projeto a vez do mestre a importância dos números complexos no

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
PROJETO A VEZ DO MESTRE
A IMPORTÂNCIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO
SUPERIOR
Por: Gilvan Gonçalves Ferreira Filho
Orientador
Prof. Nelsom Jose Veiga de Magalhães
Rio de Janeiro
2005
2
UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓR-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
PROJETO A VEZ DO MESTRE
A IMPORTÂNCIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO
SUPERIOR
Apresentação
de
monografia
à
Universidade Candido Mendes como
condição prévia para a conclusão do
Curso
de
Pós-Graduação
“Lato
Sensu” em Docência do Ensino
Superior.
Por: Gilvan Gonçalves Ferreira Filho
3
AGRADECIMENTOS
À minha família, que me incentivou a
fazer este estudo;
Ao meu orientador, Prof. Nelsom Jose
Veiga de Magalhães, que forneceu
orientações seguras, guiando meu
caminho e
Aos meus professores e colegas, pela
caminhada solidária.
4
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho aos meus
familiares e principalmente a Deus,
pelo apoio e bênçãos recebidas
durante o curso.
5
RESUMO
Neste trabalho monográfico será realizado um estudo a cerca do surgimento dos
números complexos, dando ênfase aos primeiros estudos realizados por Bombelli e
Cardano no século XVI. Trataremos, ainda, do fechamento, da extensão de suas
operações, da aceitação da teoria dos números complexos e da equivocada abordagem
realizada por parte das literaturas que tratam do assunto em epígrafe.
Apresentaremos uma breve introdução sobre a teoria dos números complexos,
abordando a correta definição, os elementos complexos especiais, as operações básicas,
as representações geométricas, argumento, forma polar, raiz quarta, raiz n-ésima,
complexos como matriz, os gaussianos e demais tópicos comumente omitidos nas
diversas literaturas que tratam do assunto, em especial as do ensino superior.
Apontaremos algumas considerações sobre a teoria dos números complexos e suas
diversas possibilidades de aplicação, contextualizando dessa forma um assunto que na
maioria das vezes, que estudamos, fica sem nenhum ponto de ancoragem..
Trabalharemos no sentido de apresentar de maneira completa e correta a teoria supra
citada e proporcionar aos estudiosos do assunto uma visão crítica, correta e atual das
várias literaturas encontradas atualmente no mercado bibliográfico.
6
METODOLOGIA
A realização do trabalho monográfico será desenvolvida por meio de
uma pesquisa bibliográfica e será procedida uma leitura dialética das abordagens
feitas pelos autores da teoria dos números complexos. O resultado deste trabalho
monográfico poderá ser utilizado por professores e alunos que pretendem
estudar o tema em destaque.
7
SUMÁRIO
Introdução..........................................................................................................09
Capítulo I - O Descobrimento dos Números Complexos..................................12
1.1. Como surgiram os números complexos?
1.2. O primeiro estudo dos complexos: Bombelli 1572.
1.3. Investigação do fechamento dos complexos.
1.4. Extensão das operações transcendentes aos complexos.
1.5. A aceitação dos números complexos.
Capítulo II - Introdução aos números complexos.... .........................................16
2.1. Os números complexos.
2.2. Definição de números complexos.
2.3. Elementos complexos especiais.
2.4. Operações básicas com números complexos.
2.5. Representação geométrica de um número complexo.
2.6. Argumento de um número complexo.
2.7. Forma polar de um número complexo.
2.8. Raiz quarta de um número complexo.
2.9. Raiz n-ésima de um número complexo.
2.10. Números complexos como matriz.
2.11. Os gaussianos.
Capítulo III – Aplicações dos números complexos no ensino superior.................33
3.1. Considerações sobre os números complexos.
3.2. Números complexos na Física e na Química
3.3. Os números complexos como vectores, na matemática e na engenharia
3.4. A importância dos números complexos no ensino superior
8
Conclusão...............................................................................................................48
Anexos....................................................................................................................50
Bibliografia consultada...........................................................................................56
Índice......................................................................................................................57
9
INTRODUÇÃO
Os números complexos foram inventados para resolvermos as equações do
segundo grau? Não! Isso é uma falácia clássica. Além de historicamente errada, essa
extremamente comum "explicação" para o surgimento dos números complexos é um
absurdo encontrado com muita freqüência nos livros destinados ao estudo da teoria dos
números complexos. Com efeito, por que alguém iria buscar raízes num campo
numérico desconhecido?
Até cerca de 1650 d.C., em respeito à orientação geométrica da matemática grega,
as únicas raízes consideradas como legítimas ou verdadeiras eram as que correspondiam
à grandezas geométricas ou físicas: podiam ser interpretadas como comprimentos, áreas,
volumes, massas, etc. Diríamos hoje: correspondiam a números reais POSITIVOS.
Por exemplo, Bhaskara, que foi um dos indianos que mais perto chegou da idéia
da moderna álgebra (conhecia a regra menos vezes menos dá mais, trabalhava com
equações de coeficientes negativos, etc), reconhecia que a equação x2 - 45 x = 250 era
satisfeita por dois valores, x = 5 e x = - 5, mas dizia que não considera-se a segunda pois
as pessoas não apreciam raízes negativas.
Até o surgimento dos cartesianos, as raízes eram divididas em verdadeiras
(correspondiam aos reais positivos) e falsas (que correspondiam aos reais negativos e
não eram consideradas como legítimas). As únicas e raras ocorrências de raízes
negativas nesse período surgiam em problemas de contabilidade, onde eram
interpretadas como dívidas.
O primeiro matemático a aceitar e estudar números negativos e complexos, ao
invés de rejeitá-los simplesmente, como acontecia até então, foi Rafael Bombelli sendo
o tema objeto de estudo para vários outros estudiosos, dentre eles Cardano, que ao
tentar resolver a cúbica x
3
= 4 + 15x , a qual ele sabia ter raiz verdadeira x = 4,
10
constatou que a regra de dal Ferro-Tartaglia produzia a seguinte expressão ( em notação
moderna ):
x = 3 2 + − 121 + 3 2 − − 121 .
Ao encontrar o termo
− 121 , ele não sabia como proceder para conseguir
resolver o cálculo, de modo a fazer a regra chegar ao esperado x = 4. Foram precisos
mais de 25 anos para Rafael Bombelli, descobrir como resolver o impasse. Esse teve a
idéia de operar com as quantidades da forma a + b − 1 sob as mesmas regras que se usa
com os números reais, mais a propriedade ( − 1 )² = -1. Surgindo dessa forma o
conjunto dos números complexos.
