Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss A Lei de Gauss: Para compreendermos a Lei de Gauss, precisamos entender o significado de fluxo elétrico. A Lei de Gauss está centralizada no que chamamos hipoteticamente de superfície gaussiana. Esta superfície pode ser formada com a forma que quisermos, porém é adequada aquela que apresentar as devidas simetrias que o problema se apresenta. Por exemplo, uma carga pontual possui linhas de força distribuídas esfericamente; então a superfície gaussiana mais adequada é uma esférica. Fluxo: A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada com uma distribuição de cargas que estão envolvidas por essa superfície: G G ∫ E.dA = ε Ou seja, se pega a componente paralela do vetor v ao vetor normal à superfície A e multiplica-se pela área A. Para definirmos o fluxo de um campo elétrico, consideramos uma área A que representa uma superfície gaussiana, sendo atravessada pelas linhas de campo elétrico. Definimos por: G G ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Qi G F = Fx (x, y, z)aˆ x + Fy (x, y, z)aˆ y + Fz (x, y, z)aˆ z Seja S uma superfície contida numa região B, na qual as derivadas parciais de Fx, Fy e Fz são contínuas e V uma região limitada por B. Se aˆ n é um vetor normal exterior à S, então: G G G ˆ F ⋅ a dS = ∇ n ∫∫ ∫∫∫ ⋅ FdV S V ou G G G G F ⋅ d S = ∇ ∫∫ ∫∫∫ ⋅ FdV G G Qi Ou ∫∫ E ⋅ dS = G G D = ε0E 0 Teorema da Divergência (Teorema Gauss): Seja S S q Note que a carga q é a soma de todas as cargas, positivas e negativas, interiores à superfície gaussiana. A Lei de Gauss permite provar um importante teorema sobre condutores isolados: Se um excesso de carga é colocado em um condutor isolado, a carga irá se mover inteiramente sobre a superfície do condutor, nenhuma carga irá se encontrar no interior do corpo de um condutor. Definimos como fluxo de um vetor v através de uma superfície de área A o produto: G G Ψ = v . A = vA cosθ 1 ε0 S V Aplicando o Teorema de Gauss: G G G G ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV (Para o espaço livre). Figura 1 – Fluxo através de uma superfície Gaussiana. S V Como, da Lei de Gauss: G G ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Qi S E para uma distribuição volumétrica de carga: Qi = ∫∫∫ ρ v dV V Observe que: G G G G ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV = ∫∫∫ ρ dV v S V G G ∇ ⋅ D = ρv v Exemplo 1 - Campo elétrico de uma carga puntiforme: Imagine um superfície esférica que englobe uma carga pontual q. Então: G O círculo na integração representa que a integral deve ser feita sobre a superfície gaussiana fechada. G Qi ∫∫ E ⋅ dS = ε S 0 ⇒ E.4πr 2 = q ε0 →E= 1 4πε 0 q r2 1 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss Figura 2 – Superfície Gaussiana esférica para calcular o campo elétrico de uma carga puntiforme. 2 Figura 4 – Superfície Gaussiana cilíndrica envolvendo o fio com densidade de carga linear.λ=rL. r Exemplo 2 - Campo de um condutor plano infinito de densidade de carga superficial rs: L G G Qi ∫∫ E ⋅ dS = ε S Figura 3 – Superfície Gaussiana cilíndrica para o cálculo do campo de um plano carregado. Escolhendo uma superfície gaussiana cilíndrica, a carga q está na superfície do condutor: Note que o campo elétrico possui sentido divergente. Então, aplicando a Lei de Gauss: G G q ∫∫ E ⋅ dS = E. A + (− E ).(− A) = ε 0 0 ⇒ E 2πρL = ρLL ε0 ⇒E= 1 ρL 2πε 0 ρ Exemplo 4 - Esfera condutora de raio R carregada com carga elétrica Q na superfície: No seu interior o campo é nulo; para r > R podemos imaginar que a superfície esférica gaussiana engloba uma carga elétrica puntiforme Q: Figura 5 – Superfície Gaussiana esférica envolvendo uma casca esférica de raio R S E= ρS 2ε 0 Exemplo 3 - Campo elétrico de um fio infinito de densidade de carga linear ρ L . Nesse caso, a superfície gaussiana adequada é um cilindro de raio r qualquer: ⎧⎪ 0, se r < R E=⎨ 1 Q ⎪⎩ 4 πε 0 r 2 se r ≥ R Exemplo 5 - Distribuição esférica de raio R de carga elétrica Q com densidade volumétrica rv: Devemos imaginar duas superfícies gaussianas, de raios r > R e r < R: 2 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss G G q ρ Se r < R ⇒∫ E.dA = ε0 ⇒ E.4πr2 = ρ 43 πr3 / ε0 ⇒ E = 3ε0 r 3 (b) Plano carregado. 3 G G q ρ43π R3 ρ R 2 Se r > R ⇒ ∫ E.dA = ε0 ⇒ E.4πr = ε0 ⇒ E = 3ε0 2 r Figura 6 – Superfícies Gaussianas esférica envolvendo uma distribuição volumétrica de carga de raios r > R (a) e r < R (b): (c) Plano carregado de um lado. Figura 7 – Superfícies Gaussianas para diferentes situações: (a) Fio. 3 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 4 π π 2 Q 2 sen d ψ= θ θ ∫0 dφ 4π ∫0 (d) Capacitor de placas paralelas com densidades iguais e diferentes nas placas. ψ= π π Q [− cos θ ]02 [φ ]02 4π Q [− cos π2 − (− cos 0)][ π2 − 0] 4π Q π Q 60 ψ= = = µ = 7,5µC 4π 2 8 8 ψ= (b) a superfície fechada definida por ρ = 26 cm e z = ± 26 cm. G G G G G G G G ψ =w ∫∫ D ⋅ dS = w ∫∫ D ⋅ dS L + w ∫∫ D ⋅ dST w ∫∫ D ⋅ dST i S Exemplo 6 – (e 3.1 – Hayt pg. 34) Dada uma carga pontual de 60µC, localizada na origem, determine o fluxo elétrico total que passa através: (a) da porção de uma esfera limitada de r = 26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2. (b) a superfície fechada definida por ρ = 26 cm e z = ± 26 cm. (c) do plano z = 26 cm. Solução: G G ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Qi S Ou G G Qi E ∫∫ ⋅ dS = S ε0 (a) da porção de uma esfera limitada de r = 26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2. π π G G 22 Q 2 ψ =w D ∫∫S ⋅ dS = ∫0 ∫0 4π r 2 aˆr ⋅ r senθ dθ dφ ar SL STi s STs G dS L = ρ dφ dzaˆ ρ G dSTs = ρ d ρ dφ aˆ z G dSTi = ρ d ρ dφ ( −aˆ z ) G Q D= aˆr 4π r 2 G G + 2 2π Q D w ∫∫S ⋅ dS L = −∫L ∫0 4π r 2 aˆr ⋅ ρ dφ dzaˆρ L L 2 G G Q D w ∫∫S ⋅ dSL = 4π L + L2 2π ρ ∫∫r 2 aˆr ⋅ aˆ ρ dφ dz − L2 0 4 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss aˆr = senθ cos φ aˆ x + senθ senφ aˆ y + cos θ aˆ z aˆ ρ = cos φ aˆ x + senφ â y aˆr ⋅ aˆ ρ = senθ cos φ + senθ sen φ 2 2 aˆr ⋅ aˆ ρ = senθ ( cos 2 φ + sen 2φ ) aˆr ⋅ aˆ ρ = senθ Observe da figura que: z G G Q 2π w ∫∫S D ⋅ dSL = 4π [φ ]0 L r y r = x + y + z2 2 ρ = x2 + y2 r = ρ 2 + z2 