(x)+ - DMA

ISEP - LEI - AMATA - 1S. 2009/10
CÁLCULO INTEGRAL EM IR
Cálculo Integral em IR
• Primitiva
No cálculo diferencial a questão fundamental era:
“Dada uma função f(x), como determinar a sua derivada f’(x)”?
Agora a questão que se coloca é a inversa:
“Dada uma função f(x), como determinar a função F(x) tal que F’(x)=f(x)”?
Definição:
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Chama‐se primitiva duma função f(x), e representa‐se por P(f(x)), a outra função (se existir) F(x) , tal que, F’(x)=f(x).
Teremos então:
P(f(x)) = F(x) ⇔ F’(x)=f(x)
Há funções que não são primitiváveis
Cálculo Integral em IR
Consideremos a função f(x)= cos x.
Um primitiva de f(x) é a função F(x)=sen x já que, F’(x)=(sen x)’=cos x.
No entanto também a função f(x)=sen x +1 é uma primitiva de f(x).
Facilmente se deduz que existe um número infinito de primitivas de f(x) que só diferem entre si por uma constante.
Assim teremos:
P(f(x)) = F(x)+C , pois (F(x)+C )’=F’(x)=f(x)
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A F(x)+C dá‐se o nome de expressão geral das primitivas de f(x).
Em termos gráficos as primitivas de uma função f(x) representam uma família de curvas que diferem entre si de uma constante. Cada uma das curvas é obtida de outra através de uma translação vertical.
Exemplo:
y
P(cos x)=sen x +C
y=sen x + 2
y=sen x + 1
y=sen x
y=sen x - 1
x
Cálculo Integral em IR
Mostre, sem recorrer ao cálculo da primitiva, que:
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F( x) = ln[arcsen(4 x)] + 5 é uma primitiva de
f ( x) =
4
1 − 16 x 2 arcsen(4 x)
Cálculo Integral em IR
Definição:
Ao conjunto de primitivas de uma função f(x) chama‐se integral indefinido e representa‐se por:
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C
C ‐ constante arbritária
f(x) ‐ função integranda
∫ ‐ sinal de integração ou soma
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A operação de primitivação (integral indefinido) é então a operação inversa da diferenciação.
Assim, podemos definir as seguintes igualdades:
•
d
∫ dx ( f ( x))dx = f ( x) + C
•
d
dx
(∫ f ( x)dx) = f ( x)
y = f ( x) + C
ou
Exemplo:
Considerando
′
f ( x) = x 3
1. ∫ (x 3 ) dx = ∫ 3x 2 dx = x 3 + C
diferenciando
integrando
tem‐se,
2.
′
⎛ x4
⎞
3
∫ x dx = ⎜⎜⎝ 4 + C ⎟⎟⎠ = x
(
3
)
′
dy = f ′( x)dx
Cálculo Integral em IR
Propriedades:
Usando as igualdades anteriores é fácil demonstrar que a integração (primitivação) goza de linearidade, ou seja,
1.
∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx,
2.
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
∀k ∈ ℜ
Estas propriedades são facilmente verificáveis. Vejamos, por exemplo, a demonstração da propriedade 1:
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Derivando ambos os termos da igualdade teremos:
d
dx
d
dx
(∫ k f ( x)dx )
(∫ k f ( x)dx )
k f ( x)
(
)
)
d
k f ( x ) dx
dx ∫
d
f ( x ) dx
= k
∫
dx
c.q.d.
= k f ( x)
=
(
Atenção:
∫ f ( x) g ( x)dx ≠ ∫ f ( x) dx.∫ g ( x) dx
f ( x)
∫ f ( x ) dx
d
x
≠
∫ g(x)
∫ g ( x ) dx
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• Alguns integrais indefinidos imediatos
u n +1
∫ u u ' dx = n + 1 + C
n
∫ u ' e dx = e
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u
∫ u ' a dx =
u
∫ u ' sec u dx = tg u + C
2
*
u'
∫ u dx = ln u + C
u
u = u ( x); a = const.