Sabemos que uma equação algébrica depende do conjunto universo considerado
para obter sua solução, logo se tentarmos obter o conjunto solução da equação x2+1 = 0
sobre o conjunto dos números reais, teremos como resposta o conjunto vazio, o que
significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se
seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns, obteremos:
Onde
− 1 é a raiz quadrada do número real -1. Isto parece não ter significado
prático e foi por esta razão que este número foi chamado imaginário, mas o simples fato
de substituir
− 1 pela letra i (unidade imaginária) e realizar operações como se estes
números fossem polinômios, faz com que uma série de situações tanto na Matemática
como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos
números complexos.
Há muito tempo em nossos currículos, em todos os níveis, especialmente no
ensino superior, trabalhamos com números complexos e muitas vezes, passamos a idéia
de que a unidade imaginária i, serve apenas para extrair uma raiz negativa e não
proporcionamos aos alunos a oportunidade de perceber o quão importante o conjunto
dos números complexos é em suas aplicações.
11
Portanto estudaremos, de uma forma simples e objetiva, em que universo é
aplicada a tão sugestiva unidade imaginária i e verificaremos a partir do resultado deste
estudo que o questionamento inicial realmente não passa de uma falácia clássica.
12
CAPÍTULO I
O DESCOBRIMENTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
1.1. Como surgiram os números complexos?
Cardano em 1545 ao tentar resolver a cúbica x 3 = 4 + 15x , a qual ele sabia ter raiz
verdadeira x = 4, constatou que a regra de dal Ferro-Tartaglia produzia a seguinte
expressão ( em notação moderna ) :
x = 3 2 + − 121 + 3 2 − − 121
Deparando-se com o termo
− 121 , ele não conseguiu ver como "destravar" o
cálculo, de modo a fazer a regra chegar ao esperado x = 4. Foram precisos mais de 25
anos para Bombelli, em 1572, atinar como resolver o impasse. Esse disse ter tido a
"idéia louca" de operar com as quantidades da forma a + b − 1 sob as mesmas regras
que se usa com os números reais, mais a propriedade ( − 1 )² = -1 para assim conseguir
"destravar" a regra, fazendo-a produzir o desejado x = 4.
O próprio Bombelli não estava bem seguro do que havia criado, chegando mesmo
a dizer que eram uma nova espécie de raízes quadradas ... que tem regras diversas das
outras. Para os demais matemáticos da época, os números complexos eram vistos com
suspeita e quanto muito tolerados, na falta de melhor coisa. Até o nome que receberam,
números SOFÍSTICOS, espelhava bem a situação.
É de se acrescentar que alguns matemáticos da época procuraram descobrir
maneiras de se evitar o uso dos complexos. Entre eles, o que mais procurou evitar as
torturas mentais envolvidas com o uso de raízes quadradas de negativos foi Cardano.
Em seu difícil livro De Regula Aliza, de 1570, Cardano procurou inventar artifícios de
cálculo que evitassem o uso de raízes quadradas de negativos quando da aplicação das
regras de resolução de cúbicas. Conseguiu apenas magros resultados. Foram necessários
trezentos anos para que, em 1890, Capelli conseguisse provar que isso é em geral
impossível de conseguir.
13
1.2. O primeiro estudo dos complexos: Bombelli 1572.
Rafael Bombelli gastou 74 (setenta e quatro) páginas de sua obra L'Álgebra para
estudar as leis algébricas que regiam os cálculos com as quantidades a + b − 1 . Em
particular, mostrou que:
•
As 4 operações aritméticas sobre números complexos produzem números
desse tipo;
•
A soma de um real e um imaginário puro não pode se reduzir a um só
nome.
1.3. Investigação do fechamento dos complexos.
Embora Bombelli já tivesse se preocupado em provar o fechamento das operações
aritméticas com números complexos, em 1680, encontramos ninguém menos do que
Leibniz questionando-se se seria real ou não o resultado de:
(a + ib ) + ( a − ib )
Lambert, em 1 750, mostrou que
i , i i , etc todos tem a forma a + ib.
1.4. Extensão das operações transcendentes aos complexos.
A principal dificuldade foi entender o logaritmo de números complexos. E
se vamos falar do ln z, por que não falar no log de reais negativos? Com efeito,
estendeu-se por muitos anos a polêmica do significado e valor do ln (-1). Nada
menos do que Leibniz, Euler e J. Bernoulli entraram na briga.
Bernoulli alegava que, como 1 2 = (-1) 2, tomando o log, obtemos 0 = ln(1). Leibniz dizia que isso não pode ser correto, uma vez que teríamos, ln(-1) =
0, que -1 = e Q 1.
14
O passo decisivo foi dado por Euler que mostrou que o log de um número
não nulo tem infinitos valores, os quais são todos imaginários no caso do
número ser negativo.
Boa parte dessas discussões envolviam argumentos metafísicos e não
podemos dizer que Euler tenha esclarecido definitivamente a questão. Isso só
ocorreu em 1830 com Martin Ohm, o qual deu uma teoria completa para o
calculo de a b e de ln a (com a,b complexos). Suas idéias foram divulgadas e
estendidas por Cauchy , o qual elucidou a questão da multivocidade através das
noções de ramo principal e ramos secundários de uma função.
Exemplo:
Como e2 π i = 1 , então ln (e2 π i) = ln ( 1 ) mas é errado disso concluir que e2 π i =
0.
Foi só com as idéias de Ohm e Cauchy que aprendemos a fazer o cálculo
corretamente.
1.5. A aceitação dos números complexos.
Talvez possamos dizer que os principais matemáticos responsáveis por essa
aceitação foram:
• Lambert e Euler que estudaram o fechamento dos números complexos sob
operações algébricas e transcendentes;
• Wessel que introduziu (1797) a moderna representação geométrica, que foi
depois popularizada por Mourey e Gauss c. 1830;
• Gauss que divulgou e muito usou essa representação e provou que os números
complexos são necessários e suficientes para a Álgebra (Teorema Fundamental da
Álgebra: todo polinômio de coeficientes reais ou complexos pode ser fatorado em
termos lineares, possivelmente complexos);
15
• Ohm e Cauchy que esclareceram a multivocidade das operações algébricas e
transcendentes sobre os complexos.
Com isso, a terminologia desconfiada inicial (n. sofísticos c. 1570, n. imaginários
c. 1650) acabou cedendo lugar a mais natural denominação atual: números complexos,
em c. 1830.
Já no século dos 1800 os números complexos encontraram grande uso no estudo
da Mecânica de Fluídos, da Eletricidade e outros fenômenos em meios contínuos. Hoje,
são instrumental absolutamente necessário em inúmeros campos da Ciência e
Tecnologia.