Então: ρ aˆr ⋅ aˆ ρ = r Substituindo, teremos: + L2 2π G G Q D w ∫∫S ⋅ dSL = 4π L G G Q D w ∫∫S ⋅ dS L = 4π L L SL G G Q D w ∫∫S ⋅ dSL = 4π L 2π = Q 4π 0 −L 2 r 0 + L2 2π ∫∫ − L2 0 2π ρ2 r3 +L ∫ dφ ∫ −L 0 +L ∫ dφ ∫ ρ ρ ∫∫r − L2 (z ρ 2 1 + tg θ 2 z + ρ2 2 z = 0.26 z z2 + ρ 2 z =−0.26 dφ dz dφ dz ρ G G Q ⎛ 0.26 0.26 ⎞ D w ∫∫S ⋅ dS L = 2 ⎜⎝ 0.26 2 + 0.26 2 ⎟⎠ L G G Q 2 D w ∫∫S ⋅ dS L = 2 2 L G G Q D w ∫∫S ⋅ dS L = 2 L 2π R G G Q 1 D ⋅ dSTs = aˆr ⋅ aˆ z ρ d ρ dφ w ∫∫ ∫ ∫ 4π 0 0 r 2 ST s Observe da figura que: z r 2 π R G G Q 1 z D ⋅ dSTs = ρ d ρ dφ w ∫∫ ∫ ∫ 4π 0 0 r 2 r ST aˆr ⋅ aˆ z = cos θ = 2 r3 dz 2 +ρ z = G G Q⎛ ⎞ 0.26 −0.26 D ⋅ dS = − ⎜ ⎟ L w ∫∫S 2 ⎝ 0.262 + 0.262 0.262 + 0.262 ⎠ L r 2 tgθ G G Q D w ∫∫S ⋅ dS L = 2 L ρ ρ sec 2 θ dθ +L G G Q 1 ⋅ = π D dS 2 sec 2 θ dθ L 3 w ∫∫S ∫ π θ 4 sec −L L G r senθ = G ( ρ tg θ + ρ ) 2 32 2 G G Q +L w ∫∫S D ⋅ dSL = 2 −∫L cos θ dθ L G G Q D w ∫∫S ⋅ dS L = 4π senθ L x G −L 2 ρ ρ w ∫∫ D ⋅ dS ∫ ρ2 +L G G Q ρ3 ⋅ = 2 π sec2 θ dθ D dS L 32 w ∫∫S ∫ 3 2 4π − L ρ ( tg θ + 1) L Como: senθ = φ +L G G Q +L 1 D w ∫∫S ⋅ dSL = 2 −∫L secθ dθ L θ z 5 ) 2 32 dz Chamando: z = ρ tgθ ⇔ dz = ρ sec 2 θ dθ s G G Q ⋅ dSTs = D w ∫∫ 4π ST s 2π R ∫∫ 0 0 (ρ zρ 2 + z2 ) 32 d ρ dφ 5 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss G G Q D ⋅ dSTs = w ∫∫ 4π ST s 2π zρ R ∫ dφ ∫ 0 (ρ 0 2 +z ) 2 32 dρ u = ρ + z ⇔ du = 2 ρ d ρ Chamando de du ρd ρ = 2 2 2 R G G z du2 Q ⋅ = 2 π D dS Ts w ∫∫ ∫0 u 2 3 2 4π ST ( ) s R G G Q −3 D dS z u 2 du ⋅ = Ts w ∫∫ ∫ 4 0 ST 6 G G Q⎡ 1 ⎤ D w ∫∫S ⋅ dSTi = 2 ⎢⎣1− 2 ⎥⎦ Ti G G G G G G G G ψ =w D ⋅ dS = D ⋅ dS + D ⋅ dS D L T ∫∫ w ∫∫ w ∫∫ ∫∫ ⋅ dSTs i w S SL STi G G Q Q⎡ 1 ⎤ + 2 ⎢1 − 2⎣ 2 2 ⎥⎦ S G G Q Q ψ =w D ∫∫S ⋅ dS = 2 + Q − 2 G G ψ =w ∫∫ D ⋅ dS = Q ψ =w ∫∫ D ⋅ dS = S G s G G w ∫∫ D ⋅ dS Ts STs = Q u z 4 − 3 +1 2 S (c) do plano z = 26 cm. Pela simetria do problema: 1 G G Q u 2 D dS z ⋅ = Ts w ∫∫ 4 −1 STs 2 G G Q −1 D ⋅ dSTs = 2 z w ∫∫ 4 u ST G G Ts STs G G G S Q 2 ψ =w ∫∫ D ⋅ dS = 30µC ρ = 0.26 =− G ψ =w ∫∫ D ⋅ dS = s w ∫∫ D ⋅ dS G ψ =w ∫∫ D ⋅ dS = 60µC 3 − +1 2 − STs ⎤ Q ⎡ 1 z⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ z 2 + ρ 2 ⎥⎦ ρ =0 G G ⎡ ⎤ Q 1 1 D w ∫∫S ⋅ dSTs =− 2 0.26⎢⎣ 0.262 +0.262 − 0.262 +02 ⎥⎦ Ts G G Q 1 ⎤ ⎡ 1 D w ∫∫S ⋅ dSTs =− 2 0.26⎢⎣0.26 2 − 0.26⎥⎦ Ts G G Q 0.26 ⎡ 1 ⎤ D w ∫∫S ⋅ dSTs =− 2 0.26 ⎢⎣ 2 −1⎥⎦ Ts G G Q⎡ 1 ⎤ D w ∫∫S ⋅ dSTs = 2 ⎢⎣1− 2 ⎥⎦ Ts G G Q⎡ 1 ⎤ D w ∫∫S ⋅ dSTs = 2 ⎢⎣1− 2 ⎥⎦ Ts O fluxo na tampa inferior é calculado de maneira análoga, fornecendo o resultado: S Ou: G G +∞ +∞ Q ψ =w ∫∫S D ⋅ dS = −∞∫ −∞∫ 4π r 2 aˆr ⋅ aˆ z dxdy G G +∞ +∞ Q z ψ =w ∫∫S D ⋅ dS = −∞∫ −∞∫ 4π r 2 r dxdy G G ψ =w ∫∫ D ⋅ dS = S +∞ +∞ Qz 1 dxdy ∫ ∫ 2 2 4π −∞ −∞ ( x + y + z 2 )3 2 Exemplo 7 – (e 3.2 – Hayt pg. 34) Calcule D em coordenadas retangulares no ponto P (2, -3, 6) produzido por: (a) uma carga pontual QA = 55 mC em Q(-2, 3, -6). (b) uma linha de cargas uniforme de ρLB = 20 mC/m no eixo x. (c) uma densidade superficial de carga de ρSC = 120 µC/m2 no plano z = -5m. Solução: 6 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 3, -6). (a) uma carga pontual QA = 55 mC em Q(-2, G Q aˆ D = A G RG 2 4π rP − rA′ G rA′ = −2aˆ x + 3aˆ y − 6aˆ z G rP = 2aˆ x − 3aˆ y + 6aˆ z G G rP − r ′ aˆ R = G G rP − rP′ aˆ R = 4aˆ x − 6aˆ y + 12aˆ z 4aˆ x − 6aˆ y + 12aˆ z = G 4 6 12 aˆ x − aˆ y + aˆ z 14 14 14 ( ) µC m2 (b) uma linha de cargas uniforme de ρLB = 20 mC/m no eixo x. G ρ aˆ D= L ρ 2π ρ (a) E = 1 G D ε0 G 1 E = 0.3nr 2 aˆr ε0 G E= 1 0.3 ⋅10−9 ⋅ 22 aˆr −12 8.85 ⋅10 G E = 135,5aˆr ( Vm ) G G (b) Q = Ψ = w ∫∫ D ⋅ dS S 2 2 Q=Ψ=w ∫∫ 0.3nr aˆr ⋅ r senθ dθ dφ S ( −3) + 62 = 45 aˆ ρ = − Dada a densidade de fluxo elétrico D =0,3r2ar nC/m no espaço livre: (a) determine E no ponto P(r = 2, θ =25°,φ = 90°). (b) determine a carga total dentro da esfera r = 3. (c) determine o fluxo elétrico total que deixa a esfera r = 4. 2 Solução: G 55m ⎡ 4 6 12 ⎤ D= aˆ x − aˆ y + aˆ z ⎥ 2 ⎢ 4π 14 ⎣14 14 14 ⎦ G D = 6.38aˆ x − 9.57 aˆ y + 19.14aˆ z ρ= 7 2 3 aˆ y + 6 2π π Q = 0.3nr 4 ∫ ∫ senθ dθ dφ 0 0 âz 3 5 3 5 6 ⎡ 3 ⎤ aˆ + aˆ − G 20m ⎢⎣ 3 5 y 3 5 z ⎥⎦ D= 2π 3 5 G 20m ⎡ 3 6 ⎤ ˆ D= a aˆ z − + y 2π ⎢⎣ 45 45 ⎥⎦ G ⎛ µC ⎞ D = −212aˆ y + 424aˆ z ⎜ 2 ⎟ ⎝m ⎠ (c) uma densidade superficial de carga de ρSC = 120 µC/m2 no plano z = -5m. G ρ D = S aˆ N 2 G 120µ D= aˆ Z 2 G D = 60aˆZ Q = 0.3n34 4π Q = 305nC G G (c) Ψ = w ∫∫ D ⋅ dS S 2 2 Ψ=w ∫∫ 0.3nr aˆr ⋅ r senθ dθ dφ S Ψ = 0.3n 4 4 4π Ψ = 965.09nC Exemplo 9 – (e 3.3 – Hayt pg. 36) Calcule o fluxo elétrico total deixando uma superfície cúbica formada por seis planos x, y, z = ±5, se a distribuição de cargas é: (a) duas cargas pontuais, uma de 0,1 µC em (1,-2,3) e outra de 17 µC em (-1, 2, -2); ( ) µC m 2 Exemplo 8 – (e 3.3 – Hayt pg. 36) (b) uma linha de cargas uniforme de πµC/m em x = -2, y = 3; (c) uma superfície de cargas uniforme de 0,1µC/m2 no plano y = 3x. Solução: 7 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss (a) G G Ψ=w D ∫∫ ⋅ dS = Q1 + Q2 8 A interseção do cubo de lado 10 com o plano dá um retângulo, de dimensões: S 1, 7 µ 7 Ψ = 0, 243µ C Ψ = 0,1µ + 17 µ = d/2 y=5 G G D (b) Ψ = w ∫∫ ⋅ dS = Qi x=5/3 5 S z 5/3 -2 2 d 3 y x O comprimento da linha que está dentro do cubo possui uma carga de: G G Ψ=w D ∫∫ ⋅ dS = ρ L d S Ψ = πµ10 Ψ = 31, 4 µ C x 2 25 ⎛d ⎞ ⎛5⎞ 2 ⎜ ⎟ = 5 + ⎜ ⎟ = 25 + 9 ⎝2⎠ ⎝ 3⎠ 2 d 225 + 25 250 = = 4 9 9 4 ⋅ 250 d= 9 10 d= 10 3 A Carga interna ao cubo será: Qi = ρ s S = ρ s ⋅ d ⋅ 2l Qi = 0,1µ ⋅ (c) uma superfície de cargas uniforme de 0,1µC/m2 no plano y = 3x. 10 10 10 10 ⋅ 2⋅5 = µ 3 3 Ψ = Qi = 10,54µC Exemplo 10 – (e 3.5 – Hayt pg. 39) Uma carga pontual de 0,25µC está localizada em r=0, e duas densidades superficiais de cargas uniformes estão localizadas como se segue: uma de 2mC/m2 em r = 1cm e outra de -0,6 mC/m2 em r = 1,8 cm. Calcule D em: (a) r = 0,5 cm. (b) r = 1,5 cm. (c) r = 2,5 cm. (d) Que densidade superficial de carga uniforme deve ser estabelecida em r = 3 cm para causar D = 0 em r = 3,5 cm? Solução: (a) r = 0,5 cm 8 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss G Q D= aˆr 4π r 2 G 0, 25µ D= aˆr −2 2 4π ( 0,5 ⋅10 ) G D = 796aˆr 9 (a) Determine o fluxo elétrico total que atravessa a superfície