+C
u
a
+C
ln a
∫ u' sen u dx = − cos u + C
∫ u ' cos u dx = sen u + C
∫ u ' cosec u dx = cotg u + C
2
∫ u ' sec u tg u dx = sec u + C
∫ u ' cosec u cotg u dx = −cosec u + C
∫
u'
1-u
2
dx = arcsen u + C = − arccos u + C
u'
∫ 1 + u 2 dx = arctg u + C = − arccotg u + C
Cálculo Integral em IR
Exemplos
x
a) ∫ dx
2
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c)
e)
b)
∫ sec x dx
5
16 − 9 x
x + x 3 )dx
d) ∫ tg(2 x) dx
2
∫
∫(
2
dx
Cálculo Integral em IR
Condição inicial e solução particular
O resultado da integração de uma função integrável é, como já vimos, um conjunto ou
família de funções. No entanto , quando é conhecida uma condição inicial que nos permite saber as coordenadas de um determinado ponto de uma das curvas do
conjunto, então é possível obter o valor da constante arbitrária C. A esta condição chama‐se condição inicial. À curva obtida chama‐se solução particular.
Exemplo:
Determine a equação da curva que passa no ponto de coordenadas (0,1)
x
e
e que pertence à família de curvas solução do integral indefinido
dx
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∫
2
Cálculo Integral em IR
Integrais imediatos e quase imediatos
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A resolução de integrais imediatos e quase imediatos envolve, quase sempre, a
identificação da função integranda como resultante de um diferencial (derivada) conhecido. Nesta condições, mediante uma pequena manipulação, podemos sempre transformar um integral quase imediato num integral imediato.
Alguns exemplos destes tipos de funções integrandas:
1. Potência
∫ ....u
2. Exponencial
u
....
a
∫ dx
3. Logarítmo
4. Arcoseno
5. Arcotangente
n
dx ,
....
∫ u dx
....
∫
dx
1− u
....
∫ 1 + u 2 dx
2
n ≠ −1
Cálculo Integral em IR
Exemplos:
10
5
(
2
x
+
3
)
dx
∫
5
∫ (6 x + 1) 3 dx
x
∫ 16 + x 2 dx
dx
∫ 16 + x 2
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∫
dx
9 − x2
1− 2 x
e
∫ dx
∫
x
9− x
2
dx
2 (x 3 )
x
∫ 5 dx
∫
1 + 4 x dx
Cálculo Integral em IR
Exemplos de integrais imediatos ou quase imediatos de funções trigonométricas:
∫ cos(x 2 )dx
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∫ tg(4 x) dx
sec x (sec x + tg x)
sec 2 x + sec x tg x
∫ sec x dx = ∫ sec x + tg x dx = ∫ sec x + tg x dx = ln sec x + tg x + C
•
∫ u ′ sec u dx = ln sec u + tg u + C
•
∫ u ′ cos ec u dx = ln cos ec u − cotg u + C
Cálculo Integral em IR
•
Integração por decomposição (da propriedade da linearidade)
∫
g ( x)
f ( x) ± g ( x)
f ( x)
dx = ∫
dx ± ∫
dx
r ( x)
r ( x)
r ( x)
Exemplos:
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5x + 2 x3
5x
2 x3
∫ 1 + x 4 dx = ∫ 1 + x 4 dx + ∫ 1 + x 4 dx
∫
(
4 x + x3 1 + 2
9− x
4
9− x 4
) dx = ∫
4x
9− x
4
dx + ∫
x3
9− x
4
dx + ∫
x3 2
9− x 4
9− x
4
dx
Cálculo Integral em IR
• Integração por mudança de variável
Por vezes sabemos que o integral de uma determinada função existe mas não o sabemos calcular de forma directa. Nestes casos é frequente recorrermos a uma mudança de variável.
Consideremos o integral ∫ f ( x)dx .
Efectuemos neste integral a mudança de variável x = ϕ (t ) , sendo ϕ (t ) uma função contínua, de derivada contínua, e que admite inversa.
Nestas condições teremos dx = ϕ ′(t )dt e então:
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∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t )) ϕ ′(t )dt
Verifiquemos a validade desta igualdade. Derivando ambos os termos em ordem a x e aplicando as regra da derivada da função composta e da função inversa ao segundo termo teremos:
d
dx
(∫ f ( x)dx) = f ( x)
(
)
(
)
d
d
dt
f (ϕ (t )) ϕ ′(t )dt =
f (ϕ (t )) ϕ ′(t )dt
=
∫
∫
dx
dt
dx
d
1
1
′
′
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
d
f
t
t
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
f
t
t
t
=
= f (ϕ (t )) = f ( x)
dx
dt ∫
ϕ ′(t )
dt
(
)
Cálculo Integral em IR
Exemplos:
dx
∫ 1+ ex
∫
m.v. : x = − ln t
arcsen x
1+ x2
dx
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cos 3 x
∫ 1 − sen x dx
∫
x
dx
x +1
∫
dx
(1 − x )
2 3
m.v. : v = arcsen x
m.v. : v = sen x
m.v. : u = x + 1
m.v. : x = sen t
ou
x = sen v
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• Integração por partes
O método de integração por partes é geralmente usado quando se pretende integrar um produto de funções das quais se conhece (pelo menos) a primitiva de uma delas.