16
CAPÍTULO II
INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS
2.1. Os números complexos.
Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto
universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções. Por exemplo,
se estivermos trabalhando no conjunto dos números racionais, a equação 2x+7 = 0, terá
uma única solução dada por:
x=
−7
2
Assim, o conjunto solução será:
7 
S = 
2
No entanto, se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o
conjunto solução será o conjunto vazio, isto é:
S =Ø={ }
Analogamente, se tentarmos obter o conjunto solução para a equação x2+1 = 0
sobre o conjunto dos números reais, teremos como resposta o conjunto vazio, isto é:
S =Ø={ }
O que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual
a -1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns,
obteremos:
x = −1
17
Onde
− 1 é a raiz quadrada do número real -1. Isto parece não ter significado
prático e foi por esta razão que este número foi chamado imaginário, mas o simples fato
de substituir
− 1 pela letra i (unidade imaginária) e realizar operações como se estes
números fossem polinômios, faz com que uma série de situações tanto na Matemática
como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos
números complexos.
2.2. Definição de número complexo
Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma:
z = a + bi
onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real
do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z,
denotadas por:
a = Re( z ); b = Im( z )
Exemplos de tais números são apresentados na tabela abaixo:
Número complexo Parte real Parte imaginária
2+3i
2
3
2-3i
2
-3
2
2
0
3i
0
3
-3 i
0
-3
0
0
0
Observação:
O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto
dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um
18
número complexo da forma z = x + yi , onde y = 0 , então assumiremos que o conjunto
dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.
2.3. Elementos complexos especiais
• Igualdade de números complexos: Dados os números complexos z = a + bi e
w = c + di , definimos a igualdade entre z e w, escrevendo
z = w ⇔ a =ceb=d
Para que os números complexos z = 2 + yi e w = c + 3i sejam iguais, deveremos
ter que c = 2 e y = 3 .
• Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo z = a + bi é o
número complexo denotado por − z = (a + bi ) , isto é:
− z = Oposto (a + bi ) = ( − a ) + ( − b )i
O oposto de z = −2 + 3i é o número complexo − z = 2 − 3i .
• Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de
z = a + bi é o número complexo denotado por z = a − bi , isto é:
z = conjungado (a + bi ) = a + ( − b )i
O conjugado de z = 2 − 3i é o número complexo z = 2 + 3i .
2.4. Operações básicas com números complexos
Dados os números complexos z = a + bi e w = c + di , podemos definir duas
operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:
z + w = (a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i
z .w = (a + bi ).(c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc )i
19
Observação:
Estas operações nos lembram as operações com expressões polinomiais, pois a
adição
é
realizada
de
uma
forma
semelhante,
isto
é (a + bx ) + (c + dx ) = (a + c ) + (b + d ) x e a multiplicação (a + bx ).(c + dx ) , é realizada
através de um algoritmo que aparece na forma:
a = bx
c + dx
X
ac + bcx
adx + bdx ²
ac + (bc + ad ) x + bdx ²
de forma que devamos trocar x2 por -1.
Exemplos:
Se z = 2 + 3i e w = 4 − 6i , então
z + w = ( 2 + 3 i ) + ( 4 − 6 i ) = 6 − 3i
Se z = 2 + 3i e w = 4 − 6i , então
z .w = ( 2 + 3i ).(4 − 6i ) = −4 + 0i
2.4.1 - Potências da unidade imaginária
Quando tomamos i = − 1 temos uma série de valores muito simples para as
potências de i :
Potência
i2
i3
i4
i5
i6
i7
i8
i9
Valor
-1
-i
1
i
-1
-i
1
i
Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são
múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente
20
decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa
forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto
da divisão do expoente por 4.
Curiosidade sobre a unidade imaginária
Ao pensar um número complexo z = a + bi como um vetor z = (a , b ) no plano
cartesiano, a multiplicação de um número complexo z = a + bi pela unidade imaginária
i , resulta em um outro número complexo w = b + ai , que forma um ângulo reto (90
graus) com o número complexo z = a + bi dado.
2.4.2 - O inverso de um número complexo
Dado um número complexo z = a + bi , não nulo (a ou b deve ser diferente de
−1
zero) podemos definir o inverso deste número complexo como o número z = u + iv , tal
que:
Z . Z −1 = 1
−1
O produto de z pelo seu inverso z deve ser igual a 1, isto é:
21
(a + bi ).(u + iv ) = (au − bv ) + (av + bu)i = 1 = 1 + 0.i
o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:
au − bv = 1
bu + av = 1
Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma única solução
(pois a ou b são diferentes de zero), fornecendo:
u=a
a 2 + b2
(
)
v = −b
a 2 + b2
(
)
assim, o inverso do número complexo z = a + bi é:
z −1 =
a
b
i
−
a 2 + b2 a 2 + b2
Exemplo: O inverso do número complexo z = 5 + 12i é
 5   12 
z −1 = 
−
i
169
169

 

•
Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso de um
número complexo, por exemplo, o inverso de z = 5 + 12i , deve-se :
•
1.Escrever o inverso desejado na forma de uma fração;
z −1 =
1
1
=
z 5 + 12i
22
2.Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z ;
z −1 =
1
5 − 12i
=
5 + 12i (5 + 12i ).(5 − 12i )
3.Lembrar que i2 = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos
semelhantes.
z −1 =
5 − 12 i
169
Observação:
Na última igualdade (proporção) o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos.
2.4.3 - A diferença entre números complexos
A diferença entre os números complexos z = a + bi e z = a + bi é definida como o
número complexo obtido pela soma entre z e − w , isto é:
Z − W = Z + (− W )
Exemplo: A diferença entre os complexos z = 2 + 3i e w = 5 + 12i , é:
z − w = (2 + 3i ) + (− 5 − 12i ) = (2 − 5) + (3 − 12)i = −3 − 9i
2.4.4 - A divisão entre números complexos
A divisão entre os números complexos z = a + bi e w = c + di (w não nulo) é
−1
definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w , isto é:
z
= z . w −1
w
23
Exemplo: Para dividir o número complexo z = 2 + 3i por w = 5 + 12i , basta multiplicar
z
o numerador e também o denominador da fração w pelo conjugado de w :
12i 
2 + 3i
z
 5
= (2 + 3i ).
−
=

w 5 + 12i
 169 169 
2.5. Representação geométrica de um número complexo
Um
número
complexo
da
forma
z = a + bi ,
pode
ser
representado
geometricamente no plano cartesiano, como sendo um ponto (par ordenado) tomando-se
a abscissa deste ponto como a parte real do número complexo a no eixo OX e a
ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY, sendo que o
número complexo 0 = 0 + 0i é representado pela própria origem (0,0) do sistema.
2.5.1 - Módulo de um número complexo
No gráfico anterior podemos observar que existe um triângulo retângulo cuja
hipotenusa correspondente à distância entre a origem 0 e o número complexo z,
normalmente denotada pela letra grega ro, o cateto horizontal tem comprimento igual à
parte real a do número complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do
número complexo z.