retangular z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 na direção az; (b) Determine E em P(2, -1, 3); (c) Determine um valor aproximado para a carga total contida em uma esfera incremental localizada em P(2, -1, 3) e tendo um volume de 10-12 m3. ( ) µC m2 (b) r = 1,5 cm Solução: G Q Q D= aˆ + s 2 aˆr 2 r 4π r 4π rs (a) Fluxo elétrico total que atravessa a superfície retangular z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 na direção az; G ρ s1 4π r12 Q D= aˆr + aˆr 4π r 2 4π r 2 G D= 0, 25µ 4π (1,5 ⋅10 aˆr + ) −2 2 2m ⋅ 4π (1, 0 ⋅10−2 ) 4π (1,5 ⋅10 2 ) −2 2 G D = 88, 4 ⋅10 −6 aˆr + 888,88 ⋅10 −6 aˆr G D = 977,3aˆr µmC2 G dS = dxdyaˆ z G G Ψ=w D ∫∫ ⋅ dS aˆr S G G D ⋅ dS = 16 x 2 yz 3 dxdy 2 3 2 3 Ψ=w ∫∫ 16 x yz dxdy = ∫ ∫ 16 x yz dydx ( ) 2 −2 2 −2 2 G D = 40, 79 aˆ r −2 2 µC m2 (d) Que densidade superficial de carga uniforme deve ser estabelecida em r = 3 cm para causar D = 0 em r = 3,5 cm? 2 Exemplo 11 – (e 3.6 – Hayt pg. 41) No espaço livre, G D = 8 xyz 4 aˆ x + 4 x 2 z 4 aˆ y + 16 x 2 yz 3 aˆ z 1 2 ( ) ρ s = −28,33 ( µmC ) 0 3 3 r G ρs1 4π r12 ρs1 4π r22 ρ s 4π rs2 Q ˆ ˆ ˆ D= a + a + a + aˆr r r r 4π r 2 4π r 2 4π r 2 4π r 2 G Q 2 ⋅10−3 ⋅ 4π (1, 0 ⋅10−2 ) 2 ˆ D= a aˆr + r 4π (3,5 ⋅10−2 ) 2 4π (3,5 ⋅10−2 ) 2 G ρ s 4π (3 ⋅10−2 ) 2 −0, 6 ⋅10−3 ⋅ 4π (1,8 ⋅10−2 ) 2 ˆ a aˆr = 0 + + r −2 2 −2 2 4π (3,5 ⋅10 ) 4π (3,5 ⋅10 ) G D = 16, 24µ aˆr + 163, 265µ aˆr G −158, 69µ aˆr + 0, 7346 ρ s aˆr = 0 3 ⎡ x3 ⎤ ⎡ y 2 ⎤ Ψ = 16 z z = 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 3 ⎦ 0 ⎣ 2 ⎦1 23 ⎡ 32 12 ⎤ Ψ = 16 ⋅ 8 ⎢ − ⎥ 3 ⎣2 2⎦ −2 2 r 2 Ψ = 16z 3 ∫ x 2 dx ∫ ydy G ρ s1 4π r12 ρ s1 4π r22 Q ˆ ˆ D= a + a + aˆr r r 4π r 2 4π r 2 4π r 2 G 2m ⋅ 4π (1, 0 ⋅10 ) −0, 6m ⋅ 4π (1,8 ⋅10 ) 0, 25µ D= aˆ + aˆ + aˆ 4π ( 2, 5 ⋅10 ) 4π ( 2,5 ⋅10 ) 4π ( 2,5 ⋅10 ) G D = 31,83µ aˆ r + 320 µ aˆ r − 311, 04 µ aˆ r r 0 1 S (c) r = 2,5 cm. −2 2 3 23 ⎡ 9 1 ⎤ Ψ = 128 ⎢ − ⎥ 3 ⎣2 2⎦ Ψ = 1365, 33 pC (b) Determine E em P(2, -1, 3); G G D 8 xyz 4 aˆ x + 4 x 2 z 4 aˆ y + 16 x 2 yz 3 aˆ z E= = ε0 ε0 ( ) pC m2 G G D 8 ⋅ 2 ⋅ (−1)34 16 ⋅ 22 ( −1) 33 4 ⋅ 2 2 ⋅ 34 E= aˆ x + aˆ y + aˆ z ( CN ) = ε0 8,85 8,85 8,85 G E = −146, 44aˆ x + 146, 44aˆ y − 195, 25aˆ z ( CN ) (c) Determine um valor aproximado para a carga total contida em uma esfera incremental localizada em P(2, -1, 3) e tendo um volume de 10-12 m3. ( ). pC m2 9 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss G G Q Q = ∫∫∫ ρv dV ⇔ ∇ ⋅ D = ρv ≅ ∆V V G G 1 ∂ (ρDρ ) + 1 ∂Dφ + ∂Dz ∇⋅D = ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z 2 2 2 G G 1 ∂ 1 ∂( ρz sen2φ) ∂( 2ρ zsen φ) 2 2 ∇⋅ D = 2 z sen + + ρ ρ φ ( ) ρ ∂φ ∂z ρ ∂ρ 2 2 2 G G 2z sen φ ∂ 2 ρ z ∂ ( sen2φ ) ∂( z) ∇⋅ D = ρ )+ + 2ρ 2 sen2φ ( ∂ρ ∂φ ∂z ρ ρ G G Q = ∆V ⋅ ∇ ⋅ D G D = 8 xyz 4 aˆ x + 4 x 2 z 4 aˆ y + 16 x 2 yz 3 aˆ z 10 ( ) pC m2 G G ⎛ ∂ ⎞ ∂ ∂ ∇ ⋅ D = ⎜ ( 8 xyz 4 ) + ( 4 x 2 z 4 ) + (16 x 2 yz 3 ) ⎟ ( p ) ∂ x ∂ y ∂ z ⎝ ⎠ G G ∇ ⋅ D = 8 yz 4 p + 0 + 48 x 2 yz 2 p G G ∇ ⋅ D = ( 8(−1)34 + 0 + 48 ⋅ 22 (−1)32 )(10−12 ) G G ∇ ⋅ D = ( 8(−1)34 + 0 + 48 ⋅ 22 (−1)32 ) (10−12 ) G G Q = ∆V ⋅∇ ⋅ D = −2, 376 ⋅10−21 C G G 2z2sen2φ 2ρ + z2 2cos2φ + 2ρ2sen2φ ⋅1 ∇⋅ D = ρ G G ∇⋅ D = 4z2sen2φ + 2z2 cos2φ + 2ρ2sen2φ G G 2 ∇⋅ D(ρ = 2,φ =110°, z = -1) = 4( −1) sen2110º + 2( −1) cos( 2⋅110°) + 2⋅ 22 sen2110° 2 G G 2 ∇⋅ D(ρ = 2,φ =110°, z = -1) = 4( −1) sen2110º + 2( −1) cos( 2⋅110°) + 2⋅ 22 sen2110° 2 Exemplo 12 – (e 3.7 – Hayt pg. 42) Para cada um dos seguintes itens, determine um valor numérico para div D no ponto especificado: G 2 2 2 (a) D = ( 2xyz − y ) aˆx + ( x z − 2xy) aˆy + x yaˆz ( ) em C m2 PA(2, 3, -1). (b) G D = 2ρz2sen2φaˆρ + ρz2sen2φaˆφ + 2ρ2zsen2φaˆz em PB(ρ = 2, φ = 110°, z =-1). (c) G D = 2rsenθ cosφaˆr + r cosθ cosφaˆθ −rsenφaˆφ ( ) C m2 ( ) em C m2 PB(r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°). Solução: (a) G D = ( 2xyz − y2 ) aˆx + ( x2 z − 2xy) aˆy + x2 yaˆz ( ) em C m2 PA(2, 3, -1). Em coordenadas cartesianas: G G ∂D ∂Dy ∂Dz ∇⋅D = x + + ∂x ∂y ∂z G G ∂ ( 2 xyz − y 2 ) ∂ ( x 2 z − 2 xy ) ∂ ( x 2 y ) ∇⋅D = + + ∂x ∂y ∂z G G ∇ ⋅ D = 2 yz − 2 x + 0 G G ∇ ⋅ D (2, 3, -1) = 2 ⋅ 3 ⋅ ( −1) − 2 ⋅ 2 G G ∇ ⋅ D(2, 3, -1) = −10 mC3 ( ) (b) G D = 2ρz2sen2φaˆρ + ρz2sen2φaˆφ + 2ρ2 zsen2φaˆz em PB(ρ = 2, φ = 110°, z =-1). ( ) C m2 G G ∇⋅ D(ρ = 2,φ =110°, z = -1) = 9.06 G ( ) C m3 (c) D = 2rsenθ cosφaˆr + r cosθ cosφaˆθ − rsenφaˆφ ( ) em C m2 PB(r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°). G G 1 ∂ 1 ∂ ( senθ Dθ ) 1 ∂Dφ ∇⋅ D = 2 ( r 2 Dr ) + + r ∂r rsenθ rsenθ ∂φ ∂θ G G 1 ∂ 2 1 ∂ ( senθ r cosθ cosφ ) ∇⋅ D = 2 ( r 2rsenθ cosφ ) + + r ∂r rsenθ ∂θ 1 ∂ ( −rsenφ ) rsenθ ∂φ ⎛ sen2θ ⎞ G G 2senθ cosφ ∂ 3 r cosφ ∂ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ∇⋅ D = ( r ) + rsenθ ∂θ + ∂r r2 −r ∂ ( senφ ) rsenθ ∂φ G G 2senθ cosφ 2 r cosφ ⎛ 2cos2θ ⎞ ∇⋅ D = 3r + ⎜ ⎟+ r2 rsenθ ⎝ 2 ⎠ −1 cosφ senθ G G cos φ cos 2θ cosφ ∇⋅ D = 6senθ cosφ + − senθ senθ G G 6sen2θ cosφ + cos2θ cosφ − cosφ ∇⋅ D = senθ G G 6sen2θ cosφ + ( cos2 θ − sen2θ ) cosφ − cosφ ∇⋅ D = senθ 10 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 11 G G 1 ∂ G G 6sen2θ cosφ + cos2 θ cosφ − sen2θ cosφ − cosφ 1 ∂( z cosφ) ∂( ρsenφ) ∇⋅ D = + ( ρzsenφ) + ∇⋅ D = ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z senθ 2 2 2 G G ∂ cos φ ) +0 zsenφ ∂ z ( G G 6sen θ cosφ + (1− sen θ ) cosφ − sen θ cosφ − cosφ ∇⋅ D = (ρ) + ∇⋅ D = ρ ρ ρ φ ∂ ∂ senθ G G zsenφ zsenφ G G 6sen2θ cosφ + cosφ − sen2θ cosφ − sen2θ cosφ − cosφ ∇⋅ D = − ∇⋅ D = senθ ρ ρ G G G G 4sen2θ cosφ C ρv =∇⋅ D = 0 m3 ∇⋅ D = senθ G G G (c) D = senθ senφaˆr + cosθ senφaˆθ + cosφaˆφ C2 . ∇⋅ D = 4senθ cosφ m G G G G 1 ∂ 1 ∂ ( senθ Dθ ) 1 ∂Dφ ∇⋅ D = 4sen30° cos50° ∇⋅ D = 2 ( r 2 Dr ) + + G G 1 ∂θ r ∂r rsenθ rsenθ ∂φ ∇⋅ D = 4 0.6427 2 G G 1 ∂ 2 1 ∂ ( senθ cosθ senφ ) G G ∇⋅ D = 2 ( r senθ senφ ) + + ∇⋅ D = 1,28 mC3 r ∂r rsenθ ∂θ ( ) ( ) Exemplo 13– (e 3.8 – Hayt pg. 41) Determine a expressão para a densidade volumétrica de carga associada com cada campo D a seguir: G 4 xy 4 x2 2x2 y D= aˆ x + aˆ y + 2 aˆ z mC2 . z z z G (b) D = zsenφ aˆ ρ + z cos φ aˆφ + ρ senφ aˆ z ( C m ( ) (a) 2 G (c) D = senθ senφaˆr + cosθ senφaˆθ + cosφaˆφ ( ) ) C m2 Solução: (a) G 4 xy 4 x2 2x2 y D= aˆ x + aˆ y + 2 aˆ z z z z ( ). C m2 Em coordenadas cartesianas: G G ρv = ∇ ⋅ D = ∂Dx ∂Dy ∂Dz + + ∂x ∂y ∂z G G ∂ ⎛ 4 xy ⎞ ∂ ⎛ 4 x 2 ⎞ ∂ ⎛ 2 x 2 y ⎞ ∇⋅D = ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎟+ ⎜ ∂x ⎝ z ⎠ ∂y ⎝ z ⎠ ∂z ⎝ z 2 ⎠ G G 4y 4 x2 y ∇⋅D = +0− 3 z z G G 4 yz 2 − 4 x 2 y ρv = ∇ ⋅ D = z3 G G 4y ∇ ⋅ D (2, 3, -1) = 3 ( z 2 − x 2 ) mC3 z G (b) D = zsenφ aˆ ρ + z cos φ aˆφ + ρ senφ aˆ z G G 1 ∂ ( cosφ ) rsenθ ∂φ ⎛ sen2θ ⎞ G G senθ senφ ∂ 2 senφ ∂ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ∇⋅ D = ( r ) + rsenθ ∂θ + ∂r r2 1 ∂ ( cosφ ) rsenθ ∂φ G G senθ senφ senφ ⎛ 2cos2θ ⎞ ∇⋅ D = 2r + ⎜ ⎟+ 2 r rsenθ ⎝ 2 ⎠ 1 ( −senφ ) rsenθ G G 2senθ senφ senφ cos2θ senφ ∇⋅ D = + − r rsenθ rsenθ 2 2 2 G G 2sen θ senφ senφ ( cos θ − sen θ ) senφ ∇⋅ D = + − rsenθ rsenθ rsenθ 2 2 G G 2sen θ senφ senφ (1− 2sen θ ) senφ ∇⋅ D = + − rsenθ rsenθ rsenθ G G 2sen2θ senφ senφ − 2sen2θ senφ senφ ∇⋅ D = + − rsenθ rsenθ rsenθ G G C ρv =∇⋅ D = 0 m3 ( ) Exemplo 13– (e 3.9 – Hayt pg. 45) Dado o campo: ( ) ( ). ρv = ∇ ⋅ D = ( ) C m2 1 ∂ 1 ∂Dφ ∂Dz ρ Dρ ) + + ( ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z G D = 6 ρ sen 12 φ aˆ ρ + 1, 5 ρ cos 12 φ aˆφ ( ) C m2 calcule ambos os lados do teorema da divergência para a região limitada por: ρ = 2, φ = 0, φ = π , z = 0 e z = 5. Solução: G G G G Ψ=w ∫∫ D ⋅ dS = Qi = ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV S V 11 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss aˆ NT = − aˆ z A região formada é composta por quatro superfícies SL, STs, STi e Sp, como ilustramos abaixo, i G juntamente com os vetores dS para cada superfície: ¾ 12 Superfície lateral SL: ¾ Superfície plana lateral Sp: G dS p = dS p ( − aˆφ ) = − d ρ dzaˆφ aˆ N p = −aˆφ (φ = 0 ) ; aˆ N p = aˆφ (φ = π ) aˆ N = aˆ ρ G dS L = dS L aˆ ρ = ρ dφ dzaˆ ρ aˆ N L = aˆ ρ ¾ Superfícies inferior e superior (STs, STi): G dSTs = dST aˆ z = ρ d ρ dφ aˆ z aˆ NT = aˆ z ¾ Superfície fechada S: s G dSTi = dST ( − aˆ z ) = − ρ d ρ dφ aˆ z 12 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 13 G G D ∫∫ ⋅ dS = 0C STi G G π2 D ∫∫ ⋅ dSTi = ∫ ∫ ( 6ρ sen 12 φ aˆρ + 1,5ρ cos 12 φ aˆφ ) ⋅ ( ρ d ρ dφ aˆz ) 0 0 STs Como: aˆ ρ ⋅ aˆ z = 0 ∴ aˆ z ⋅ aˆφ = 0 G G D ∫∫ ⋅ dS = 0C STs G G 52 D ∫∫ ⋅ dS = ∫∫ ( 6ρsen 12 φaˆρ +1,5ρ cos 12 φaˆφ ) ⋅( −d ρdzaˆφ ) 0 0 Sp Como: aˆφ ⋅ aˆφ = 1∴ aˆ ρ ⋅ aˆφ = 0 G G 52 D ∫∫ ⋅ dS = ∫∫ −1,5ρ cos 12 φd ρdz 0 0 Sp 5 2 G G 1 D ⋅ dS = − 1,5cos φ dz 2 ∫ ∫∫ ∫ ρd ρ 0 Sp 2 ρ =2 G G z =5 ⎡ ρ ⎤ 1 ∫∫S D ⋅ dS = −1,5cos ( 2 0) [ z]z=0 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ρ =0 p 2 G G ⎡ 2 02 ⎤ ∫∫S D ⋅ dS = −1,5cos ( 0) [5 − 0] ⎢⎣ 2 − 2 ⎥⎦ p G G D ∫∫ ⋅ dS = −1,5⋅1[5][ 2] Assim: G G G G G G G G G G D ⋅ dS = D ⋅ dS + D ⋅ dS + D ⋅ dS + D w ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ⋅ dS S SL G STi 5π G ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ ( 6ρ sen L 1 2 STs Spi φ aˆρ + 1,5ρ cos 12 φ aˆφ ) ⋅ ( ρ dφ dzaˆρ ) 0 0 SL Como: aˆ ρ ⋅ aˆ ρ = 1∴ aˆ ρ ⋅ aˆφ = 0 Sp G G 5π 2 D ∫∫ ⋅ dSL = ∫∫ 6ρ sen 12 φdφ dz 0 0 SL 5 π G G 2 ∫∫ D ⋅ dSL = 6ρ ∫ dz ∫ sen 12 φ dφ 0 SL 0 G G φ =π z =5 2 D ∫∫ ⋅ dSL = 6 ⋅ 2 [ z ]z=0 [ −2cos 12 φ ]φ =0 SL G G D ∫∫ ⋅ dS = −15C Sp G G G G G G G G G G D ⋅ dS = D ⋅ dS + D ⋅ dS + D ⋅ dS + D w ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ⋅ dS S SL STi S G G D ∫∫ ⋅ dS = 240C Spi G G w ∫∫ D⋅ dS = 225C SL SL STs G G D w ∫∫ ⋅ dS = 240+0+0−15 G G ∫∫ D ⋅ dSL = 24[5 − 0] ⎡⎣−2cos ( 12 π ) − ( −2cos ( 12 0) )⎤⎦ G G D ∫∫ ⋅ dSL = 24 ⋅ 5[ 2] 0 S ¾ Integral de volume: G G Ψ = ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV V G G 1 ∂ 1 ∂Dφ ∂Dz G G π2 ρ Dρ ) + ∇ ⋅D = + ( 1 1 ˆ ˆ ˆ D ⋅ dS = ρ sen φ a + ρ φ a ⋅ − ρ d ρ d φ a 6 1,5 cos T z) ρ φ) ( 2 2 ∂z ρ ∂ρ ρ ∂φ ∫∫ ∫ ∫( SL i STi 0 0 Como: aˆ ρ ⋅ aˆ z = 0 ∴ aˆ z ⋅ aˆφ = 0 G D = 6 ρ sen 12 φ aˆ ρ + 1, 5 ρ cos 12 φ aˆφ ( ) C m2 13 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 14 G G 1 ∂ 1 ∂ ∂0 ∇⋅D = ( ρ 6 ρ sen 12 φ ) + (1,5ρ cos 12 φ ) + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z G G 6sen 12 φ ∂ ∇⋅ D = ( ρ 2 ) + 1,5ρρ ∂∂φ ( cos 12 φ ) ρ ∂ρ G G 6 sen 12 φ 1,5ρ ⎛ 1 ⎞ 2ρ + ∇⋅D = − sen 12 φ ⎟ ρ ρ ⎜⎝ 2 ⎠ G G 1,5 ∇ ⋅ D = 12 sen 12 φ − sen 12 φ 2 G G 22,5 ∇⋅D = sen 12 φ 2 5 π 2 G G 22,5 ∇ ⋅ DdV = sen 12 φρ d ρ dφ dz ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ 2 V 0 0 0 5 2 π G G 22,5 ∇ ⋅ DdV = dz ∫ ρ d ρ ∫ sen 12 φ dφ ∫∫∫ ∫ 2 V 0 0 0 ρ =2 G G 22,5 z =5 ⎡ ρ 2 ⎤ φ =π ∇ ⋅ DdV = [ z ]z =0 ⎢ ⎥ [ −2 cos 12 φ ]φ =0 ∫∫∫ 2 ⎣ 2 ⎦ ρ =0 V G G ⎡22 02 ⎤ 22,5 ∇⋅ = − DdV 5 0 [ ] ⎢ − ⎥ ⎡⎣−2cos( 12 π) −( −2cos( 12 0) )⎤⎦ ∫∫∫V 2 ⎣ 2 2⎦ G G 22,5 ∫∫∫V ∇⋅ DdV = 2 [5][2][2] G G ∇ ∫∫∫ ⋅ DdV = 225C V 14 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 15 2π +∞ 0 −∞ Q = ∫ dφ ρ ∫ 5 ⋅ 10 −9 e Exercícios – Capítulo 3 - Hayt 1. Uma lata de pintura de metal vazia é colocada em uma mesa de mármore, sua tampa é retirada, e ambas as partes são descarregadas conectando-as à terra. Um fio isolante de náilon é colado no centro da tampa e três moedas, de 5, 10 e 50 centavos são coladas ao fio de forma que não se toquem. A moeda de 50 centavos é aplicada uma carga de +5 nC e as moedas de 5 e 10 centavos permanecem descarregadas. A montagem é descida até a lata de forma que as moedas fiquem suspensas e longe das paredes, estando a tampa presa. O lado de fora da lata é temporariamente conectado de novo a terra. O dispositivo é cuidadosamente desmontado com luvas e ferramentas isolantes. (a) Que cargas são encontradas em cada uma das cinco peças metálicas? (b) Se fosse aplicada à moeda de 50 centavos uma carga de + 5 nC, à de l0 centavos uma carga de 2 nC e à de 5 centavos uma carga de - l nC, qual seria a distribuição final de cargas? 2. Uma carga pontual de 12 nC está localizada na origem. Quatro linhas de cargas uniformes estão localizadas no plano x = O como se segue: 80 nC/m em y = - l e -5 m, -50nC/m e y = -2e 4m. (a) Determine D em P(0, -3, 2); (b) Quanto fluxo elétrico atravessa o plano x = -3 e em que direção? (c) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície da esfera de 4 m de raio centrada em C(0, -3, 0) ? 