Rota 1

INTRODUÇÃO AOS GRUPOS DE LIE (SMA0193)
Lista 1 da rota 1 (entrega até o dia 01/03)
1. Mostre que os quatérnions h ∈ H satisfazendo a equação h2 = −1 formam uma esfera bidimensional.
2. Dado um grupo G, denotamos por Aut G o grupo de todos os isomorfismos de G em G. Sejam
G e H grupos e seja ϕ : H → Aut G um homomorfismo.
Definimos em K := G × H a seguinte
multiplicação: (g1 , h1 )(g2 , h2 ) := g1 ϕ(h1 )g2 , h1 h2 . Mostre que:
a) K
é um grupo.
b) (g, 1) | g ∈ G 6 K e (1, h) | h ∈ H 6 K. Além
disso, as aplicações g 7→ (g, 1) e h 7→ (1, h)
estabelecem isomorfismos G ' (g, 1) | g ∈ G e H ' (1, h) | h ∈ H .
c) Identificando G e H com as suas cópias em K descritas no item (b), constate que G E K, que
G ∩ H = 1 e que ϕ(h)g = hgh−1 para todos g ∈ G e h ∈ H.
O grupo K é chamado de produto semidireto de G e H com respeito a ϕ e denotado por K = Goϕ H.
d) Sejam G e H grupos e seja K = GH, onde G E K, H 6 K e G ∩ H = 1. Mostre que K ' G oϕ H
para um homomorfismo ϕ : H → Aut G apropriado.
f
g
3. Uma sequência curta 1 → A→B →C → 1 de grupos e homomorfismos de grupos é dita exata se a
imagem de cada homomorfismo é igual ao núcleo do homomorfismo seguinte. Considere uma sequência
exata curta como acima.
a) Mostre que f é injetor e que g é sobrejetor.
b) Suponha que exista um homomorfismo h : C → B tal que g ◦ h é a função idêntica em C. (Neste
caso, dizemos que a sequência cinde.) Mostre que B é isomorfo a um produto semidireto de A e C (dica:
exercı́cio 2 item d).
c) Mostre que U(n) pode ser escrito como um produto semidireto de SU(n) por U(1). Escreva
expressões explı́citas para o caso de U(2).
d) Será que U(n) e SU(n) × U(1) são isomorfos para n > 2?
4. Seja K = R, C. Fixemos uma matriz S ∈ Mn (K). Denotamos
GS (K) = {A ∈ GLn (K) | tASA = S}.
Definimos uma aplicação h−, −i : Kn × Kn → K através da expressão hx, yi = t xSy, onde x, y ∈ Kn são
matrizes coluna.
a) Mostre que GS (K) 6 GLn (K) e que h−, −i é uma forma bilinear.
b) Mostre que h−, −i é não-degenerada se e só se S ∈ GLn (K). (Lembre-se que h−, −i é nãodegenerada se hx, V i = 0 implica x = 0.)
c) No caso K = R, qual deve ser a condição sobre S para que h−, −i seja simétrica? E para que
h−, −i seja alternante? (Alternante significa que hx, xi = 0 para todo x ∈ Kn .) Refaça apropriadamente
a definição de h−, −i e encontre a condição sobre S para que, no caso K = C, a forma h−, −i seja
hermitiana.
d) Mostre que hM u, M vi = hu, vi para todos u, v ∈ Kn se e só se M ∈ GS (K).
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LISTA 1 DA ROTA 1 (ENTREGA ATÉ O DIA 01/03)
5. Sejam X1 e X2 espaços topológicos. Dizemos que U ⊂ X1 × X2 é aberto se U é a união de
conjuntos da forma U1 × U2 , onde U1 ⊂ X1 é aberto em X1 e U2 ⊂ X2 é aberto em X2 .
a) Mostre que tal definição de aberto introduz em X1 × X2 uma topologia (esta é a chamada topologia
produto).
b) Mostre que um espaço topológico
X é de Hausdorff
se e só se a sua diagonal 4X ⊂ X × X é
fechada. (Por definição, 4X = (a, b) ∈ X × X | a = b .)
c) Mostre que, se X1 e X2 são compactos, então X1 × X2 é compacto.