24
Desse modo, se z = a + bi é um número complexo, então:
p2 = a 2 + b2
e a medida da hipotenusa será por definição, o módulo do número complexo z, denotado
por |z|, isto é:
z = a 2 + b2
2.6. Argumento de um número complexo
O ângulo formado entre o segmento OZ e o eixo OX, aqui representada pela letra
grega alfa, é denominado o argumento do número complexo z. Pelas definições da
trigonometria circular temos as três relações:
cosα =
b
a
b
sen α = tgα =
a
p
p
Por experiências com programação na Internet, observei que é melhor usar o
cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o argumento, uma vez que a tangente
apresenta alguns problemas.
2.7. Forma polar de um número complexo
Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadas anteriormente, podemos
escrever:
z = a + bi = p . cos α + p . sen α . i
e assim temos a forma polar do número complexo z:
25
z = p . (cos α + i sen α
)
2.7.1 - Multiplicação de números complexos na forma polar
Consideremos os números complexos:
z = r (cos m + sen m )
w = s(cos n + sen n)
onde, respectivamente, r e s são os módulos e m e n são os argumentos destes
números complexos z e w .
Podemos realizar o produto entre estes números da forma usual e depois
reescrever este produto na forma:
z .w = rs[cos( m + n) + i sen( m + n)]
Este fato é garantido pelas relações:
cos(m + n) = cos(m ). cos(n) − sen(m ). sen(n)
sen(m + n) = sen(m ). cos(n) + sen(m ). cos(n)
2.7.2 - Potência de um número complexo na forma polar
Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k de um número
complexo. Como:
z = r [cos (m) + i sen (m)]
então:
z k = r k [cos(km ) + i sen( km )]
26
Exemplo: Consideremos o número complexo z=1+i, cujo módulo é igual à raiz
quadrada de 2 e o argumento é igual a 1/4 de pi (45 graus). Para elevar este número à
potência 16, basta escrever:
z 16 = 28 [cos(720º ) + i sen( 720º )] = 256
2.8. Raiz quarta de um número complexo
Um ponto fundamental que valoriza a existência dos números complexos é a
possibilidade de extrair a raiz de ordem 4 de um número complexo, mesmo que ele seja
um número real negativo, o que significa, resolver uma equação algébrica do 4º. grau.
Por exemplo, para extrair a raiz quarta do número -16, basta encontrar as quatro raízes
da equação algébrica
x 4 + 16 = 0 .
Antes de seguir em nosso processo para a obtenção da raiz quarta de um número
complexo w, necessitamos antes de tudo, saber o seu módulo r e o seu argumento t, o
que significa poder escrever:
w = r (cos t + i sen t )
O primeiro passo é realizar um desenho mostrando esse número complexo w em
um círculo de raio r e observar o argumento t, dado pelo angulo entre o eixo OX e o
número complexo w.
27
O passo seguinte é obter um outro número complexo z1 cujo módulo seja a raiz
quarta de r e cujo argumento seja t/4. Este número complexo é a primeira das quatro
raízes complexas procuradas.
 t
 t 
z = r cos  + i sen  
 4 
  4
1
1
4
As outras raízes serão:
z 2 = i . z1
z3 = i . z2
z4 = i . z3
e todas elas aparecem no gráfico:
28
Observação:
O processo para obter as quatro raízes do número complexo w ficou muito
facilitado pois conhecemos a propriedade geométrica que o número complexo i
multiplicado por outro número complexo, roda este último de 90 graus e outro fato
interessante é que todas as quatro raízes de w estão localizadas sobre a mesma
circunferência e os ângulos formados entre duas raízes consecutivas é de 90 graus. Se os
quatro números complexos forem ligados, aparecerá um quadrado rodado de t/4
radianos em relação ao eixo OX.
2.9. Raiz n-ésima de um número complexo
Antes de continuar, apresentaremos a importantíssima relação de Euler:
e i.t = cos t + i sen t
que é verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o valor aproximado
2,71828... Para facilitar a escrita usamos freqüentemente:
exp (i.t) = cos t + i sen t
29
Observação:
A partir da relação de Euler, é possível construir uma relação notável envolvendo
os mais importantes sinais e constantes da Matemática:
e i .π + 1 = 0
Voltemos agora à exp(i .t ) . Se multiplicarmos o número ei.t por um número
complexo z, o resultado será um outro número complexo rodado de t radianos em
relação ao número complexo z. Por exemplo, se multiplicarmos o número complexo z
por:
e
i
π
8
= cos
π
8
+ i sen
π
8
obteremos um número complexo z1 que forma com z um ângulo pi/8=22,5o, no
sentido anti-horário.
n
Iremos agora resolver a equação x = w , onde n é um número natural e w é um
número complexo dado. Da mesma forma que antes, podemos escrever o número
complexo
w = r ( cos t + i sen t)
30
e usar a relação de Euler, para obter:
w = r e i.t
Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a primeira raiz que é dada pelo
número complexo
1
n
z( 1 ) = r e
i .t
n
Todas as outras n-1 raízes serão obtidas pela multiplicação recursiva dada por:
z(k) = z(k-1 ) e
2. iPi
n
onde k varia de 2 até n.
Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação x8=-64, observamos a posição do
número complexo w = -64 + 0 i, constatando que o seu módulo é igual a 64 e o
argumento é um ângulo raso (pi radianos = 180 graus).
Aqui a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz é pi/8, então z1
pode ser escrita na forma polar:
z1 = 2.e π i = 2.(cos 22,5º + i . sen 22,5º )
8
As outras raízes serão obtidas pela multiplicação do número complexo abaixo,
através de qualquer uma das três formas:
31
2π
2π
e π i = cos
+ i . sen
= cos 45º + i . sen 45º
8
8
8
ou ainda pela forma simplificada:
Assim:
z(2) = z(1).
z(3) = z(2).
z(4) = z(3).
z(5) = z(4).
z(6) = z(5).
z(7) = z(6).
z(8) = z(7).
2.10. Número complexo como matriz
Existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z=a+bi
pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma:
32
 a − b

z = 
b
a


e todas as propriedades dos números complexos, podem ser obtidas através de matrizes,
resultando em processos que transformam as características geométricas dos números
complexos em algo simples.
2.11. Os gaussianos
2.11.1 - Os inteiros gaussianos
Os inteiros gaussianos são números complexos em que tanto a parte real a como a
parte imaginária b são inteiros.
Exemplo: 9 - 2i é um inteiro gaussiano, ao contrário de 2/3 -i.
2.11.2 - Os primos gaussianos
De forma idêntica à dos primos em N, os primos gaussianos são os inteiros
gaussianos divisíveis apenas por si próprios e por 1, -1, i e -i. Nem todos os primos reais
são primos gaussianos.
É possível determinar da seguinte forma se um número complexo é ou não primo
gaussiano:
•
Se a
0eb
0 então a + bi é um primo gaussiano se e só se a2 + b2 é um
número primo.
•
Um inteiro gaussiano da forma a ou ai, com a em Z, é um primo gaussiano se e
só se a é primo e |a|
3.