3. A superfície cilíndrica r = 8 cm contém uma densidade superficial de carga ρ S = 5e −20 z nC/m2. Q = 5 ⋅ 10 φ −9 0 ⎛ e 20 z 0 e − 20 z + Q = 10π ⋅ 10 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ ⎜ ⎜ 20 − 20 z → −∞ ⎝ 1 ⎞ ⎛ 1 Q = 80π ⋅ 10 −11 ⋅ ⎜ + ⎟ ⎝ 20 20 ⎠ ⎛ 2 ⎞ Q = 80π ⋅ 10 −11 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 20 ⎠ −11 Q = 8π ⋅ 10 Q = ∫∫ ρ S dS Q= ∫ ∫ 5 ⋅10 z =0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Q = 0,2513 ⋅ 10 −9 = 0,25nC (b) – Cálculo do fluxo: z 5 1 Q = ∫∫ ρ S dS R π 2 Q=∫ 6 0 , 05 ∫ρ S ρdφdz 0 , 01 π 2 0 , 05 Q = ρ ∫ dφ ∫ 5 ⋅ 10 −9 e π 6 − 20 z dz 0 , 01 e −20 z Q = 0,08 ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ φ − 20 π 2 π 6 0 , 05 0 , 01 e −20⋅0,01 ⎞ ⎛ π π ⎞⎛ e ⎟ Q = 4 ⋅ 10 −10 ⋅ ⎜ − ⎟⎜⎜ − − 20 ⎟⎠ ⎝ 2 6 ⎠⎝ − 20 −20⋅0 , 05 S 2π +∞ z → +∞ −2 −9 Solução: dz +∞ ⎞ ⎛ 0 − 20 ( − z ) ⎜ dz + ∫ e − 20 z dz ⎟⎟ ⋅ ρ ⋅⎜ ∫e 0 ⎠ ⎝ −∞ −9 π (a) Qual a quantidade de carga total presente? (b) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície r = 8 cm, l cm < z < 5 cm, 30° < f < 90°? 2π − 20 z −9 e − 20 z ρdφdz 0 −∞ 15 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 4 ⎛π ⎞ ⋅ 10 −10 ⋅ ⎜ ⎟ e −0, 2 − e −1 20 ⎝3⎠ Q = 9,4384 ⋅ 10 −12 C Q = 9,4384 pC ( Q= ) 16 2 3 3 0 0 0 5 Qi = 0 − 20∫ dx ∫ ydy + 8∫ ydy ∫ dz + 0 0 3 3 ⎛ y2 ⎞ 5 ⎛ y2 ⎞ Qi = 20(2 − 0 )⎜⎜ ⎟⎟ + 8⎜⎜ ⎟⎟ z 0 ⎝ 2 ⎠0 ⎝ 2 ⎠0 9 ⎛9⎞ Qi = 40 ⋅ + 8⎜ ⎟5 2 ⎝2⎠ Qi = 180 + 180 4. As superfícies cilíndricas r = l, 2 e 3 cm possuem densidades superficiais de carga uniformes de 20, - 8 e 5 nC/m2, respectivamente, (a) Quanto fluxo elétrico passa através da superfície fechada r = 5 cm, 0 < z < l m? (b) Determine D em P(l cm, 2 cm, 3 cm). Qi = 360C 5. Seja: G D = 4 xyaˆ x + 2( x 2 + z 2 )aˆ y + 4 yzaˆ z C m 2 Calcule as integrais de superfície para determinar a carga total contida no paralelepípedo retângulo 0 < .x: < 2. 0 < y < 3, 0 < z < 5 m. Solução: 7. Uma densidade volumétrica de carga está localizada no espaço livre com: ρ v = 2e −1000 r nC/m3 para 0< r < l mm e rv= Observando a figura: z 5 6. Duas linhas de cargas uniformes de 20 nC/m cada estão localizadas em y = l., z = ± l m. Determine o fluxo elétrico total deixando a superfície da esfera de raio 2 m, se ela está centrada em: (a) A(3. l. 0); B(3, 2, 0). O em qualquer outra parte, (a) Determine a carga total contida na superfície esférica r = l mm. (b) Usando a lei de Gauss, calcule o valor de D, na superfície r = l mm. Sxy Sxz Syz 0 2 Solução: 3 y (a) A carga total será dada por: Qi = ∫∫∫ ρ v dV ⇒ Qi = ∫∫∫ ρ v r 2 senθdrdφdθ v x G G Qi = ∫∫ D ⋅ dS = S G + ∫∫ D ⋅ aˆ y + S xz y =3 G + ∫∫ D ⋅ aˆ x + S zy x=2 G ∫∫ D ⋅ aˆ z + S xy z =0 G D ∫∫ ⋅ (− aˆ y ) G ∫∫ D ⋅ (− aˆ z ) V Qi = 2 ⋅10 −9 0.001 0 S xy z =5 ∫r e 2 −1000 r y =0 G D ∫∫ ⋅ (− aˆ x ) Qi = 40 ,36 ⋅ 10 −19 C (b) Usando a lei de Gauss: G G x =0 2 3 ψ = ∫ DS ⋅ dS = Qi 0 0 0 0 2π π Qi = − ∫ ∫ 4 y z z =0 dydx + ∫ ∫ 4 y z z =5 dydx 2 5 + ∫ ∫ 2( x + z )dzdx − ∫ ∫ 2( x + z )dzdx 2 0 0 2 S ∫∫D r r 2 senθdθdφ = Qi 0 0 0 0 3 5 3 5 0 0 0 0 0 Qi = 4,036 ⋅ 10 −9 nC S zy 2 0 dr ∫ senθ dθ ∫ dφ 0.001 2 3 2 2π ⎡ ⎛ 1 + 1000 r + 500000 r 2 ⎞ ⎤ π 2π Qi = 2 ⋅10 −9 ⎢ − e −1000 r ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ [− cos θ ]0 [φ ]0 500000000 ⎝ ⎠⎦ 0 ⎣ Qi = 2 ⋅ 10 −91,606 ⋅ 10 −10 2 ⋅ 2π S xz 2 5 π + ∫ ∫ 4 yxx = 2 dzdy + ∫ ∫ − 4 y x x =0 dzdy Dr = Dr = 4,036 ⋅10 −18 ( 4π 10 ) −3 2 Qi 4πr 2 = 0,32117 ⋅10 −12 16 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 17 Dr = 3,2117 ⋅10 −13 C m 2 Dr = 130,1 nC m 2 Dr = 3,2117 ⋅10 −4 nC m 2 8. Duas linhas de cargas uniformes de 5 nC/m estão localizadas no espaço livre em x =1, y = 1 e z = l. (a) Obtenha a expressão para D em coordenadas cartesianas em P(0, O, z); (b) Esboce |D| versus z em -3< z < 10. 9. Uma densidade volumétrica de carga uniforme de 80 mC/rn3 está presente na região 8 mm < r < 10 mm. Seja rv = 0 para 0 < r < 8 mm. (a) Determine a carga total dentro da superfície esférica r = 10 mm; (b) Determine D, em r = 10 mm; (c) Se não há carga para r > 10 mm, determine D, em r = 20 mm. 10. Seja rs = 8 mC/m2 na região onde x = 0, -4 < z < 4 m e rs = 0 em qualquer outra parte. Determine D em P(x, 0, z), onde x > 0. 11. Em coordenadas cilíndricas, seja rs = 0 para r < l mm, ρ v = 2sen2000πρ (nC/m3) para l mm < r < l ,5 mm e rs = 0 para r > 1,5 mm. Determine D em toda parte. Solução: G G ∇ ⋅ D = ρV Em coordenadas cilíndricas: Solução: G G 1 ∂ (ρDρ ) + 1 ∂Dφ + ∂Dz ∇⋅D = ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z 1 ∂ (ρDρ ) = 2nsen(2000πρ ) ρ ∂ρ ∂ (ρDρ ) = 2nρsen(2000πρ ) ∂ρ (a) A carga total será dada por: Qi = ∫∫∫ ρ v dV ⇒ Qi = ∫∫∫ ρ v r 2 senθdrdφdθ v V Qi = ∫∫∫ 80 ⋅ 10 r senθdrdφdθ −6 2 V 0.01 2π π 0 0 0 Qi = 80 ⋅10−6 ∫ r 2 dr ∫ dφ ∫ senθ dθ Qi = 80 ⋅10 −6 3 0.01 r 3 2π ( π φ 0 − cos θ 0 ) 0.008 3 0,01 − 0.0083 2π ⋅ 2 3 Qi = 80 ⋅10 −6 ⋅1,62667 ⋅10 −7 ⋅ 4π Qi = 80 ⋅10 −6 Qi = 80 ⋅10 −6 ⋅1,62667 ⋅10 −7 ⋅ 4π Qi = 1635,307 ⋅10 −13 C Qi = 163,5307 pC (ρD ) = 2n ∫ ρsen(2000πρ )dρ ρ ρDρ = 2n Dρ = Dρ = − 2000πρ cos(2000πρ) + sen(2000πρ) +C 4000000π 2 ⎡ 2n − ρ cos( 2000 πρ ) + ρ 2000 π ⎢⎣ 2n ρ (2000π )2 sen ( 2000 πρ ) ⎤ + C⎥ 2000 π ⎦ [− 2000πρ cos(2000πρ) + sen(2000πρ ) + C 2000π ] Dρ = 2 ⋅ 10 −9 [2000π (C − ρ cos(2000πρ )) + sen(2000πρ )] ρπ 2 4 ⋅ 10 6 Dρ = 10−15 2π (103 C −103 ρ cos(2000πρ)) + sen(2000πρ) 2π 2 ρ [ ] (b) D, em r = 10 mm G G ψ = ∫ DS ⋅ dS = Qi S 2π π ∫ ∫ D r senθdθdφ = Q 2 r i 0 0 Dr = Qi 163,53 ⋅10 −12 = 4πr 2 4π ⋅ 0,012 Dr = 13,01 ⋅10 −8 Dr = 130,1 ⋅10 −9 12. Uma densidade volumétrica de carga não uniforme de rv = 120r C/m3 está situada dentro de uma rv = 0 em qualquer superfície esférica de r = l m e outra parte, (a) Determine D, em toda parte; (b) Qual densidade superficial de carga rs2 deve estar presente na superfície r= 2 m de modo que Dr’r= Drr’+? (c.) Esboce Dr versus r para 0 < r < 5 com ambas as distribuições presentes. 17 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 13. Três superfícies esféricas em r =2. 