação: 4.2.1–Cone Oblíquo São os cones cujo eixo é oblíquo ao plano da base. 4.2.2–Cone Reto São os cones cujo eixo é perpendicular ao plano da base. 4.2.3–Cone Equilátero São os cones retos cuja secção meridiana é um triângulo equilátero. Assim, g 2R . Cone Oblíquo Cone Reto ou de Revolução Cone Eqüilátero 4.3–Formulário: V 4.3.1–Área da base (Ab): É a área do círculo da base. Ab R 2 4.3.2–Área lateral (Al): É área da superfície lateral. Al Rg 4.3.3–Área total (At): At Al Ab 4.3.4–Volume (V): V 1 Ab.H 3 Eixo V H Geratriz Raio Base Altura Superfície Lateral