33
CAPÍTULO III
APLICAÇÕES DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO SUPERIOR
Neste capítulo veremos não somente as aplicações lógicas para criar hipótese e
teoria sobre os números complexos mas também para fundamentar e apoiar as diversas
outras áreas do conhecimento, como a Física, Engenharia, Química e outras.
3.1. Considerações sobre os números complexos
Há muito tempo, em nossos currículos, trabalhamos com números complexos.
Muitas vezes, passamos a nossos alunos a idéia de que a unidade imaginária i, serve
apenas para extrair uma raiz negativa e não proporcionamos a eles a oportunidade de
perceber o quão importante o conjunto dos números complexos é em suas aplicações.
Com este trabalho monográfico, tenho o objetivo de apresentar, de uma forma rápida,
precisa e concisa, como podemos fazer com que o aluno compreenda em que universo
do ensino superior é aplicada a tão sugestiva unidade imaginária i.
3.2. Números complexos na Física e na Química
Há mais de 200 anos, a física, a química e a matemática estão intimamente ligadas
no que diz respeito a conjuntos numéricos.
Embora não haja um estudo mais aprofundado, já se sabe que atualmente, na
física contemporânea, a aplicação do conjunto dos números complexos é tão grande,
que é até possível pensar em uma autêntica " complejificación de la física", como cita o
autor Frederico de Rubio y Galy em "The Role of Mathematics in the Rise of Science".
Nesta mesma obra, Dr Frederico dá aos números complexos a idéia de par
ordenado: " um par ordenado de números reais, onde suas coordenadas representam a
parte real e imaginária do complexo". Assim, apresenta como os números complexos
podem multiplicar-se e como é simples a sua representação como vetor.
34
Fica claro então, como o universo de complexos se expande no mundo da física,
onde é utilizado pelos físicos contemporâneos de forma familiar em diversas teorias.
Vejamos alguns exemplos.
3.2.1 - Vetores e quantidades complexas
Dado um número complexo determinado por ( a,b ), onde a e b são números reais,
podemos facilmente representa-lo em um plano. Tomando como base a localização de
pares ordenados, localizamos o par ( a,b ) e formamos o vetor com origem em ( 0,0 ) e
extremidade em ( a,b ).
Para facilitar essa representação, vamos utilizar uma nova quantidade que
chamaremos de operador i, embora alguns autores também o denominam operador j.
Observemos a figura:
Figura I
O vetor H, representado sobre o eixo de referência, à direita do eixo vertical está
sofrendo uma rotação. Ao se deslocar para a esquerda do eixo vertical, temos o vetor –
H , que é o próprio vetor H multiplicado por –1. Então, se para fazer com que o vetor
gire 180H é necessário multiplica-lo por –1, para que sua rotação seja de 90H ( e o vetor
35
se localize sobre o eixo vertical ) é necessário multiplica-lo por
− 1 , pois
−1 . −1
= -1.
A expressão
− 1 não é aceita como número real e é então simbolizada pela letra
i. Assim, qualquer vetor multiplicado por i, sofre uma rotação de 90H .
Portanto, na figura anterior temos:
Figura II
Esta representação onde o vetor acompanhado de +i está no eixo vertical para
cima e acompanhado de –i está no eixo vertical para baixo é chamada forma complexa.
3.2.2 - Números complexos e circuitos monofásicos
No estudo de circuitos, a aplicação de números complexos aparece na forma de
vetores, que determinam algumas equações importantes, com a presença da unidade
imaginária.
Um circuito monofásico é alimentado por uma única tensão alternada. Quando a
única dificuldade que a tensão sofre é a resistência efetiva, o circuito é dito puramente
resistivo. Nesse circuito, a tensão Er e a intensidade de corrente I atingem valores
correspondentes ao mesmo tempo, o que faz com que os seus vetores representativos
fiquem sobre o eixo de referência. Dizemos então que as grandezas estão em fase.
36
Figura III
Figura IV
Quando a dificuldade que a corrente sofre é a reatância capacitiva, o circuito é
chamado puramente capacitivo. Nesse circuito, Ec e I não atingem valores
correspondentes ao mesmo tempo, de modo que os vetores que as representam fiquem
um sobre cada eixo. Neste caso, dizemos que Ec e I estão defasadas 90H.
(I se antecipa aos valores de Ec).
Figura V
37
Figura VI
Quando o circuito apresenta como dificuldade à reatância indutiva, o circuito é
chamado de puramente indutivo. Nesse circuito Ei e I também estão defasadas 90H
(I está atrasada aos valores de Ei).
Figura VII
Figura VIII
38
3.2.3 - Circuito em fase tipo R –C
R e C simbolizam a resistência e a capacitância equivalente. Nesse circuito, a
dificuldade encontrada pela fonte para estabelecer uma corrente no circuito é
determinada pela soma vetorial de R e Xc.A tensão E é a soma vetorial das
componentes Er e Ec.
Figura IX
Observa-se que o ângulo de defasagem é menor que 90H , assim, podemos
representar o vetor E na forma trigonométrica, onde E = E cos q - i sen q ou na forma
binômia E = Er – i Ec.
3.2.4 - Circuito em série tipo R – L – C
Neste tipo de circuito três situações podem ocorrer:
39
Figura X
No primeiro caso, o circuito comporta-se como circuito indutivo, o segundo como
capacitivo e o terceiro como resistivo.
Nesse caso o vetor é representado na forma:
E = Er + i ( El – Ec ) = E cos q + i sen q .
3.2.5 - Números complexos e sinais sinusoidais
Além das formas trigonométrica e binômia, os números complexos podem ser
representado em notação exponencial, onde Z = P e iq, sendo P o módulo do complexo e
q o ângulo formado com o eixo de referência ( argumento ).
Esta propriedade dos complexos é muito utilizada para expressar as funções seno
e cosseno em notação exponencial, onde:
e i( x) + e −i( x)
cos( x ) =
2
sen( x ) =
e i( x) − e −i( x)
2i
Assim, podemos representar as exponenciais complexas:
e i ( x ) = cos( x ) + i . sen( x )
e i ( x ) = cos( x ) − i . sen( x )
Com isso, a resolução de uma equação com funções sinusoidais pode ser efetuada
recorrendo a uma função exponencial complexa.
40
3.2.6 - Números complexos e a função de onda
A equação de onda que rege o movimento dos elétrons foi obtida por Schrodinger
em 1925. Esta equação é análoga a equação de onda clássica e o que a difere é
justamente a aparição explícita do número imaginário i. Vejamos:
aψ ( x,t)
k 2 a 2ψ ( x , t )
V
x
x
t
ik
−
+
=
(
)
(
,
)
ψ
at
2m
ax 2
Vemos que essa equação é satisfeita pela função de onda harmônica, que nada
mais é que um complexo em sua forma polar:
As funções de onda de Schrodinger não são necessariamente reais, contudo a
probabilidade de encontrar um elétron é totalmente real. Para podermos encontrar essa
probabilidade, mudaremos a interpretação da equação de onda de modo que ela seja
real. Para isso, utilizaremos a propriedade que o complexo possui de, quando
multiplicado por seu conjugado, se tornar real. Assim, a probabilidade será dada por:
∫ −+ ∞∞ ψ * ydx = 1 , onde ψ * é o conjugado do complexo ψ .