4 e 6 m possuem densidades superficiais de carga de 20 nC/m2, -4nC/m2 e rs0,. Respectivamente. (a) Determine D em r = 1, 3 e 5 m: (b) Determine rs0, de modo que D = 0 em r = 7m. Solução: (a) Da Lei de Gauss: G G D ∫∫ ⋅ dS = Qi S r = 1ï Como não há carga internamente à essa superfície: Dr = 0. r = 3 ï Escolhendo uma superfície Gaussiana de raio r > 3 D 4πr 2 = ρ S1 4π ⋅ 22 ρ 4π D = ρ S1 ⋅ 4 = 4 S21 2 4πr r −9 20 ⋅ 10 D(r = 3) == 4 = 8.889 ⋅ 10− 9 C m 2 2 3 r = 5 ï Escolhendo uma superfície Gaussiana de raio r > 5 G G D ∫∫ ⋅ dS = Qi S (b) determine Dr para r > l mm: (c) Que densidade linear de carga rL em r = 0 daria o mesmo resultado que o do item b? 15 Duas densidades volumétricas de carga estão localizadas como se segue: rv = 0 para r < l mm e para r > 2 mm e rv = 4rmC/m2 para l < r < 2 mm. (a) Calcule a carga total na região 0 < r < r1; 0 < z < L, onde l < r1 < 2 mm; (b) Use a lei de Gauss para determinar Dr em r = r1; (c) Calcule Dr em r = 0,8mm; 1.6 mm e 2.4 mm. Solução: ρ v = 4 ρ µmC ⇒ {1 < ρ < 2 mm 3 ⎧ ρ < 1 mm ⎩ ρ > 2 mm ρv = 0 µmC ⇒ ⎨ 3 (a) Carga para: ⎧0 < ρ < ρ1 ⎪ ⎨0< z< L ⎪1 < ρ < 2 1 ⎩ L ρ1 2π Q = ∫∫∫ ρ v dV = ∫ Q = 4µ ∫ dφ 0 D 4πr = 320 nπ − 256 nπ 2 ρ 0 3 ρ1 3 L z0 0.001 ⎛ ρ − (10− 3 )3 ⎞ ⎟L Q = 4µ 2π ⎜ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ 8πL 3 Q= ( ρ1 − 10 − 9 )µC 3 3 1 (b) Lei de Gauss para determinar Dr em r = r1; G G D ∫∫ ⋅ dS = Q S 14. Se rv = 5 nC/rn3 para 0 < r < l mm e não há outras cargas presentes: (a) determine D, para r < l mm: ∫ ρ dρ ∫ dz 2π (b) Escolhendo uma superfície de raio > 7, teremos envolvido três cargas: 4 C 4π 36 ρ s0 = −64nπ ⇒ ρ s0 = − ⋅ 10 − 9 2 9 m L 2 0.001 Q = 4π φ 0 64nπ D= 4πr 2 6410−9 π D= ⇒ D = 6,4 ⋅ 10−10 C m 2 2 4π 5 4πr 2 Dr = 64nπ + 4π 62 ρ s0 = 0 ρ1 2π D 4πr 2 = 20n 4π ⋅ 4 − 4n 4π 16 4πr 2 Dr = A1ρ s1 + A2 ρ s 2 + A3 ρ s3 ∫ ∫ 4ρµρdφdρdz 0 0.001 0 V D 4πr 2 = ρ S1 4π ⋅ 22 + ρ S 2 4π 42 G G D ∫∫ ⋅ dS = Q1 + Q2 + Q3 18 S L 2π ∫ ∫ D ρ ρ d φ dz = 0 0 2πLDρ ρ1 = 8π L 3 ρ 1 − 10 − 9 µ 3 ( ) 8πL 3 ρ1 − 10 − 9 (µC ) 3 ( ) 18 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 8πL ρ13 − 10 − 9 µC m 2 2πLρ1 3 4 Dρ 1 = ρ13 − 10 − 9 µC m 2 3ρ1 ( Dρ 1 = )( ( )( ) 19 (c) Estime a carga total contida dentro do cubo usando a Eq. 8. ) Solução: z (c) Calculo de: Dr em r = 0,8mm=8.10-4m Dρ ( ρ1 = 8mm) = 0 S Pois não há carga interna a uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio r1 = 0,8mm. A distribuição de carga é nula para r1 < 1mm. Dr em r = 1.6 mm y Dr em r = 2.4 mm. x G G D ∫∫ ⋅ dS = Q S L 2π ∫ ∫ Dρ ρdφdz = 0 0 Dρ = (( ) 3 8πL 2 ⋅ 10− 3 − 10− 9 (µC ) 3 ) 8πL ( (8 − 1)10− 9 )(µC m 2 ) 2πLρ 3 4 ( Dρ = (8 − 1)10− 9 )(µC m 2 ) 3ρ Substituindo: r = 2.4 mm=2.4.10-3m Dρ = 4 ( (8 − 1)10− 9 )(µC m 2 ) −3 3 ⋅ 2,4 ⋅ 10 Dρ = 3.88 ⋅ 10−6 µC m 2 ( ) 16. Dada a densidade de fluxo elétrico G D = 2 xyaˆ x + x 2 aˆ y + 6 z 3a z (C/m2) use a lei de Gauss para calcular a carga total contida no volume 0 < x,y,z < a; (b) Use Eq. 8 para determinar um valor aproximado para a carga acima. Calcule as derivadas em P(a, a/2, a/2); (c) Mostre que os resultados dos itens a e b são equivalentes no limite aö0. (a) Fluxo total no cubo de superfície S de superfícies S1, S2, S3, S4, S5 e S6 especificadas por: ⎧ S1 : x = 1 ⇒ aˆn1 = −aˆ x ⇔ dS1 = dS2 = dydz ⎨ ⎩S 2 : x = 1.2 ⇒ aˆn2 = aˆ x ⎧ S3 : y = 1 ⇒ aˆ n3 = − aˆ y ⇔ dS3 = dS 4 = dxdz ⎨ ⎩S 4 : y = 1.2 ⇒ aˆ n4 = aˆ y ⎧ S 5 : z = 1 ⇒ aˆ n5 = −aˆ z ⇔ dS 5 = dS 6 = dxdy ⎨ ⎩S 6 : z = 1.2 ⇒ aˆ n6 = aˆ z Escrevendo a integral fechada superfície S na soma de todas as 6 faces: sobre a G G G G ˆ D d S D a dS D ⋅ = ⋅ + ∫∫ ∫∫ n1 1 ∫∫ ⋅ aˆn2 dS2 + S S1 S2 G G G ˆ ˆ D a dS D a dS D ⋅ + ⋅ + ∫∫ n3 3 ∫∫ n4 4 ∫∫ ⋅ aˆn5 dS5 S3 S4 G + ∫∫ D ⋅ aˆn6 dS6 S5 S6 17. Um cubo é definido por l < x,y,z < 1.2. Se G D = 2 x 2 yaˆ x + 3x 2 y 2 aˆ y (C/m2): (a) aplique a lei de Gauss para determinar o Fluxo total deixando a superfície fechada do cubo. (b) calcule ∂Dx ∂Dy ∂Dz + + no centro do ∂x ∂x ∂x cubo. 19 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss G G ∫∫ D ⋅ d S = − (1 .2 20 ) ( ) − 12 (1 . 2 − 1) + 1 . 44 1 . 2 2 − 1 (1 . 2 − 1) 2 S G Como: D = 2 x yaˆ x + 3 x y aˆ y , ilustramos esse 2 2 2 campo vetorial na região abaixo: ( ) − 1.23 − 13 (1.2 − 1) + G G G G ∫∫ D ⋅ d S S ( ) 4.32 1.23 − 13 (1.2 − 1) 3 = 0 . 44 (0 . 44 )(0 . 2 ) + 0 . 44 (0 . 728 )(0 . 2 ) ∫∫ D ⋅ d S = − 0 .44 (0 .44 )(0 .2 ) + 0 .44 (0 .728 )(0 .2 ) S − (1.728 − 1)(0.2) + G G G G 4.32 (1.728 − 1)(0.2) 3 ∫∫ D ⋅ d S = 0 .44 (0 .44 )(0 .2 ) + 0 .44 ( 0 .728 )( 0 .2 ) S ∫∫ D ⋅ d S S = 0 . 03872 + 0 . 064064 G G D ⋅ d S = 0 . 102784 C m 2 ∫∫ S G G (b) ∇ ⋅ D = ( Fazemos os produtos escalares: G G D ⋅ aˆn1 = D ⋅ (− aˆ x ) = −2 x 2 y G G D ⋅ aˆn2 = D ⋅ aˆ x = 2 x 2 y G G D ⋅ aˆn3 = D ⋅ (− aˆ y ) = −3x 2 y 2 G G D ⋅ aˆn4 = D ⋅ aˆ y = 3 x 2 y 2 G G D ⋅ aˆn5 = D ⋅ (− aˆ z ) = 0 G G D ⋅ aˆn6 = D ⋅ aˆ z = 0 1 . 21 . 2 G 1 .21 .2 G 2 2 ∫∫ D ⋅ d S = ∫ ∫ − 2 ⋅ 1 ⋅ ydydz + ∫ ∫ 2 ⋅ 1 .2 ⋅ ydydz 1 1 1 1 S 1.21.2 + ∫ ∫ − 3⋅ x 1.21.2 2 ⋅12 dxdz + 1 1 ∫ ∫ + 3x 2 ⋅1.2 2 dxdz 1 1.2 1.2 1 1 1 1 ) G G G G Q ⇔ Q =V ⋅∇ ⋅ D V 3 Q = 0.2 ⋅ 12.826 ⇒ Q = 0.1026C (c) ∇ ⋅ D = ρv = um campo vetorial dado por G 18. 4 Seja 4 4 G = 5 x y z aˆ y .Calcule ambos os lados da Eq. 8 para este campo G o volume definido por x = 3 e 3,1, y = 1 e 1,1 e z = 2 e 2.1. Calcule as derivadas parciais no centro do volume. 1.2 1.2 1 1 19. Uma superfície esférica de raio 3 mm está centrada em P(4, l, 5) no espaço livre. Seja 1 G D = xaˆ x C/m2. Use os resultados da Seção 3.4 para − 3 ∫ x 2 dx ∫ dz + 4.32 ∫ x 2 dx ∫ dz 2 1 .2 G G y ∫∫S D ⋅ d S = − 2 2 1.2 ) ( G G ∂ 2 x 2 y ∂ 3x 2 y 2 ∇⋅D = + ∂x ∂y G G ∇ ⋅ D = 4 xy + 6 x 2 y 2 G G ∇ ⋅ D (1.1,1.1,1.1) = 4 ⋅ 1.1 ⋅ 1.1 + 6 ⋅ 1.121.12 G G ∇ ⋅ D (1.1,1.1,1.1) = 12.826 1 1 1 .2 1 .2 1 .2 1 .2 G G ∫∫ D ⋅ d S = − 2 ∫ ydy ∫ dz + 8 ∫ ydy ∫ dz S ∂Dx ∂Dy + ∂y ∂x 1 .2 z1 1 y2 + 2 ⋅ 1 .44 2 1 .2 1 .2 z1 estimar o fluxo elétrico líquido que deixa a superfície esférica. 