Considere duas funções, u=u(x) e v=v(x), deriváveis. Sabemos que a derivada do produto das duas funções em ordem a x é dada pela fórmula:
(u v )′ = u′v + uv′
Integrando ambos os membros desta igualdade teremos:
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′
(
)
u
v
∫ dx = ∫ (u′v + uv′)dx
u v = ∫ (u ′v )dx + ∫ (uv′)dx
Da igualdade anterior pode‐se escrever a fórmula da integração por partes:
∫ (uv′)dx = u v − ∫ (u′v )dx
Cálculo Integral em IR
Da fórmula da integração por partes facilmente se observa que uma das funções iniciais vai ser transformada por integração e a outra por derivação.
∫ (uv′)dx = u v − ∫ (u′v )dx
derivação
integração
Assim, o sucesso desta fórmula depende, em muito, da escolha acertada de u e v’, ou seja, da escolha da função a integrar e da função a derivar. Como efectuar esta escolha de forma a obter o resultado pretendido? Algumas regras (conselhos):
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1. Quando conhecermos somente o integral de uma das funções do produto a integrar então a escolha é óbvia: essa será a função a integrar.
2. Quando soubermos integrar ambas as funções do produto a integrar a escolha da função a derivar deve recair, geralmente, naquela cuja derivada é mais “simples” que a função.
3. Quando a função integranda é constituída somente por uma função que sabemos derivar mas não integrar (ex. trigonométrica inversa), então consideramos o produto dessa função por 1 e seguimos a primeira regra.
Cálculo Integral em IR
Exemplos da aplicação da fórmula da integração por partes:
∫ x arctg( x) dx
regra 1
⎧u = arctg x
⎨
⎩v′ = x
-3 x
x
e
dx
∫
regra 2
⎧u = x
⎨
−3 x
⎩v′ = e
)
regra 3
⎧u = ln x 2 + 1
⎨
⎩v′ = 1
-3 x
regra 2
⎧⎪u = x 2 + 1
⎨
⎪⎩v′ = e −3 x
(
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∫ ln x + 1 dx
∫ (x
2
2
)
+1 e
(
dx
)
3
2
2
∫ x sec x + 3 dx
?
(
)
Cálculo Integral em IR
Integrais de funções trigonométricas
Os integrais de funções trigonométricas que não sejam imediatos ou quase imediatos serão resolvidos aplicando os métodos anteriores (integração por mudança de variável e integração por partes) em conjunto com a aplicação de algumas transformações trigonométricas .
Os integrais de funções trigonométricas mais simples serão resolvidos de acordo com os diferentes tipos de funções integrandas. Assim, teremos, por exemplo, as seguintes abordagens:
•
Se a função é uma potência par de seno ou cosseno aplicar‐se‐ão as fórmulas de bissecção.
Exemplo:
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•
2
x dx = ∫
1 − cos(2 x)
dx = ...
2
Se a função é uma potência ímpar de seno ou cosseno aplicar‐se‐á a respectiva fórmula fundamental à parte par da potência.
Exemplo:
•
∫ sen
∫ cos x dx = ∫ cos xcosx dx = ∫ (1 - sen x )cosx dx = ∫ (cos x − sen
3
2
2
2
)
x cos x dx = ...
Se a função integrante é uma potência de tangente ou cotangente, aplicar‐se‐ão as respectivas fórmulas fundamentais à parte par da potência.
Exemplos:
∫ tg
2
(
)
x dx = ∫ sec 2 x − 1 dx = ...
∫ cotg x dx = ∫ cotg
3
2
(
)
(
)
x cotgx dx = ∫ cosec 2 x − 1 cotgx dx = ∫ cosec 2 x cotgx − cotgx dx = ...