Esta equação é chamada de equação de normalização. Essa condição tem um
papel importante na mecânica quântica, pois coloca uma restrição nas soluções da
equação de Schrodinger que leva à quantização de energia.
Com os aspectos abordados acima, percebemos que o conjunto de números
complexos tem um universo infinito de aplicações, que com a Física Moderna e
descobertas recentes está aumentado cada vez mais. Logo a exposição dessas aplicações
41
em qualquer nível de ensino deve ser feita de maneira clara e precisa uma vez que
nossos alunos não possuem muitos dos conhecimentos aqui abordados, mas o certo é,
que não podemos priva-los desse entendimento.
3.3. Os números complexos como vectores, na matemática e na engenharia
No trabalho com números complexos, uma das idéias mais simples e com mais
potencialidades é a da representação dos números complexos por vectores. É simples
porque a cada número complexo a + bi está associado o vector de coordenadas (a, b).
As potencialidades são várias e em perspectivas diferentes. Por um lado, a representação
visual dos complexos, a sua comparação, a interpretação das operações com complexos
em termos de transformações geométricas ou operações com vectores. Por outro lado, o
poder do cálculo algébrico com complexos para resolver problemas geométricos ou de
natureza vectorial. Em nossa opinião, estas potencialidades são exploradas através de
um trabalho sistemático de interpretação vectorial dos complexos, das suas relações, e
das operações que se realizam com eles.
As duas representações numéricas de um número complexo, algébrica e
trigonométrica, têm leituras diferentes na interpretação vectorial. A forma algébrica
corresponde imediatamente às coordenadas do vector, a forma trigonométrica dá
informação direta da norma, da direção e do sentido do vector.
3.3.1 - Módulos argumentos e vectores
Representa geometricamente os vectores associados aos seguintes números
complexos:
42
z1 = 5i z2 = 4 + 3i
z3 = 3 – 4i
π
z4 = cis 6
π
z5 = 5 cis 6
5π
z6 = 5 cis(– 6 )
Que relação existe entre o vector associado e o módulo e o argumento de cada
número complexo?
Representa outros vectores com a norma igual à do vector associado a z1, e indica os
números correspondentes aos vectores que representaste. Escreve uma expressão geral
para todos os números complexos associados a vectores com essa norma.
Representa outros vectores com argumento igual ao do vector associado a z4, e
indica os números correspondentes aos vectores que representaste. Escreve uma
expressão geral para todos os números complexos associados a vectores com esse
argumento.
A ideia base desta actividade é trabalhar as relações entre os parâmetros que
aparecem nos números complexos – módulo e argumento – e o seu significado na
interpretação vectorial. O facto de ser pedida uma expressão geral é uma forma de
iniciar logo a abordagem de condições em C.
Os números escolhidos para a atividade têm isso em conta, e é fácil obter
rapidamente outros números que verifiquem a mesma condição. Para z1, z2, z3, z5 e z6
π
temos |z| = 5; para z4 e z5 temos arg(z) = 6 .
43
Conhecidas estas relações, há todo um tipo de questões que interessa colocar,
relacionadas com transformações geométricas.
Adição de números complexos
Interpreta vectorialmente, isto é, traduz em termos de operações com vectores:
a adição de dois números complexos quaisquer, dados na forma algébrica;
a subtracção de dois números complexos quaisquer, dados na forma algébrica.
Consideramos como familiares aos alunos, porque foram tratadas em anos
anteriores, as operações elementares com vectores, nomeadamente a adição e a
y
subtracção de vectores.
z1
b
i
a+c
1
a
O
c
b+d
x
z1 + z2
d
z2
44
A adição de números complexos corresponde, muito convenientemente, à adição
de vectores, e a subtracção de números complexos à adição de um vector com o seu
simétrico.
3.3.2 - Escoamento de líquidos incompreensíveis e explicações diversas
Podemos afirmar que várias teorias matemáticas resultaram, posteriormente, em
ferramentas para o entendimento de modelos das Ciências Naturais com os quais a
princípio não pareciam ter nenhum relacionamento. Os números complexos, por
exemplo, introduzidos para dar sentido à existência de soluções de equações
polinomiais, conduziram ao estudo do cálculo diferencial, ferramenta utilizada em
muitos cursos de graduação, com números complexos.
O
desenvolvimento
posteriormente,
o
da
entendimento
teoria
pela
dos
números
Química
do
complexos
possibilitou,
escoamento
de
fluidos
incompreensíveis até então sem explicação
Os números complexos trabalhando juntamente com a teoria de S. Hawking
proporcionou uma explicação para os "buracos negros", necessitando para isso de
complexos cálculos envolvendo a teoria em estudo e mecânica quântica.
45
3.3.3 – A importância do estudo dos números complexos como vectores
Podemos afirmar que várias teorias matemáticas resultaram, posteriormente, em
ferramentas para o entendimento de modelos das Ciências Naturais com os quais a
princípio não pareciam ter nenhum relacionamento. Os números complexos, por
exemplo, introduzidos para dar sentido à existência de soluções de equações
polinomiais, conduziram ao estudo do cálculo diferencial com números complexos. O
desenvolvimento dessa teoria possibilitou, posteriormente, o entendimento do
escoamento de fluidos incompreensíveis. A teoria de S. Hawking para explicar os
"buracos negros" necessita de resultados envolvendo números complexos e mecânica
quântica. A formalização da mecânica quântica só foi possível via a fundamentação
dada pelo matemático J. von Neumann, utilizando a teoria de espaços de funções
desenvolvidas em grande parte pelo matemático D. Hilbert, que jamais imaginaria que
sua teoria matemática do começo do século XX iria se aplicar a tal assunto.
A matemática trabalha não somente com modelos lógicos para criar hipóteses e
teorias, mas também para fundamentar e apoiar várias outras áreas do conhecimento,
como a Economia, a Física, a Engenharia, a Química, a Informática e outras. Por isso se
mantém sempre atual, sendo ferramenta básica para o dia-a-dia das pessoas, que a
utilizam em simples cálculos domésticos e na administração de grandes empresas, no
planejamento de máquinas e edifícios e na criação de complexos sistemas
automatizados.
46
O desenvolvimento de um motor, de um circuito elétrico ou de um chip de
computador necessita de uma enorme quantidade de cálculos matemáticos e de teorias
matemáticas, assim como a maioria dos aparelhos elétricos. A era industrial só foi
possível devido ao desenvolvimento da matemática, da química e da física por Newton,
Lagrange, Fourier, Cauchy, Gauss e outros cientistas.