1 1.2 x3 x3 1.2 1.2 −3 z 1 + 4.32 z 31 31 1 20 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 21 (a) calcule div D cm P; (b) calcule a fração mais à direita da Eq. 13 para a = l m. 0.1 m e l mm. Solução: Esfera: raio r = 3mm centrada em P(4, 1, 5): -1.002 1.002 -4.002 -1 -0.998 -4 -3.998 21. Calcule a divergência de D no ponto especificado se G (a) D = 1 [10 xyz aˆ x + 5 x 2 zaˆ y + (2 z 3 − 5 x 2 y )aˆ z ] z2 em P(-2, 3, 5); G (b) D = 5 z 2 aˆ ρ + 10 ρzaˆ z em P(3, -450, 5); (c) G D = 2 rsen θsen φaˆ r + r cos θsen φaˆθ + r cos φaˆφ e m P(3, 450, -45°). -4.998 -5 Solução: -5.002 (a) Nas coordenadas cartesianas: G Campo vetorial: D = xaˆ x G G ∂ ⎛ 10xyz ⎞ ∂ ⎛ 5x2 z ⎞ ∂ ⎛ 2z 3 − 5x2 y ⎞ ∇ ⋅ D = ⎜ 2 ⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ z2 ∂x ⎝ z ⎠ ∂y ⎝ z ⎠ ∂z ⎝ ⎠ G G ∂ ⎛ 10xy ⎞ ∂ ⎛ 5x 2 ⎞ ∂ ⎟+ ∇⋅ D = ⎜ 2 z − 5x 2 yz −2 ⎟+ ⎜ ∂x ⎝ z ⎠ ∂y ⎜⎝ z ⎟⎠ ∂z G G ∂ ⎛ 10xy ⎞ ∂ ⎛ 5x 2 ⎞ ∂ ⎟+ ∇⋅ D = ⎜ 2 z − 5x 2 yz −2 ⎟+ ⎜ ∂x ⎝ z ⎠ ∂y ⎜⎝ z ⎟⎠ ∂z G G 10 y 10x 2 y ∇⋅ D = +0+2+ 3 z z G G 10 ⋅ 3 10(−2) 2 3 ∇ ⋅ D(−2,3,5) = +2+ 5 53 G G 24 30 ∇ ⋅ D(−2,3,5) = + 2 + 25 5 G G 150 + 50 + 24 224 ∇ ⋅ D(−2,3,5) = = 25 25 G G ∇ ⋅ D(−2,3,5) = 8.96 ( ( Fluxo que deixa a seção: ) ) G G Ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Q S G G ∇ ⋅ D = ρv G G ∂x ∇⋅D = = 1 ⇒ ρv = 1 ∂x Q 4 ρ v = ⇒ Q = ρ v ⋅ πR 3 V 3 ( 4 Q = 1 ⋅ π 3 ⋅10 −3 3 ) 3 = 113.09 ⋅10 −9 = 113.09nC 20. Um cubo de volume a3 possui suas faces paralelas às superfícies do sistema de coordenadas cartesianas e está centrado cm P(3, - 2, 4). Dado o campo G D = 2 x3aˆ x C/ m2 21 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss Ilustração do vetor D num cubo -4 ≤ x,y,z ≤4. G G ∇ ⋅ D = 6senθsenφ + (b) Nas coordenadas cilíndricas: senφ (−sen2θ + cos2 θ ) senθ senφ − senθ G G 1 ∂ (ρDρ ) + 1 ∂Dφ + ∂Dz ∇⋅D = ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z G G ∇ ⋅ D 3,450 ,−450 = 6sen450 sen(−450 ) + G ⎧ D = 5z 2 D = 5 z 2 aˆ ρ + 10 ρ zaˆ z ⇔ ⎨ ρ ⎩ D z = 10 ρ z ( G G 1 ∂ 1 ∂ (0) ∂ (10 ρz ) ( ρ (5 z 2 ) ) + ∇⋅D = + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z 2 G G 5z ∇⋅D = + 0 + 10 ρ ρ G G 5(5) 2 ∇ ⋅ D (3,−45 0 ,5) = + 0 + 10(3) 3 G G 125 + 90 215 ∇ ⋅ D(3,−45 0 ,5) = = 3 3 G G 0 ∇ ⋅ D(3,−45 ,5) = 71.67 (c) Nas coordenadas esféricas: G G 1 ∂ ∂D 1 ∂ (Dθ senθ ) + 1 φ ∇⋅ D = 2 (r 2 Dr ) + rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ r ∂r G D = 2 rsen θsenφaˆ r + r cos θsenφaˆθ + r cos φaˆφ ⎧ Dr = 2rsenθsenφ ⎪ ⎨ Dθ = r cos θsenφ ⎪ D = r cos φ φ ⎩ G G 1 ∂ 2 ∇⋅ D = 2 r (2rsenθsenφ ) + r ∂r ( ) 1 ∂ ((r cosθsenφ)senθ ) + 1 ∂(r cosφ) ∂φ rsenθ ∂θ rsenθ G G 1 ∂ 2r 3 senθsenφ + ∇⋅ D = 2 r ∂r ( ) 1 ∂ (r cosθsenθsenφ ) + 1 (−rsenφ) rsenθ ∂θ rsenθ G G 1 ∇ ⋅ D = 2 6r 2 senθsenφ + r 1 rsenφ(−senθsenθ + cosθ cosθ ) rsenθ senφ − senθ 22 ) sen(−45 ) (−sen2 450 + cos2 450 ) sen450 sen(−450 ) − sen450 0 G G 2 ⎛− 2⎞ ⎟+ ∇ ⋅ D 3,450 ,−450 = 6 ⋅⎜ 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ( ) 1 1 − 22 −1(− + ) − 2 2 22 G G ∇ ⋅ D 3,450 ,−450 = −3 + 0 + 1 G G ∇ ⋅ D 3,450 ,−450 = −2 ( ( ) ) G 22. Seja D = 8 ρsen φaˆ ρ + 4 ρ cos φaˆ φ . C/m2. (a) Determine div D. (b) Determine a densidade volumétrica de carga cm P(2,6, 380; -6,1); (c) Quanta carga esta localizada dentro da região definida por 0 < r < 1,8; 200 < f < 700 e 2,4 < z < 3, l? 23 (a) Uma carga pontual Q está situada na origem. Mostre que div D = 0 por toda parte, exceto na origem. (b) Substitua a carga pontual por uma densidade volumétrica de carga uniforme rv0 para 0 ≤ r ≤ a. Relacione rv0 a Q e a de modo que a carga total seja a mesma. Determine div D por toda a parte. Solução: G G 1 ∂ ∂D 1 ∂ (Dθ senθ ) + 1 φ ∇⋅ D = 2 (r 2 Dr ) + rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ r ∂r Dr = Q 4πr 2 G G 1 ∂⎛ Q ⎞ 1 ∂ (0senθ ) + 1 ∂0 ∇ ⋅ D = 2 ⎜ r2 2 ⎟ + r ∂r ⎝ 4πr ⎠ rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ G G 1 ∂⎛Q⎞ ∇⋅ D = 2 ⎜ ⎟ r ∂r ⎝ 4π ⎠ 22 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss G G 1 ∇⋅ D = 2 0 r G G ∇⋅ D = 0 23 (c) Quanto fluxo elétrico deixa a esfera de r =- 4 m? (d) Quanta carga está contida dentro da esfera r =- 4 m? (b) Densidade de carga uniforme: Solução: ρv 0 Q Q = = 4 3 ⇒ Q = 43 πa 3 ρ v0 V 3 πa G G ⎧⎪ 43 πr 3 ρ v0 se r < a D ∫∫S ⋅ dS = ⎨⎪ 43 πa 3 ρ v se r > a 0 ⎩ 3 ( ⎧⎪ 43 πr 3 ρ v0 se r < a Dr 4πr = ⎨ 4 3 ⎪⎩ 3 πa ρ v0 se r > a ⎧ 13 rρ v0 se r < a ⎪ Dr = ⎨ 1 a 3 ⎪⎩ 3 r 2 ρ v0 se r > a ( G G 5 3 ∇ ⋅ D = 2 2r (r − 3) + 3r 2 (r − 3) 2 r ( ) 24. Dentro da casca cilíndrica 3 < r < 4 m. a densidade de fluxo elétrico é dada por: e a densidade volumétrica de carga em r = 4? (b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r = r =m? (c) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície fechada: 3 < r < 4, 0 < f < 2π, -2,5 < z < 2,5? (d) Quanta carga está contida dentro do volume 3 < r < 4, 0 < f < 2π, -2,5 < z < 2,5 ? 25. Dentro da casca esférica 3 < r < 4 m. a densidade de fluxo elétrico é dada por G 3 D = 5(r − 3) aˆ r C/m2. (a) Qual é a densidade volumétrica de carga em r = 4? 4 m? ) 1 ∂ ((0)senθ ) + 1 ∂(0) rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ G G 1 ∂ ∂D 1 ∂ (Dθ senθ ) + 1 φ ∇⋅ D = 2 (r 2 Dr ) + rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ r ∂r G G ∇ ⋅ D = 0 se r > a G G 1 ∂ ⎛ 2 rρv0 ⎞ ⎟ se r > a ∇⋅ D = 2 ⎜⎜ r r ∂r ⎝ 3 ⎟⎠ G G ρv ∂ ∇⋅ D = 02 r3 se r > a 3r ∂r G G ρv0 2 ∇⋅ D = 2 3r se r > a 3r G G ∇⋅ D = ρv0 se r > a Qual G 3 D = 5(r − 3) aˆ r Dr = 5(r − 3) G G 1 ∂ 2 r (5(r − 3) 3 ) + ∇⋅D = 2 r ∂r 2 G 3 D = 5(ρ − 3) aˆ ρ C/m2. (a) Densidade em r = 4m: (b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r =- G G 5 ∇ ⋅ D = 2 (r − 3) 2 (5r 2 − 6r ) r G G 5 ∇ ⋅ D = (r − 3) 2 (5r − 6) r ( ( ) ) ) G G 5 ∇ ⋅ D(r = 4) = (4 − 3) 2 (5 ⋅ 4 − 6) 4 G G 5 35 ∇ ⋅ D(r = 4) = (14) = 4 2 G G ∇ ⋅ D(r = 4) = 17,5 C m 2 ( ) (b) Densidade do fluxo elétrico: r = 4m: G 3 D = 5(r − 3) aˆ r G 3 D ( r = 4) = 5(4 − 3) aˆ r G D ( r = 4) = 5aˆ r C m 2 ( ) (c) Fluxo elétrico que deixa a esfera: G G Ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Q S Q = 4πr 2 5(r − 3) 3 Q ( r = 4) = 4π 4 2 5(4 − 3) Q ( r = 4) = 320π (C) 3 (d) Carga contida na esfera r = 4m? 23 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss v G G 5 ∇ ⋅ D = (r − 3) 2 (5r − 6) r G G 5 ρ v = ∇ ⋅ D = (r − 3) 2 (5r − 6) r ( ) ( ) 5(r − 3) 2 (5r − 6) 2 r senθdφdθdr ∫0 r ρ v (r = 0.06) = 1.2 mC m3 (b) Cálculo de rv, para r = 0.1 m: G D = 0,1 r 2 aˆ r G G 1 ∂ 2 r (0.1 r 2 ) ∇⋅D = 2 r ∂r G G 5m ∂ (0.1) = 0 ∇⋅D = 2 r ∂r ρ v (r = 0.1) = 0 ( 4 Q = 4π ∫ 5r (r − 3) (5r − 6)dr 2 4 Q = 20π ∫ r (r − 3) 2 (5r − 6)dr 3 [ ] Q = 20π [4 (4 − 3) − 3 (3 − 3) ] Q = 20π r 2 (r − 3) 3 r =4 r =3 3 2 3 Q = 320π (C ) G 5senθ cos φ 26. Dado o