3.4. A importância dos números complexos no ensino superior
Atualmente, o ensino da matemática em geral deve procurar trabalhar com
exemplos práticos, na vida e em outras disciplinas (trabalhar a interdisciplinaridade),
para despertar no aluno à vontade e o desejo de aprender. Com isso, qualquer assunto
ou tópico construirá um conhecimento sólido e não superficial e os alunos conseguirão
estabelecer relações mais facilmente.
O ritmo intenso do desenvolvimento tecnológico dos tempos atuais produz o
seguinte fenômeno: é cada vez menor o tempo decorrente entre o desenvolvimento de
uma teoria matemática e sua utilização prática. A tendência de todas as Ciências é cada
vez mais se "matematizarem" em função do desenvolvimento de modelos matemáticos
que descrevem fenômenos (determinísticos ou aleatórios) naturais de maneira adequada.
Dessa forma, é essencial que o ensino da matemática seja compatível com os
avanços científicos e tecnológicos que caracterizam a nossa sociedade neste início de
século. O que observamos e que na maioria das grades curriculares do ensino superior
de vários outros países, o estudante faz algum curso de matemática, com a seguinte
47
justificativa: numa sociedade moderna em que a "eficiência" é um dos objetivos
maiores, maximizar benefícios e minimizar perdas é essencial. Nestes casos,
invariavelmente, algum modelo matemático deve entrar em jogo.
Tendo em vista as diversas possibilidades de aplicações dos números complexos
no ensino superior, abordadas neste trabalho monográfico, podemos observar o quanto é
importante o conjunto citado, não só pela gigantesca aplicação na física, matemática,
química, engenharia e várias outras áreas do conhecimento, mais também pela
importância do desenvolvimento da pesquisa.
Outro motivo importante para o estudo do assunto no ensino superior é encerrar
totalmente a idéia de que os números complexos existem tão somente para resolver
equações do 2º grau sem respostas no conjunto dos Reais e expor de forma clara precisa
e concisa a importância dos números complexos em um curso de graduação e em
diversas pesquisas.
Logo podemos inferir o quanto é importante e explorados nas diversas áreas do
ensino superior a teoria dos números complexos, pois mostramos o quanto é estudado,
de forma direta, indireta e em pesquisas, nos cursos de graduação em matemática, física,
química, engenharia e outros, haja vista que dão sustentação a várias outros assuntos,
possibilitam a compreensão de fenômenos e proporcionam o desenvolvimento da
pesquisa.
48
CONCLUSÃO
Com os aspectos abordados neste trabalho monográfico, percebemos que o
conjunto dos números complexos tem um universo gigantesco de aplicações, que com
a física moderna, com descobertas recentes na química e engenharia estão aumentado
cada vez mais. Logo a exposição dessas aplicações no ensino do assunto deve ser feita
de maneira precisa, concisas e objetiva, visto que nossos alunos não possuem muitos
dos conhecimentos aqui abordados, mas o certo é que não podemos privá-los dessas
informações. Portanto é uma forma não viável passar a idéia aos alunos de que o único
fim dos números complexos é a resolução de equações do segundo grau sem resposta
nos reais e omitir, por exemplo, a importância desse assunto em um curso de graduação
em engenharia elétrica.
Alguns educadores vem relegando esse conteúdo, que além de ser relevante para o
desenvolvimento cognitivo do aluno e para a compreensão da realidade que o cerca
(fenômenos físicos, por exemplo), é muito cobrada em vestibulares, concursos públicos
e em cursos de graduação como os economia, física, engenharia, química, informática e
muitos outros. Diante do exposto podemos inferir que quem mais uma vez sai perdendo
é a educação e o educando.
49
Grande parte dos livros didáticos procedem de forma análoga à anteriormente
mencionada, ou seja, desprezam, esquecem ou tratam a teoria dos números complexos
de forma desatenciosa. E esse tipo de procedimento é mais comum que possamos
imaginar, citemos o caso do livro Matemática, que apresenta tal assunto de forma tão
superficial que chega ao ponto de apenas mencionar a existência do conjunto dos
números complexos; já o livro Matemática Fundamental apresenta o assunto de forma
razoável , mas ainda incompleta e inadequada, pois o assunto é exposto isoladamente.
Como podemos observar, existe também aqueles que ainda tem preocupação com o
ensino e apresentam o assunto de forma completa e adequada (explorando a
interdisciplinaridade), como é caso do livro Números Complexos, Polinômios e
Equações Algébricas.
Atualmente, o ensino da matemática em geral deve procurar trabalhar com
exemplos práticos, na vida e em outras disciplinas (trabalhar a interdisciplinaridade),
para despertar no aluno à vontade e o desejo de aprender. Com isso, qualquer assunto
ou tópico construirá um conhecimento sólido e não superficial e os alunos conseguirão
estabelecer relações mais adequadamente. Quanto ao educador, terá seu trabalho
coberto de êxito.
50
ANEXOS
51
UNIVERSIDADE CÂNDIDO MENDES
PROJETO A VEZ DO MESTRE
A IMPORTÂNCIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO SUPERIOR
Projeto de Pesquisa apresentado ao
professor Nelsom Jose Veiga de
Magalhães
Gilvan Gonçalves Ferreira Filho
Rio de Janeiro
Janeiro de 2005
52
PROJETO DE PESQUISA
NÚMEROS COMPLEXOS
1- Tema
Teoria dos números complexos desenvolvida ao longo dos anos por Bombelli
Cardano e Gauss.
2- Justificativa
A atual forma de abordagem, encontrada na maioria dos livros didáticos, da
teoria desenvolvida por Bombelli, Cardano e também por Gauss, em sua maioria das
vezes, tem deixado a desejar, visto que não apresentam de forma correta e completa o
assunto, além de fragmentá-lo e não contextualizá-lo, tornando-o em um assunto sem
pontos de ancoragem e aplicação. Por essas razões, o desejo de melhor apresentar esse
conteúdo, informar as melhores e piores publicações e apontar suas diversas aplicações.
Faremos este estudo por meio de pesquisa bibliográfica, fazendo uma leitura
dialética das abordagens desenvolvidas pelos autores, pois só assim poderemos
conhecer e selecionar melhor as publicações.
Inicialmente faremos uma apresentação do assunto de forma correta e
contextualizada e posteriormente uma avaliação das bibliografias e finalizando
apresentaremos as possibilidades de aplicação do assunto, pois assim teremos o
conhecimento necessário à seleção das publicações.
3- Problema
Os estudos das teorias relativas aos números complexos foram realizados com o
fim único de resolver equações do segundo grau ?
4- Hipótese
Tendo em vista a grande quantidade de livros didáticos que passam a idéia de que
os números complexos foram criados com o objetivo único de resolver equações do
segundo grau, torna-se importante apresentar as verdadeiras motivações para o estudo
da teoria dos números complexos.