campo D = aˆ r r C/m , determine: (a) a densidade volumétrica de carga rv. (b) a carga total contida na região r < 2 m; (c) o valor de D na superfície r = 2. (d) o fluxo elétrico total que deixa a superfície r = 2. G (c) Densidade superficial em r = 0,08 para que D =0 para r > 0,08m? G G D ∫∫ ⋅ dS = Qi S Qi = ∫∫∫ ρ v dV + ∫∫ ρ s dS v Qi = 2π π + ) (a) Cálculo de rv, para r = 0.06 m: G G ∇ ⋅ D = ρv G D = 5r 2 aˆ r 2 senθdrdθdφ ∫∫ρ s r 2 senθdθdφ 0 0 G D = 0,1 r 2 aˆ r C/m2 para r > 0.08 m. Solução: ∫ ∫ ∫ 20mrr 0 0 0 2 (a) Determine rv, para r = 0.06 m; (b) Determine rv para r = 0.1 m. (c) Que densidade superficial de carga deve ser colocada em r = 0.08 m para que D = 0 para r > 0,08m? S G G ρ v = ∇ ⋅ D = 20mr 2π π 0.08 27. Seja D = 5r aˆ r mC/m2 para r < 0,08 m e ( ) ρ v (r = 0.1) = 0C / m3 Q = 20π ⋅ 16 2 ) ( 3 2 ) ( ) 4 π 2π 3 0 G G 1 ∂ 2 2 ∇⋅ D = 2 r (5r m) r ∂r G G 5m ∂ 4 5m r = 2 ⋅ 4r 3 = 20mr ∇⋅D = 2 r ∂r r ρ v (r = 0.06) = 20 ⋅ 0.6m ( Q = ∫∫∫ ρ v dV Q = ∫∫ 24 Qi = 20m ⋅ 4π 0.08 ∫r 3 dr + ρ s 4π ⋅ 0.08 2 0 r4 Qi = 20m ⋅ 4π 4 0.08 + ρ s 4π ⋅ 0.08 2 0 Qi = 0.0008192mπ + ρ s 0.0256π G G D ∫∫ ⋅ dS = Qi = 0 S Qi = 0.0008192mπ + ρ s 0.0256π = 0 0.0008192mπ ρs = − = −0.032 mC m 2 0.0256π 24 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss ρ s = −32 µC m 2 28. A densidade de fluxo elétrico é dada por G D = 20 ρ 3 aˆ ρ C/m2, para r < 100 mm e G D = kaˆ ρ para r > 100 mm. (a) Determine k de modo que D seja contínua em r = 100 mm; (b) Determine e esboce rv, como uma função de r. 29. Em uma região do espaço livre que inclui o volume:2 < x,y,z < 3, G 2 D = 2 yz aˆ x + xz aˆ y − 2 xy aˆ z C m 2 . z [ ] (a) Calcule a integral de volume do teorema da divergência para o volume definido por: 2 < x,y,z < 3; (b) Calcule a integral de superfície para a superfície fechada correspondente. 2 V 2 2 3 3 3 G G ⎡ x2 ⎤ ⎡ y2 ⎤ ⎡ −1 ⎤ ∇ ⋅ DdV = 8⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ∫∫∫ ⎣ 2 ⎦ 2 ⎣ 2 ⎦ 2 ⎣ 2z ⎦ 2 V G G ⎡ 32 − 2 2 ⎤ ⎡ 32 − 2 2 ⎤ ⎡ − 1 −1 ⎤ ∇ ⋅ = D dV 8 − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 2 ∫∫∫ 2 ⋅ 2 2 ⎥⎦ ⎣ 2 ⎦⎣ 2 ⎦⎣ 2 ⋅ 3 V G G 8 ⎛1 1⎞ ∇ ⋅ DdV = ⋅ 5 ⋅ 5⎜ − ⎟ ∫∫∫ 8 ⎝4 9⎠ V G G 25 ⋅ 5 ∇ ⋅ DdV = ∫∫∫ 4⋅9 V G G 125 C ∇ ⋅ DdV = ∫∫∫ 36 V (b) Integral de superfície para a superfície fechada correspondente. Escrevendo a integral sobre a superfície fechada S na soma de todas as 6 faces: S S1 S2 G G G ∫∫ D ⋅ aˆn3 dS3 + ∫∫ D ⋅ aˆn4 dS 4 + ∫∫ D ⋅ aˆn5 dS5 G G ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV V S3 G G ∂D x ∂D y ∂D z + + ∇⋅D = ∂y ∂z ∂x G 2 D = 2 yz aˆ x + xz aˆ y − 2 xy aˆ z C m 2 z 2y 2x 4 xy ⇔ Dx = ⇔ Dy = ⇔ Dz = − 2 z z z G G ∂ 2zy ∂ ( 2zx ) ∂ − 4zxy2 ∇⋅D = + + ∂x ∂y ∂z G G ⎛ 2 xy ⎞ ∇ ⋅ D = 0 + 0 − 4⎜ − 3 ⎟ ⎝ z ⎠ G G 8 xy ∇⋅D = 3 z [ ] ( ( ) 8 xy ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV = ∫∫∫ z V 3 3 3 G G −3 ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV = 8∫ xdx ∫ ydy ∫ z dz G G G G ˆ ⋅ = ⋅ + D d S D a dS D n 1 ∫∫ ∫∫ 1 ∫∫ ⋅ aˆn2 dS2 + Solução: (a) – Integral de volume: G G 25 3 ) S4 G + ∫∫ D ⋅ aˆn6 dS6 S5 S6 G 2 Como: D = 2 yz aˆ x + xz aˆ y − 2 xy aˆ z C m 2 , z [ ] ilustramos esse campo vetorial na região abaixo: Fazemos os produtos escalares: Definindo as tampas do cubo: ⎧S1 : x = 2 ⇒ aˆ n1 = −aˆ x ⇔ dS1 = dS 2 = dydz ⎨ ⎩ S 2 : x = 3 ⇒ aˆ n2 = aˆ x ⎧S 3 : y = 2 ⇒ aˆ n3 = − aˆ y ⇔ dS 3 = dS 4 = dxdz ⎨ ⎩ S 4 : y = 3 ⇒ aˆ n4 = aˆ y ⎧S 5 : z = 2 ⇒ aˆ n5 = −aˆ z ⇔ dS 5 = dS 6 = dxdy ⎨ ⎩ S 6 : z = 3 ⇒ aˆ n6 = aˆ z dV V 3 3 3 G G 8 xy ∇ ⋅ DdV = ∫ ∫ ∫ 3 dxdydz ∫∫∫ V 2 2 2 z G G y D ⋅ aˆ n1 = D ⋅ (− aˆ x ) = −2 z G G y D ⋅ aˆ n2 = D ⋅ aˆ x = 2 z 25 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss G G x D ⋅ aˆ n3 = D ⋅ (− aˆ y ) = −2 z G G x D ⋅ aˆ n4 = D ⋅ aˆ y = 2 z G G xy D ⋅ aˆ n5 = D ⋅ (− aˆ z ) = 4 2 z G G xy D ⋅ aˆ n6 = D ⋅ aˆ z = −4 2 z G G ∫∫ D ⋅ d S = S 2 3 ∫∫− 2 2 2 3 3 y ⋅dydz + z 26 G 16 D= cos 2θaˆ θ (C/m2) r , use dois métodos diferentes para determinar a carga dentro da região: 1 < r < 2m, 1 < θ < 2 rad, 1 < f < 2 rad. Solução: Determinação por: G G ∇ ⋅ D = ρv 3 3 y ∫2 ∫2 2 z dydz G G 1 ∂ ∂D 1 ∂ (Dθ senθ ) + 1 φ ∇⋅ D = 2 (r 2 Dr ) + rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ r ∂r Dr = 0 ⎧ ⎪ 16 ⎨ Dθ = cos 2θ r ⎪ D φ =0 ⎩ 3 3 x x + ∫ ∫ − 2 dxdz + ∫ ∫ 2 dxdz z z 2 2 2 2 3 3 + ∫∫4 2 2 3 3 xy xy dxdy + ∫ ∫ − 4 dxdy 2 z z 2 2 G G 4 D ∫∫S ⋅ d S = 2 2 3 3 4 ∫2 xdx ∫2 ydy − 3 2 3 3 3 2 2 ∫ xdx ∫ ydy 3 3 3 G 4 ⎡ x2 ⎤ ⎡ y2 ⎤ G 4 ⎡ x2 ⎤ ⎡ y2 ⎤ ∫∫S D ⋅ d S = 4 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ − 9 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2 2 2 2 G G ⎡ 32 − 2 2 ⎤ ⎡ 32 − 2 2 ⎤ D d S ⋅ = 1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∫∫S ⎣ 2 ⎦⎣ 2 ⎦ 4 ⎡ 32 − 2 2 ⎤ ⎡ 32 − 2 2 ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ 9 ⎣ 2 ⎦⎣ 2 ⎦ G G ⎡5 ⎤⎡5 ⎤ 4 ⎡5 ⎤⎡5 ⎤ ∫∫S D ⋅ d S = ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ − 9 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ G G 25 ⎛ 4⎞ D ∫∫S ⋅ d S = 4 ⎜⎝ 1 − 9 ⎟⎠ G G 25 5 D ∫∫S ⋅ d S = 4 9 G G 125 ∫∫S D ⋅ d S = 36 C 30. Se: G D = 15 ρ 2 sen φaˆ ρ + 10 ρ 2 cos 2φaˆ φ calcule ambos os lados do teorema da divergência para a região 1 < r < 2m, 1 <f < 2 rad, 1 < z < 2 m. 31. Dada a densidade de fluxo: G G 1 ∂ 1 ∂ ⎛16 1 ∂0 ⎞ ∇⋅ D = 2 r2 0 + ⎜ cos2θsenθ ⎟ + r ∂r rsenθ ∂θ ⎝ r rsen θ ∂φ ⎠ G G 16 ∂ (cos 2θ sen θ ) ∇⋅D = 2 r sen θ ∂ θ G G 16 (− 2sen2θsenθ + cos 2θ cosθ ) ∇⋅D = 2 r senθ G G 16 ∇ ⋅ D = 2 (− 2 sen 2θ + cos 2θ ctg θ ) r 16 ρ v = 2 (− 2 sen 2θ + cos 2 θ ctg θ ) r ( ) Cálculo da carga: Q = ∫∫∫ ρ v dV v 16 Q = ∫∫∫ 2 (− 2sen2θ + cos 2θctgθ )dV r v 16 Q = ∫∫∫ 2 (− 2sen2θ + cos 2θctgθ )r 2 senθdrdθdφ r v 2 2 2 Q = 16∫ dr ∫ dφ ∫ (− 2sen2θsenθ + cos 2θ cosθ )dθ 1 1 1 2 2 ⎛ ⎞ Q = 16 r 1 ⋅ φ 1 ⎜⎜ − 2 ∫ sen 2θsen θ dθ + ∫ cos 2θ cos θdθ ⎟⎟ 1 1 ⎝ ⎠ 2 2 2 ⎛ 2 ⎞ Q = 16 ⋅ ⎜⎜ − 2 ∫ sen 2θsenθ dθ + ∫ cos 2θ cos θdθ ⎟⎟ 1 ⎝ 1 ⎠ 2 2 1 1 Q = −32∫ sen2θsenθ dθ + 16∫ cos 2θ cos θ dθ 26 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - Lei de Gauss 2 sen 3θ Q = −32 3 2 1 27 2 ⎛ sen 2θ sen3θ ⎞ + 16⎜ + ⎟ 6 ⎠1 ⎝ 2 Q = −3.9069C G 32. Se: D = 2 raˆ r (C/m2), determine o fluxo elétrico total deixando a superfície do cubo 0 ≤ x,y,z ≤ 0,4; 27