5- Objetivos
Expor as verdadeiras motivações que levaram os pesquisadores a criar a teoria dos
números complexos, esclarecer as diversas aplicações da teoria e identificar algumas
excelentes e algumas péssimas publicações sobre o assunto em questão.
6- Metodologia
A realização do trabalho monográfico será desenvolvida por meio de uma
pesquisa bibliográfica e será procedida uma leitura dialética das abordagens feitas pelos
autores da teoria dos números complexos. O trabalho monográfico poderá ser utilizado
por professores e alunos que pretendem estudar o tema em destaque.
7- Fundamentação Teórica
Podemos observar que as abordagens feitas em livros didáticos de uma forma
geral, principalmente nos livros Matemática volume único e Matemática fundamental,
são elaborados basicamente com a finalidade de apresentar a criação dos números
53
complexos como resposta a uma única necessidade: a de dar significado às raízes
quadradas de números negativos, ou seja, encontrar uma solução para as equações do 2º
grau com discriminantes negativos. Diante dessa situação não podemos nos calar pois
sabemos que essa posição é simplista e incompleta pois o estudo da teoria visa atender,
dentre outras coisas, a necessidades sentida pelos matemáticos, de ampliar o campo
numérico de seu trabalho, dando resposta á vários questionamentos até então sem
resposta, conforme descreve Aref Antar Neto em seu livro Números complexos,
Polinômios e Equações Algébricas.
8- Cronograma
De posse do problema, utilizei aproximadamente 02 (dois) meses para juntar todo
o material necessário. Após esta juntada o projeto foi elaborado em torno de 02 (dois)
meses e provavelmente a monografia, já iniciada, tenha sua conclusão em 28 de janeiro
de 2005.
9- Bibliografia
Todos os livros que serão utilizados no trabalho monográfico estão abaixo
relacionados:
CARL, B. Boyer. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher Ltda,
1996.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 2. ed. Campinas, SP:
editora da UNICAMP, 1997.
GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. São Paulo: FTD, 1994.
DOLCE, Osvaldo. Matemática: volume único. São Paulo: Atual Editora, 1999.
IMENES, Luiz Márcio. Matemática. São Paulo: Scipione, 1989.
ANTAR NETO, Aref. Números Complexos, Polinômios e Equações Algébricas.
São Paulo: Editora Moderna, 1982.
54
SUMÁRIO
Introdução..........................................................................................................09
Capítulo I - O Descobrimento dos Números Complexos..................................12
1.1. Como surgiram os números complexos?
1.2. O primeiro estudo dos complexos: Bombelli 1572.
1.3. Investigação do fechamento dos complexos.
1.4. Extensão das operações transcendentes aos complexos.
1.5. A aceitação dos números complexos.
Capítulo II - Introdução aos números complexos.... .........................................16
2.1. Os números complexos.
2.2. Definição de números complexos.
2.3. Elementos complexos especiais.
2.4. Operações básicas com números complexos.
2.5. Representação geométrica de um número complexo.
2.6. Argumento de um número complexo.
2.7. Forma polar de um número complexo.
2.8. Raiz quarta de um número complexo.
2.9. Raiz n-ésima de um número complexo.
2.10. Números complexos como matriz.
2.11. Os gaussianos.
Capítulo III – Aplicações dos números complexos no ensino superior.................33
3.1. Considerações sobre os números complexos.
3.2. Números complexos na Física e na Química
3.3. Os números complexos como vectores, na matemática e na engenharia
3.4. A importância dos números complexos no ensino superior
55
Conclusão...............................................................................................................48
Anexos....................................................................................................................50
Bibliografia consultada...........................................................................................56
Índice......................................................................................................................57
56
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
CARL, B. Boyer. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher Ltda,
1996.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 2. ed. Campinas, SP:
editora da UNICAMP, 1997.
GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. São Paulo: FTD, 1994.
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática. 8. ed . São Paulo: LisaLivros irradiantes S/A, 1978.
IMENES, Luiz Márcio. Matemática. São Paulo: Scipione, 1989.
DOLCE, Osvaldo. Matemática: volume único. São Paulo: Atual Editora, 1999.
IMENES, Luiz Márcio. Matemática. São Paulo: Scipione, 1989
ANTAR NETO, Aref. Números Complexos, Polinômios e Equações Algébricas.
São Paulo: Editora Moderna, 1982.
57
ÍNDICE
FOLHA DE ROSTO
2
AGRADECIMENTO
3
DEDICATÓRIA
4
RESUMO
5
METODOLOGIA
6
SUMÁRIO
7
INTRODUÇÃO
9
CAPÍTULO I
12
O DESCOBRIMENTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
1.1 – Como surgiram os números complexos
12
1.2 – O primeiro estudo dos complexos: Bombelli 1572
13
1.3 – Investigação do fechamento dos complexos
13
1.4 – Extensão das operações transcendentes aos complexos
13
1.5 – A aceitação dos números complexos
14
CAPÍTULO II
16
INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS
2.1 – Os números complexos
16
2.2 – Definição de número complexos
17
2.3 – Elementos complexos especiais
18
2.4 – Operações básicas com números complexos
18
2.4.1 – Potências da unidade imaginária
19
2.4.2 – O inverso de um número complexo
20
58
2.4.3 – A diferença entre números complexos
22
2.4.4 – A divisão entre números complexos
22
2.5 – Representação geométrica de um número complexo
2.5.1 – Módulo de um número complexo
23
23
2.6 – Argumento de um número complexo
24
2.7 – Forma polar de um número complexo
24
2.7.1 – Multiplicação de números complexos na forma polar
25
2.7.2 – Potência de um número complexo na forma polar
25
2.8 – Raiz quarta de um número complexo
26
2.9 – Raiz n-ésima de um número complexo
28
2.10 – Número complexo como matriz
31
2.11 – Os gaussianos
32
2.11.1 – Os inteiros gaussianos
32
2.11.2 – Os primos gaussianos
32
CAPÍTULO III
APLICAÇÕES DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO SUPERIOR
33
3.1 – Considerações sobre os números complexos
33
3.2 - Números complexos na Física e na Química
33
3.2.1 – Vetores e quantidades complexas
34
3.2.2 – Números complexos e circuitos monofásicos
35
3.2.3 – Circuito em fase R – C
38
3.2.4 – Circuito em série tipo R – L – C
38
3.2.5 – Números complexos e sinais sinusoidais
39
3.2.6 – Números complexos e a função de onda
40
59
3.3 – Os números complexos como vectores, na matemática e na engenharia
41
3.3.1 – Módulos argumentos e vectores
41
3.3.2 – Escoamento de líquidos incompreensíveis e explicações diversas
44
3.3.3 – A importância do estudo dos números complexos como vectores
3.4 – A importância dos números complexos no ensino superior
46
CONCLUSÃO
48
ANEXOS
50
PROJETO DE PESQUISA
51
SUMÁRIO
54
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
56
ÍNDICE
57